已知A(1,2)B(3,6)C(2,2)求三角形ABC中线CD所在直线的斜率

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-25 14:55 标签： 已知斜率求直线方程

对2022年高考全国卷乙卷的数学题目尝试进行多角度的解析，以期提升学生的思维能力，廓清思维的盲点。

【2022年高考全国卷乙卷理数第9题文数第12题】已知球 \(O\) 的半径为 \(1\)，四棱锥的顶点为 \(O\)，底面的四个顶点均在球 \(O\) 的球面上， 则当该四棱锥的体积最大时，其高为【\(\qquad\)】

才能取到最大值。此时常用的策略是让某个变量临时固定，让另外一个变量变化，不妨令 \(h\) 暂时固定，来看 \(S_{ABCD}\) 的变化情况，这样题目就突破了难点。

解析： 设该四棱锥底面为四边形 \(ABCD\)， 它所在小圆半径为 \(r\)，又设其对角线夹角为 \(\alpha\)，

\(BD\) 的最大值是小圆的直径，当两条对角线相等时，菱形就变形为正方形。，

(当且仅当四边形 \(ABCD\) 为正方形时等号成立)

，分式化为整式得到此处的分式化为整式的变形就显得非常关键，因为只有这样才能产生两个因式相乘不等于零的形式，才有可能满足定义域关于原点对称。对思维的考查凸显的非常明显，所以我感觉这个题目命制的相当成功。，\((1-x)(a+1-ax)\neq

打开，变化为四个三项乘积的形式，再思考使用正弦定理。，可以转化为

B=\sin(C+A)\)，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅，

解：由于 \(A=2B\)，则可知 \(C=\pi-3B\)此处结合内角和定理，应该想到 \(C\) 也能用 \(B\) 来表达，这样就实现了，便于后续的计算。，

〔解后反思〕：本题目若使用余弦定理的方式求解 \(C\) ，运算会很麻烦，还不一定能求解成功。

打开，变化为四个三项乘积的形式，再思考使用正弦定理。，可以转化为

B=\sin(C+A)\)，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅，

分析：证明面面垂直的题目，常常需要先转化为线面垂直来完成，此时就需要确定一条直线 这条直线就在给定的两个平面内来找，一般寻找确定的顺序是，先找边界线[三角形的平面就是三角形的边]，再找中线、中位线、角平分线、高线等这些比较特殊的直线，最后考虑没有这些特殊的直线时，是不是可以做出这些直线，和一个平面 这个平面就是要证明的两个平面中的一个，当你确定了所要的直线的来源平面后，此时的平面就是另外一个平面。，当确定好直线和平面后，就需要在这个平面内找两条直线，然后证明这两条来自平面内的直线分别和前面提到的直线都垂直，从而问题转化为线线垂直，而证明线线垂直时，就能用到初中和高中的相关知识了。

\(BD\) 上的动点，那它何时最小呢，此时一般考虑其特殊位置，分别可能是 \(EF\) 为 \(\triangle BED\) 的高线，中线，角平分线。

【2022年高考全国卷乙卷文数理数第19题】 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 \(10\) 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积 (单位: \(m^{2}\)) 和材积量 (单位: \({m}^{3}\) )， 得到如下数据：

（1）. 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

审题：“估计该林区这种树木的相关数据”，是说我们需要先求解样本的数字特征，然后用样本 [\(10\)棵树木] 的数字特征来估计总体 [ 该林区的这种树木 ] 的数字特征，从而我们需要首先计算样本的数字特征，这是其一；同时关键词 “这种树木平均一棵的根部横截面积”，即是求样本[树木根部横截面积]的平均值，即求解 \(\bar{x}\)，同理，“平均一棵的材积量”应该是求材积量的平均值，到此，题目求解思路清晰了：

（2）. 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 \(0.01\)）；

\(\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}=\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\bar{x}^2}\)，；如果我们备考复习仅仅定位在给定公式，我们只要会使用的层次，那么对于考查数学公式的灵活应用层次的题目，自然就束手无策了。相反的，如果我们突破了公式这个层面，剩下的就仅仅是运算考查了，请注意，本题目的运算也是挺难的。

（3）. 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 \(186m^{2}\)。 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

分析：关键词 “已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比”，则此时需要用到比例，关键是分析清楚参与构成比例的几个量，应该有 树木的材积量平均值，根部横截面积平均值，还有 所有这种树木的根部横截面积总和，最后一个就是待求解的量，将其设出来，就可以了。

解析：设这种树木的总材积量为 \(Y\)，则由树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

解析：本小问基本没有其他的求解思路，就是求导，判断单调性，确定最大值；

分析：本题目属于：已知函数只有一个零点，求参数的取值范围问题；这类题目由我们的可知，最起码有两个求解途径：其一，，其二，分类讨论法；高考实战中一般建议第二个思路，是基于分步骤得分和有效利用第一问的考量，而且你要是注意研究这类的高考和模考题目，基本都是走思路二的路子。

\(ax^2-(a+1)x+1\) 类的因式分解，你其实应该很熟练的。主要用到；，

[此处思维走向的判断：由于导函数是分式函数，其分母恒为正，此时我们只想知道分子的正负，从而快速判断原函数的增减，以便于能做出原函数的大致图像，从图像上判断函数是否仅有一个零点，基于此，我们需要对参数分类讨论如下，此时你可以更好的利用来判断]，编者按。

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当\(a\leqslant0\)时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 \(x>0\) 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数没有零点； ]

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当\(0<a<1\)时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 \(x>0\) 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数有唯一零点； ]

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当\(a=1\)时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 \(x>0\) 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数有一个零点； ]

[ 括号中为辅助理解说明，具体作答时不用写到试卷上，单调性配图说明参考图像， 当\(a\leqslant0\)时，导函数的分子图像如图所示，我们只关注 \(x>0\) 那一段，很显然能看出来导函数的正负。；原函数图像说明根据所求得的单调性，我们可以做出原函数的大致图像， 由图像很显然能看出来，此时函数有一个零点； ]

所以 \(f(x)\) 有唯一零点， 符合题意；

解: 设椭圆 \(E\) 的方程为 \(mx^{2}+ny^{2}=1\)这种设标准方程的好处在于能避免分类讨论，否则我们还需要分焦点在 \(x\) 轴和焦点在 \(y\) 轴两种情况分类计算。， 又其经过点

证明：由于经过点 \(P\) 的直线其斜率可能存在，也可能不存在，故分类讨论如下：

分析：本问题属于已知求参数的取值范围问题，常见的思路是利用 \(\Delta\) 求解，但是若曲线是用参数方程刻画的，则此时往往不能使用判别式法。

〔解后反思〕：1. 估计好多学生会纠结为什么利用 \(\Delta\geqslant 0\) 求解的思路是错误的，对此我们进一步说明如下，由于

直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

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