首先，用到的数学的证明思想是第二类数学归纳法（完整归纳法），
（1）第二类数学归纳法（完整归纳法）
1.当n=1时，形式成立（数学形式）。
2.当n<=k时，假设形式成立。
3.当n=k+1时，形式成立。
那么可以得出结论，这个数学形式可以在n等于任意自然数时，都可以使得形式成立。

给定一颗二叉树（树非空，结点个数为n）
1.当n=1时， 树的先序遍历序列为（a）
树的中序遍历序列为（a）
那么可以唯一确定一颗二叉树 a
一颗树的先序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一颗二叉树。

a.当A1=B1时，即先序遍历的第一个遍历结点（为树的根结点）等于中序遍历的第一个结点的时候，说明中序遍历B1（B1为根结点）之前无左子树，（中序遍历若要先遍历根结点要先中序遍历左子树，若B1之前为空，说明没有中序遍历左子树，说明B1的左子树为空）
因为中序遍历的递归定义是
故而又说明中序遍历序列B1之后的结点即（B2,B3,B4,…,Bm）为B1的右子树
而先序遍历序列A1之后的序列（A2,A3,A4,…,Am）
这时候符合假设，当n<=k时，的结论，所以根据数学归纳法，可以证明在这种情况下，一棵树的先序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一颗二叉树。

当A1=Bm时，Bm无右子树，同3.a的证明思路一样，可以证明在这种情况下，一棵树的先序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一颗二叉树。
c.（已经证明了A1=B1或者A1=Bm的情况，现在要证明的是A1=（B2,B3,B4,…,Bm-1）中任意一个的情况时，一棵树的先序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一颗二叉树）
当先序遍历序列（A1,A2,A3,A4,…,Am）中的A1为中序序列中的

设A1=Bj，那么这棵树的中序遍历序列为
设Bj的左子树的结点个数为x个，Bj的右子树的结点个数为y个，
1<=x<=m-1-1(由c的条件可得，Bj不能为Bm，由c的条件可得，所以Bj的右子树最小为1个结点，而Bj本身又是一个结点，所以Bj左子树结点的个数最大为m-1-1，即总的减去Bj再减去Bj右子树最小的时候，就是Bj左子树最大的时候)
而确定y也是同理，只不过成立确定Bj右子树的结点个数的范围。
(Bj的左右子树的总个数即为总的个数减去Bj本身)。

又因为先序遍历的递归定义为{
先序遍历根节点的左子树，
先序遍历根节点的右子树。
（A1,（A1的左子树的先序遍历），（A1的右子树的先序遍历））。

又因为中序遍历的递归定义是

所以中序遍历序列的逻辑上为
（（Bj左子树的中序遍历序列），Bj，（Bj的右子树的中序遍历序列））

（A1,（A1的左子树的先序遍历），（A1的右子树的先序遍历））
（（Bj左子树的中序遍历序列），Bj，（Bj的右子树的中序遍历序列））

（A1的左子树的先序遍历序列）
（Bj的左子树的中序遍历序列）
（A1的右子树的先序遍历序列）
（Bj的右子树的中序遍历序列）

而且A1=Bj（此表达式说明A1、Bj标识的是树中的同一个结点）
所以得到的是同一个节点的
（Bj（或A1）的左子树的先序遍历序列）|Bj（或A1）的左子树结点
（Bj（或A1）的右子树的先序遍历序列）|Bj（或A1）的右子树结点

所以，就将规模为n=m=k+1的问题化为了两个问题规模为
又因为假设n<=k时，数学结论成立，
所以问题规模为k+1的问题化为了
{（（唯一左子树），根，（唯一右子树））=唯一二叉树}，
问题规模为k+1的数学结论也成立 。
从而推出n=k+1时数学结论成立。

根据第二类数学归纳法（完整归纳法）
1.因为n=1时数学结论成立，

2.而且n<=k时，假设数学结论是成立的，

3.还有可以将问题规模为k+1的问题化为两个问题规模为1<=n<=k-1的子问题，（因为假设n<=k时数学结论成立）从而推出n=k+1时数学结论成立{（（唯一左子树），根，（唯一右子树））=唯一二叉树}，

从而可以推出，当n为任何自然数时，数学结论都成立，所以，当n取任意自然数时，结点个数为n先序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一个结点个数为n的二叉树

证毕。（同样的思路可以证明结点个数为n的后序遍历序列和结点个数为n中序遍历序列可以唯一确定一颗结点个数为n二叉树）

注： 1。数学归纳法只是验证经验模型或者经验式子是否足以成为规律，它并不是演绎推理得出数学规律的手段，而是验证手段
2。当n=k+1时不能直接代入n<=k的式子，而是要从n<=k的式子推出n=k+1的式子的形式与n<k+1的一样，这样才是数学归纳
3。证明的突破口在先序遍历二叉树和中序遍历二叉树的定义
注意 根节点是同一个根节点，因为同一颗二叉树只有一个根节点
根的左子树也是相同的，根的右子树也是相同的
{根节点 先序遍历左子树 先序遍历右子树}
{中序遍历右子树 根节点 中序遍历右子树}