如何判断函数的有垂直渐近线就没有斜渐近线吗和水平渐近线

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 12:36 标签： 有垂直渐近线就没有斜渐近线吗

教学目的：培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。

教学重点：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

1. 水平渐近线（平行于轴的渐近线）

如果或（为常数），那么就是曲线的一条水平渐近线。

例如曲线有两条水平渐近线

2. 铅直渐近线（垂直于轴的渐近线）

如果或，那么就是曲线的一条铅直渐近线。

例如曲线有两条铅直渐近线

如果或（为常数）那么就是曲线的一条斜渐近线。

注意：如果(1) 不存在；

(2) 存在，而不存在, 那么曲线无斜渐近线.

求出，，则就是曲线的斜渐近线

例3-38 求曲线的渐近线

(1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数;

(2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点;

(3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性;

(4)确定曲线的渐近性;

(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点;

(6)联结这些点画出函数的图形.

解:  函数的定义域为 非奇非偶函数,且无对称性.

得水平渐近线,而,铅直渐近线










微 积 分 3.5 曲线的凸凹性及作图 基本知识点 第一次课：函数图形的凹凸性，函数图形的凹凸 区间，曲线的拐点 ； 第二次课: 曲线的渐近线（水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线），作函数图形的方法 。 基本技能 第一次课：判断函数图形的凹凸性，求函数图形的凹凸区间，求曲线的拐点 ； 第二次课: 求曲线的渐近线，作函数图形 。 函数凹凸性充分条件的证明。 难点 处理方法 首先通过几何直观观察出凹凸性的充分条件，其次在证明过程中强调：（1）为什么需要利用拉格朗日中值定理？（2）怎么利用中值定理？本节两个学时。 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 1 凸凹函数 定义 设曲线方程为 若 有 则称其为凸的； 则称其为凹的。 定理1 设曲线方程为 且具有二阶导数， 若 则曲线是凸的； 若 则曲线是凹的。 证明:只证其一。当 时， 令 4.5 曲线的凸凹性及作图 分别在 上， 满足Lagrange中值定理条件 （2）-（1）得： 在 上， 满足Lagrange中值定理条件 4.5 曲线的凸凹性及作图 4.5 曲线的凸凹性及作图 代入（3）式得： 即 所以， 是凹的。 2 拐点 曲线上凹凸性发生变化的分界点。 设曲线 具有二阶导数，若 为拐点， 1） 则 为拐点。 2） 则 不为拐点。 定理 （拐点的必要条件） 则 3 求函数的凹凸区间、拐点 例1 求 的凹凸区间及拐点。 3）用上述点将定义域分成若干小区间，在每个小 区间上考察二阶导数的符号。 解： 给定 1）求定义域 2）求 ，解 求出二阶导数不存在的点； 所以， 和 是曲线的两个拐点。 使 的点为 没有二阶导数不 存在的点。 ( ) ,2 -￥ 不存在 例2 求 的凹凸区间及拐点。 所以，(2,0)是曲线的拐点。 解： 没有二阶导数等于0的点，但 处，二阶导数不存在。 4.5 曲线的凸凹性及作图 1）水平渐近线 ，则 是一条水平渐 近线。 则 是两条水平渐近线。 渐近线 定义 若一直线 在无穷远点和曲线 无限地接近（距离趋近于零），则称直线 为曲线 的渐近线。 渐近线的分类： 如 ，则 是一条水平渐 近线。 2）铅垂渐近线 若 ，则称 为 的铅垂渐近线。 如 是 的铅垂渐近线； 是 的铅垂渐近线。 3）斜渐近线 若 且 存在，则 为 的斜渐近线。 4.5 曲线的凸凹性及作图 例3 求 曲线 的渐近线。 1） ，所以无水平渐近线； 4.5 曲线的凸凹性及作图 2） 所以 为铅垂渐近线； 所以 为斜渐近线。 3） 解： 5 函数作图 6）求出渐近线； 3）求 解 求出驻点以及 不存 在的点； 4）求 解 求出可能的拐点； 5）用上述各点分定义域为若干小区间，在每个小 区间内考察 的符号；以确定单调 性、凹凸性、极值、拐点等。 给定 1）求定义域 2）考察函数的奇偶性、周期性； 7） 必要时，在函数 上求出适当数量的点； 例4 求作出 的图形。 解： 所以，无水平渐近线； 所以， 是铅垂渐近线； 非奇非偶，也不是周期函数。 8） 用光滑曲线将上述各点连接起来，作出图形。 所以， 是驻点 ； 可能是拐点。 为斜渐近线。 单增 单减 单增 单增 （0,0）是曲线的拐点； 为极小值点。 例5 描绘方程 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得 ① ①两边对 x 求导得 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 又因 即

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