函数与反函数的转换连续的定义是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-26 11:42 标签： 函数与反函数的转换

《连续函数的定义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续函数的定义（28页珍藏版）》请在人人文库网上搜索。

1、第三章第三章函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零

,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .:定

3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右

xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续

5、上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明

6、时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为

7、函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函

8、数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.第

9、二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点

10、 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每

a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一

12、类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若|

x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点

14、. .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续 . .1 1、 2）有可去间断点）有可去间断点1 x . .一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为

§1.10  连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

由函数在一点连续的定义，不难发现，函数连续的问题仍是一个函数的极限问题，而函数极限的四则运算法则业已证明，因此，我们只要稍加改动，便可将它们移植到函数的连续。很自然地，我们有下述定理：

【定理一】有限个在某点连续的函数之和仍是一个在该点连续的函数。

【定理二】有限个在某点连续的函数的乘积仍是一个在该点连续的函数。

【定理三】两个在某点连续的函数的商仍是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。

例如：我们已知函数，在上连续，据上述定理，， 在 上也是连续的；而正切与余切函数，则需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。

二、反函数与复合函数的连续性

如果函数在区间上单值，单增（或单减）且连续，则它的反函数也在区间上单值，单增（或单减）且连续。

这一定理的证明从略，但对定理中的一个重要条件：

直接函数在其定义区间内必须是单值，单调，连续

其实，这一定理可简记成：若直接函数在其定义区间上单值，单调，连续，则其反函数在其对应区间上亦然。

另外，区间实际上是直接函数的值域。

下面， 我们来讨论反三角函数的连续性问题。

在上单值、单增、连续，其值域为。反函数 在上亦单值、单增、连续。

由于函数只与对应法则和定义域有关， 而与自变量的选取与关。通常，我们也用来记的反函数。

的反函数在上亦是单值、单减、连续。

的反函数则在上单值、单增、连续。

三、复合函数的连续性定理

设函数当时的极限存在且等于，即

而函数在点连续， 则复合函数当时的极限存在且等于， 即

又，对于上述，，当时，有

表明：求函数极限，可使用变量代换。

将自变量变化趋势，换成新变量变化趋势，

将转化为（其中  ）。

3、定理5中的变量变化趋势可换成 ， 其结论仍旧成立。

设函数在连续，且；而函数在点处亦连续，那么复合函数在处连续。

【证明】：只要在定理5中，令即：在  连续。

于是，(1)式可表示成：

这便证明了函数  在点处连续。

【例1】求（其中为正整数）

这里：我们用到了在处的连续，而在

注：例一的解法用到了定理5的第(2)式。

注：例二的解法用到了定理5中的第(3)式。

前面，我们业已证明了三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的。最后，我们指出(但不作详细地证明)：

1、指数函数在内连续。

2、对数函数在内连续。

3、幂函数在其定义域(定义域要据的取值而定)内连续。

总之，基本初等函数在其定义域内连续。

由基本初等函数在其定义域内的连续性，本节介绍的定理1～6可以导出如下重要而常用的结论：

一切初等函数在其定义域内都是连续的。

最后指出：如果函数在点连续，那么求极限，只需计算即可。这是因为，连续函数在一点的极限值应等于它在该点处的函数值。

解：是初等函数，在它的定义域内是连续的，而点，据基本结论有：

复习紧张，焦头烂额？逆风轻袭，来跨考秋季集训营，帮你寻方法，定方案！

　　2019研究生入学考试的笔试也落下了帷幕，290万考生也终于卸下了沉重的考研包袱，终于可以肆无忌惮的进行身心的放松了。对于想要参加2020考研的小伙伴们来说，基础复习是时候开始进行了，下面小编整理了2020考研数学高等数学复习各知识点的详细解析，供大家参考!

　　函数的和、积、商的连续性

　　我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：

　　a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数;

　　b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数;

　　c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零);

　　推论： 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。

小班面授+专业课1对1+专业课定向辅导+协议加强课程(高定班)+专属规划答疑(高定班)+精细化答疑+复试资源(高定班)+复试课包(高定班)+复试指导(高定班)+复试班主任1v1服务(高定班)+复试面授密训(高定班)+复试1v1(高定班)
非定向（政英班/数政英班） 先行阶在线课程+基础阶在线课程+强化阶在线课程+真题阶在线课程+冲刺阶在线课程+专业课针对性一对一课程+班主任全程督学服务+全程规划体系+全程测试体系+全程精细化答疑+择校择专业能力定位体系+全年关键环节指导体系+初试加强课+初试专属服务+复试全科标准班服务

①凡本网注明“稿件来源：跨考网”的所有文字、图片和音视频稿件，版权均属北京尚学硕博教育咨询有限公司（含本网和跨考网）所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转帖或以其他任何方式复制、发表。已经本网协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明“稿件来源，跨考网”，违者本网将依法追究法律责任。

②本网未注明“稿件来源：跨考网”的文/图等稿件均为转载稿，本网转载仅基于传递更多信息之目的，并不意味着再通转载稿的观点或证实其内容的真实性。如其他媒体、网站或个人从本网下载使用，必须保留本网注明的“稿件来源”，并自负版权等法律责任。如擅自篡改为“稿件来源：跨考网”，本网将依法追究法律责任。

③如本网转载稿涉及版权等问题，请作者见稿后在两周内速来电与跨考网联系，电话：400-883-2220

我要回帖

更多关于 函数与反函数的转换 的文章

 

随机推荐