初一初学立体图形必掌握的知识点和题型

考点1 常见几何体的截面形状

截面的定义：用一个平面截取一个几何体，截出的面叫做截面。

正方体的截面包括：三角形、四边形、五边形、六边形。（为什么截面不可能是

七边形，请同学们一定要弄明白）

圆柱的截面有：圆形、椭圆、长方形、梯形、不规则图形。圆锥的截面有：圆形、椭圆、等腰三角形、不规则图形。以上总结的仅是常见几何体的截面，希望同学们能够有自己的空间想象能力，具体问题具体解决。

原文发表于《中学数学教学参考》2021.6

基于“情境活动”的“问题链+任务单”教学设计与反思

——以《正方体截面的探究》为例

“情境”是实现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查的载体，“情境活动”是在情境中解决问题的活动，而“情境和情境活动”是高考考查内容和考查要求的载体，要求学生在充分理解情境型材料的基础上，寻求解决问题的途径^[1]. 因此，在全面实施新课程使用新教材的过程中，应积极探索基于“情境活动”的“问题链+任务单”教学方式^[2].“问题”是核心，设计问题是为了分解目标，“任务”是载体，设计任务是检测目标达成度.以问题或者任务为中心，创设合理的教学情境、提出恰当的数学问题、设计适合的评价任务，启发思考与交流，践行学科育人的理念.

下面以《正方体截面的探究》为例，谈谈基于“情境活动”的“问题链+任务单”教学设计及反思.

1. 《正方体截面的探究》教学构思与教学设计

内容本质：《正方体截面的探究》是《普通高中数学课程标准（2017年版》附录中的数学探究活动案例11，案例围绕正方体截面问题，设计了跨度较大的数学问题串，优化情境设计，通过多种方法实施探究。引导学生经历探究、发现、证明新问题的完整过程，积累数学探究经验^[3].

知识结构：本节课涉及正方体模型、截面形状、点线面的位置关系等.

学科育人：根据学生的认知基础，让学生经历探究过程，培养发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升理性思维等学科素养.

思想方法：渗透数形结合、转化与化归、特殊与一般和分类与整合等数学思想.

学科素养：培养理性思维、数学探索、数学应用等数学学科素养.发展直观想象、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养.

了解正方体截面的图形特征，理解探究多面体截面的基本方法；经历观察、猜想、推理等活动过程，积累数学探究活动经验，渗透数形结合等数学思想，发展直观想象等核心素养，培养理性思维和创新能力.

认知基础：学生已经学习了空间几何体及点、直线、平面之间的位置关系，掌握了一些性质、定理等，具备一定的空间想象能力和推理论证的能力.

障碍原因：数学探究活动经验不足，分类讨论的意识不强，难以把握分类的标准.

重点难点：引导学生提出问题、分类找出所有可能的截面、证明哪些形状的截面一定存在或一定不存在。可以创设“情境活动”、通过多角度实施探究突破教学难点.

将评价融入“问题链+任务单”的“情境活动中”，及时反馈、诊断目标的达成度，利于调整教与学行为，增强教学活动的层次性，引导学生理解数学本质、归纳数学方法，建构知识体系、培养逻辑思维能力^[4].

准备一个或多个可以切割的正方体模型（如：花泥模具），动手切割正方体，你可以得到多少种不同形状的截面？请根据截面图形的边数，判断其图形特征并说明原因. 

设计意图：设计真实的生活情境，通过实验回顾作截面的两种常用方法：平行法和延长法.进一步直观感知正方体截面的形状为三角形、四边形、五边形、六边形等. 

【问题1】让学生以小组为单位切割正方体花泥，观察截面的形状.

设计意图：设计生活实践情境，切割正方体花泥，观察并记录截面的形状，启发学生提出逐渐深入的系列问题，让学生们亲身体验、初步理解正方体截面的图形特征. 

【问题2】展示注入有颜色液体的透明正方体容器，引导学生观察不同摆放位置、不同水量时液体表面的形状. 

【追问】增加或者减少液体的体积，引导学生观察液面的形状，并画出这些形状的示意图。

【追问】引导学生观察截面的示意图，指出正方体截面有几类不同的形状？

【追问】启发学生按照边数进行分类，归纳截面图形的分类原则，如图1 

【追问】将正方体内分别灌注不同体积的液体且将此正方体旋转到不同的方位，试问正方体内的液面能否为边数超过6的多边形？为什么？

设计意图：设计生活情境，引导学生经历观察、归纳和抽象数学概念的过程，在“情境和情境活动中”归纳正方体截面的形状有三角形、四边形、五边形、六边形等.还可以通过几何画板画出各类正方体截面，体会从实物模型到数学模型的转化过程，直观感受正方体截面的形状变化.学生可以自主或在教师引导下解决一些问题，如：因为正方体只有六个面，并且任何截面至少与三个面相交，至多与六个面相交，所以不可能有超过6边形的截面.

【问题3】如果正方体截面的形状是三角形，可以是直角或钝角三角形吗？为什么？

【追问】可以是等腰三角形吗？可以是等边三角形吗？

【追问】如果正方体截面的形状是四边形，可以是几类不同的四边形？可以是直角梯形吗？为什么？

【追问】能否截出正五边形？为什么？

【追问】是否存在正六边形的截面？为什么？

【追问】是否存在截面面积最大的三角形？为什么？

【追问】这些正方体截面的面积中，是否存在最大值？

【任务】借助几何画板、绘图软件、3d画图软件等信息技术手段引导学生观察、验证自己的猜想.

设计意图：设计“问题链+任务单”，经历“事实—发现—猜想—论证”全过程，体验“在直观中抽象，在探究中发现，在归纳中提炼，在推理中表述”思维过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会分类讨论、数形结合、转化与划归等数学思想，积累从具体到抽象的数学探究活动经验，培养数学抽象等素养.

设计意图：设计问题情境，回顾作截面的一般方法.结合几何画板，引导学生归纳截面的图形特征，总结分类原则，探索图形的变化规律，提升直观想象素养．

【问题5】请说一说本节课探究的知识以及知识结构体系？

【追问】本节课教学中采用了特殊化、分类、类比、推广等策略，请说一说其中蕴含了哪些的数学思想方法和学科素养？

设计意图：引导学生回顾数学探究活动经验，归纳解决问题的一般思路，渗透数形结合等数学思想，发展直观想象等核心素养，感悟理性思维和创新精神.

【任务】正方体的截面不可能是(　　)

2  基于“情境活动”的“问题链+任务单”教学反思

本节课通过创设真实的生活情境，围绕正方体截面这个具体的数学问题，引导学生在情境活动中完成探究、发现和归纳新知的过程，积累数学探究经验。“以课程学习情境为检验基础的量尺，以探索创新情境为区分甄选的手段，以生活实践情境为拓展应用的渠道”^[5] 

基于“情境和情境活动”的“问题链+任务单”教学法，以问题为导向，注重设计学生的活动，采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展活动，将转变学生的学习方式落在实处. 其中，“问题链”是教学主线，“任务单”是问题驱动的载体.本节课的教学从正方体截面的数学本质和教学实际出发，通过提出问题，采用特殊化、分类、类比、推广等策略，引发学生思考、探究与交流，在情境活动中，让学生们亲身体验数学知识发生发展过程，让学生理解数学的本质性、逻辑性、层次性和整体性.

2.3  立足学生主体，体验探究全程

本节课突出了以学生为主体的学习方式，教学流程层次分明，每一个环节都有明确的设计意图，体现“做什么”、“怎么做”、“用什么方法去做”的思维逻辑性．各环节之间以“问题链+任务单”为整节课的教学主线，在具体的情境与问题活动中，学生是交流、反思与表达的主体，让学生感悟数学知识发生发展过程，学会学习．

2.4  重视“过程+整体”，创新评价形式

总之，基于“情境活动”的“问题链+任务单”教学法，有利于创设真实情境，优化情境活动，启发学生理性思维，发展学生的数学核心素养，是落实“学科育人”的有利途径.

* 汶川地震地形剖面示意图 土壤剖面示意图 想一想用什么办法能够知道一个几何体的内部结构呢？ 要知道几何体的内部结构则需要将几何体截开． 观察与思考 1 将一个西瓜或橘子切成两半， 你想象切面大致 是什么形状？ 2 切一些黄瓜段儿，得到不同的截面，请你 思考一下是怎样切的？ 定义： 可以用一个平面去截几何体，就得到一个平面 图形，这个平面图形叫做截面(section) 截一个几何体 用一个平面截一个正方体，截面分别是什么形状？ 三角形 四边形 五边形 六边形 观察截正方体所得截面，截面可能是七边形吗？ Go下页 长方形或正方形 梯形 一般的截面和几何体的几个面相交就能得到几条交线，截面就是几边形 演示实验：用一个平面截一个正方体，截面是三角形. 返回 演示实验：用一个平面截一个正方体，截面是四边形. 返回 演示实验：用一个平面截一个正方体，截面是梯形、正方形或长方形. 方法1 方法2 方法3 方法4 返回 演示实验：用一个平面截一个正方体，截面是四边形. 返回 演示实验：用一个平面截一个正方体，截面是五边形. 返回 演示实验：用一个平面截一个正方体，截面是六边形. 返回 2.几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；一般的截面和几何体的几个面相交就能得到几条交线，截面就是几边形 3.正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形. 1.截面是认识世界的窗口、追溯历史的线索； 用平面去截一个几何体，如果截面是三角形，你能想像出原来几何体可能是什么吗？ 练一练 如图，用平面分别截这些几何体，请你将截面的形状按对应的图号填表： 圆 三角形 圆 长方形 三角形 梯形 三角形 长方形 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 图形编号 截面形状 做一做 1.用平面去截一个几何体如果截面的形状是圆，你能想像出原来的几何体是什么？ 答 ： 球 圆柱 圆锥 如图 用一个平面去截下列各几何体，所得截面与其它三个不同的是 ( 　　 ) A B C D D D 3.指出下列几何体的截面的形状（ 　 ） 4.下边所给图形的截面正确的一项是（ 　 ） D B A B C D A B C D 思考题 1.把一个棱长为2cm的正方体截成8个棱长为1cm的小正方体，至少需要几刀？ 2.魔方是由多少个小正方体组成的，需要将魔方切几刀才能将这些小正方体分开？ 3.如果用平面去截掉正方体的一个角后，还剩几个角？ 注：要截出几边形只要使切面与几个面相交，而要截出特殊的几边形，只需要调整切口的方向。 圆柱的截面有哪几种图形？各种图形是怎样去截而得到的？ （1）平行于两底的平面截圆柱，所得截面是一个圆； （2）垂直于底面的平面截圆柱，所得截面是一个长方形； （3）不平行于两底的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆（或椭圆的一部分）。 球体的截面有哪几种情形？圆锥呢？ 用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，你能想象出原来的几何体可能是什么吗？ 做一做 用平面去截一个几何体如果截面的形状是圆，你能想像出原来的几何体是什么？ 答 ： 圆 圆柱 圆锥 如图 用一个平面去截下列各几何体，所得截面与其它三个不同的是 ( ) A B C D D D 3 指出下列几何体的截面的形状（ ） 4 下边所给图形的截面正确的一项时（ ） A B C D D A B C D B 练习2 分别指出图中几何体截面形状的标号. 感受截面 *