数学问题(集合和映射)求解答 实在做不出来求帮忙

课程目标 ◆意识:建立在计算机科学领域持续追求效率更高,质量更好的算法的创新意识; ◆知识:掌握能支持在计算机科学领域进行探索所需的离散数学、问题建模、数据抽象、算法设计与分析、算法复杂性理论等方面的基础知识; ◆能力:具备分析问题,并采用一定策略进行算法设计的能力,并能对算法进行基本分析的能力; 具备自我探索学习,并凝练问题的能力; ◆技能:掌握熟练使用C++语言及其开发环境实现能正确运行的程序的技能。 教学理念 自我探索,深度引导,理论严密, 训练充分 学习方法 本课程的学习方法是基于上述理念设计的: 自我探索:根据按周进度拟定的计划,每位同学在上课之前必须认真阅读指定的材料,并积极思考,提出问题并试图回答。在学习的同时,有意识地提高自己的自学能力。 深度引导:在每周开始时,教师将围绕指定的内容,通过提出启发性的问题并进行必要分析的方式进行引导。教师讲解的内容与相应的课堂投影材料均是在重点引导的思想下设计的,不会覆盖要求同学掌握的全部,也不会覆盖考试要求的全部。在每周中,另有一次课堂引导时间,针对同学能力与技能培养进行指导。 理论严密:培养坚实的数学与形式化基础是本课程的重要任务之一。基于数学的思维与推理是贯穿在整个课程的学习要求中的。 训练充分:在解题和编程方面均指定了必须完成的课外作业。同学必须以积极的态度独立完成规定的作业。 时间安排 本课程内容分为四个论域,每个论域一学期完成,具体安排如下 ●论域1,计算入门与数学证明 ●论域2,经典数据结构与算法 ●论域3,经典应用问题及其求解方法 ●论域4,复杂性理论初步与“难”问题的求解方法 论题1-1:为什么计算机能解题 ●学习目的:理解问题求解的基本过程; 理解计算机中简单操作为什么能解决复杂问题 引导要点:简单操作能够解决各种复杂问题的关键是算法。 论题1-2:什么样的推理是正确的 ●学习目的:掌握命题逻辑与谓词逻辑的基本推导方法 ●引导要点:计算机解题的关键是正确的推导; 其正向是算法的设计,其反向是正确性证明 论题1-3:常用的证明方法 ●学习目的:掌握逻辑正确的常用证明方法 ●引导要点:为什么这些方法逻辑上是正确的 论题1-4:基本的算法结构 ●学习目的:理解基本的算法结构:顺序、分支、循环、子程序、递归; 理解程序最基本单元的正确性概念 ●引导要点:基本结构的组合方式及其正确性 论题1-5:数据与数据结构 ●学习目的:理解数据在计算机问题求解中的核心作用; 通过例子理解几种常用的数据结构 ●引导要点:有结构的数据对于计算以及算法设计的影响 论题1-6:算法的描述 ●学习目的:理解程序设计语言的基本概念; 了解程序在计算机中的执行方式 ●引导要点:程序设计语言如何体现算法的基本要素与结构 论题1-7:不同的程序设计方法 ●学习目的:了解不同的程序设计方法:函数式、命令式、对象式、逻辑式 ●引导要点:为什么会出现不同的风范 论题1-8:集合及其运算 ●学习目的:掌握集合的基本概念以及基本数学性质; 进一步巩固数学证明能力 ●引导要点:集合语言是形式化方法的基础,也是算法问题表述的基本手段 论题1-9:关系及其基本运算 ●学习目的:掌握关系的概念与基本数学性质; 理解等价关系与次序关系的数学性质; 进一步巩固数学证明能力 ●引导要点:对象及其相互之间的关系是所有数学建模的核心概念 论题1-10:函数 ●学习目的: 从问题求解的角度理解函数的概念及其重要的数学性质; 熟悉函数表述方式 ●引导要点:映射与计算机问题求解-从问题空间到解空间 论题1-11:算法方法 ●学习目的:通过具体示例了解算法设计的基本策略 ●引导要点:理解复杂算法背后的简单原理 论题1-12:算法的正确性 ●学习目的:理解并能够区分程序错误与算法错误; 理解算法正确的概念及其证明方法 ●引导要点:算法正确性证明与一般数学定理证明的异同 论题1-13:有限与无限 ●学习目的:理解无限集合的重要数学性质,理解可数与不可数的差别; 理解有限过程与无限过程的概念与差别; 理解测度空间的基本概念 ●引导要点:如何比较无限集合的大小 论题1-14:算法的效率 ●学习目的:理解算法的时间复杂性的概念与渐进表示方式 ●引导要点:从无限与有限的角度正确理解算法复杂度 论题1-15:问题的难度 ●学习目的:理解问题固有难度的概念; 了解NP-完全理论的基本内容 ●引导要点:区分问题的难度与算法的复杂性,特别是上下界的概念 论题1-16: 基本计算模型与不可计算性 ●学习目的: 理解图林机的基本概念以及丘奇图林论题的基本思想;通过图林停机问题理解不可计算的概念 ●引导要点: 基本计算模型的理论意义 论题1-17: 并行与并发 ●学习目的: 了解并行计算的基本思想以及其特有的问题 ●引导要点: 因为并发产生了特别的问题,应该如何处理; 并行带来的收益如何理解 论题1-18: 模算术与费马小定理 ●学习目的: 掌握模算术的基本内容及其推导方法; 理解模算术在密码中的应用 论题2-1:算法问题与解题的算法 ●学习目的:理解计算机算法的相关概念; 掌握算法复杂性的基本度量方法 ●引导要点:算法设计与算法分析是计算机问题求解不可或缺的两个方面 论题2-2:组合与计数 ●学习目的:掌握在算法分析中常用的计数原理与方法 ●引导要点:为什么算法分析中需要计数 论题2-3:分治法与递归 ●学习目的: 掌握利用分治法设计算法的思路; 深入理解递归在算法设计中的作用 ●引导要点: 策略在计算机算法设计中的意义 论题2-4:递归及其数学基础 ●学习目的:进一步理解递归的数学基础; 更深入地掌握递归算法的分析方法 ●引导要点:如何解递归式 论题2-5:离散概率基础 ●学习目的:理解离散概率的基本概念; 掌握简单离散概率计算的基本方法 ●引导要点:正确理解期望值,由此建立算法分析中期望效率理解的基础 论题2-6:概率分析与随机算法 ●学习目的: 理解概率在算法设计中的作用; 掌握基于概率的算法分析的基本方法 ●引导要点:随机变量在算法分析中的意义 论题2-7:排序与选择 ●学习目的: 深入理解快速排序算法的设计思想与分析方法; 通过排序理解问题复杂度的下限,并探索一些线性排序算法; 掌握以中位数为代表的统计算法 ●引导要点: 如何证明问题复杂度的下限 论题2-8:基本数据结构 ●学习目的:掌握堆栈、队列、链表、指针、根树的概念、实现以及在算法设计中的应用 ●引导要点: 数据结构的算法支撑与实现效率的平衡 论题2-9:堆与堆排序 ●学习目的: 理解并掌握堆的结构、实现以及算法应用; 通过堆的应用与实现理解抽象数据类型的基本概念以及分层抽象的思想 ●引导要点:从数据结构到抽象数据类型的思想发展 论题2-10:Hashing方法 ●学习目的:掌握Hashing方法的原理、处理冲突的方法以及分析方法 ●引导要点: Hashing方法中的冲突处理 论题2-11:搜索树 ●学习目的:掌握利用树结构存储与搜索数据的方法 ●引导要点:树的平衡与搜索效率的关系 论题2-12:动态规划 ●学习目的: 通过实例掌握动态规划的基本思想与算法设计方法 ●引导要点:以空间换时间的关键是存储效率; 动态规划与指数时间的有效降低 论题2-13:贪心算法 ●学习目的: 掌握利用贪心策略设计算法的思路与方法; 掌握用分摊进行算法分析的思想与方法 ●引导要点:贪心算法的正确性证明 论题2-14:用于动态等价关系的数据结构 ●学习目的:理解动态等价关系的概念以及在问题求解中的意义; 掌握以union-find为代表的相应数据结构; 进一步理解抽象数据类型的意义 ●引导要点: 算法分析的困难性 论题2-15:图的基本概念 ●学习目的:掌握图的基本概念以及图论的基本证明方式 ●引导要点:图论应用的广泛性以及图论证明方法的独特性; 理解图与关系的联系 论题2-16:图的计算机表示以及遍历 ●学习目的:掌握在计算机中表示图的方式; 掌握图的深度优先与广度优先遍历方法 ●引导要点:图表示中形式与效率的关系; 不同遍历方法的算法意义 论题2-17:树 ●学习目的:理解树的基本数学性质; 掌握用加权树建立数学模型的方法 ●引导要点:树的数学性质在计算机问题求解中的意义 论题2-18:最小生成树算法 ●学习目的: 理解贪心算法在最小生成树问题中的应用 ●引导要点:如何评价同一问题的不同算法 论题3-1:单源最短通路算法 ●学习目的:掌握单源最短通路问题的解决方法; 掌握最短通路的数学性质并理解其在正确性证明中的作用 ●引导要点:贪心策略在不同算法中的不同体现 论题3-2:多源最短通路算法 ●学习目的:掌握多源最短通路问题的算法 ●引导要点:不通领域表明上完全不同的问题如何归结为同一个模型上的问题 论题3-3:图中的匹配与覆盖 ●学习目的: 掌握利用分治法设计算法的思路; 深入理解递归在算法设计中的作用 ●引导要点: 点与边、匹配与覆盖的对称性 论题3-4:图的连通度与网络流 ●学习目的:理解图中连通度的概念与相关理论;理解图中的网络与流的概念与意义 ●引导要点:连通性的意义 论题3-5:最大流算法 ●学习目的:掌握网络最大流问题的算法 ●引导要点:最大流与最小割集的关系在算法正确性证明中的影响;叠加式算法及其分析 论题3-6:图论中的其它专题 ●学习目的: 理解图论中一些著名的问题以及它们在计算机问题求解中的地位,包括图顶点着色问题、哈密尔顿回路问题与平面图 ●引导要点:图模型应用的广泛性 论题3-7:矩阵计算 ●学习目的: 掌握矩阵计算中一些基本问题的算法以及其在线性系统中的应用 ●引导要点: 线性系统及其在问题求解中的重要性 论题3-8:线性规划 ●学习目的:掌握线性规划的基本概念,问题描述方式以及基本算法 ●引导要点:线性规划的意义与适用性 论题3-9:多项式与FFT ●学习目的: 掌握计算机处理多项式的基本算法;掌握快速傅立叶方法的计算机实现 ●引导要点:多项式的表示如何影响算法设计与实现 论题3-10:群与拉格郎日定理 ●学习目的:理解抽象代数结构的基本概念;理解群的数学性质以及抽象代数典型推导方法 ●引导要点:公理化系统的思想 论题3-11:环与域 ●学习目的:理解环与域的基本概念;理解环与域的数学性质以及在计算机科学中的意义 ●引导要点:多个运算的代数系统的数学性质与推理方法 论题3-12:数论基础 ●学习目的:掌握数论的基础知识,理解典型的数论问题及其解决思路 ●引导要点:模算术的概念与处理方法在数论中的应用 论题3-13:数论算法 ●学习目的:掌握数论中一些基本问题的算法 ●引导要点:数论算法的问题大小度量方式的特殊性 论题3-14:密码算法 ●学习目的:掌握公钥密码系统的基本原理;理解其中核心的数论算法 ●引导要点: 数论算法的核心作用 论题3-15:代数编码 ●学习目的:理解如何能建立利于查错,纠错的编码系统;理解抽象代数的应用意义 ●引导要点:群的性质如何保证编码系统的性质 论题3-16:群与对称 ●学习目的:理解群在处理对称系统中的应用,进一步理解群的应用意义 ●引导要点:对称群的结构与基本理论 论题3-17:串匹配 ●学习目的:掌握最常用的字符串匹配算法 ●引导要点:匹配算法的原理及其适用性 论题3-18:计算几何算法 ●学习目的: 理解计算几何中一些最基本的问题及其解法 ●引导要点:几何计算与计算机图形处理之间的关系 论题4-1:问题的形式化描述 ●学习目的:熟悉以基于集合的形式化方式描述问题以及相关的对象,为严格的算法分析打下基础 ●引导重点:如何有效地理解形式化描述 论题4-2:NP完全理论初步 ●学习目的:理解如何按照问题难度对问题进行分类; 理解NPC的证明方法 ●引导要点:规约在NPC理论中的意义 论题4-3:伪多项式算法 ●学习目的:理解为什么若输入满足一定条件,则此条件有可能被利用来降低算法的复杂性 ●引导要点:如何识别一个可利用的输入子集条件 论题4-4:分支-界限算法 ●学习目的:理解如何加快解空间搜索的速度,以至与算法复杂度得以降低 ●引导要点:如何判断可以剪枝的条件 论题4-5:局部搜索算法 ●学习目的:掌握通过局部搜索试图获得最优解的方法 ●引导要点:如何合理定义邻集 论题4-6:松弛算法 ●学习目的:掌握将整数规划问题转换为一般线性规划问题的解题途径 ●引导要点:如何从可能是非可行解得到需要的结果 论题4-7:近似算法的基本概念 ●学习目的:理解与近似算法相关的基本概念; ●引导要点:理解近似算法的基本评价方法 论题4-8:覆盖问题与最大割集问题 ●学习目的:通过覆盖问题与最大割集的例子理解将贪心算法与松弛算法结合进行问题求解的方法 ●引导要点:基于“直觉”的思路可以产生明显的效果 论题4-9:背包问题 ●学习目的:以背包问题为例理解如何针对一个相对容易的“难”问题找到好的算法(PTAS) ●引导要点:如何有效地利用多种概念与算法设计策略以达到效率的提高 论题4-10:旅行推销商问题 ●学习目的:以旅行推销商问题为例理解最难的一类优化问题的处理方法 ●引导要点:如何对算法进行不断改进; 理解近似算法的稳定性以及其在问题求解中的意义 论题4-11: Bin-Packing问题 ●学习目的:以bin-packing问题为例,理解对偶近似方法 ●引导要点:对偶在算法设计中的意义与效果 论题4-12:随机算法的基本概念 ●学习目的:理解与随机算法相关的基本概念; 理解随机算法的基本评价方法 ●引导要点:正确性的概念与期望正确率的概念 论题4-13:素性判定问题 ●学习目的:理解单边错Monte Carlo方法在随机算法设计中的应用 ●引导要点:如何利用数学知识减少false witness 论题4-14:等价测试问题 ●学习目的:以多项式等价测试为例理解随机算法设计中的指纹方法 ●引导要点:问题的转移 论题4-15:最小割集问题 ●学习目的:以最小割集为例理解如何用随机算法解优化问题 ●引导要点:随机算法用于优化问题与用于判定问题的差别 论题4-16:可满足问题 ●学习目的:通过Max-Sat问题理解如何将随机算法和优化算法很好地结合起来,以达到效率与解质量的权衡 ●引导要点:多种方法的结合使用 论题4-17:去随机方法 ●学习目的:理解并掌握去随机的基本方法,即结合经用场景,可能可以在输入空间的一个子集上将随机算法改为确定算法 ●引导要点:如何找合适的输入子集 论题4-18:启发式算法 ●学习目的:通过典型的模拟淬火算法,理解启发式算法的基本概念,其价值以及局限性; 了解遗传算法的基本思想及其适用性 ●引导要点:如何从自然界获得灵感,以非常简单的思路改造算法

正文目录1,什么是映射? 2、贴图分类/的映射为既是单射,又是满射(英: bijection,日:全单位射() ) ) ) ) ) )

“所有y的元素由x的元素指示,并且仅由x的一个元素指示。 没有指向的,也没有被两个以上x的要素指向的。 ”

最典型的是“学生”(x )及其“学生证号码”(y )。 所有的学生都一定有,只有一个学生证号码,所以这个先映射。 此外,所有学生证号码必然面向一个学生,没有面向任何学生的学生证号码(即全射),也没有同时面向多个学生的学生证号码(即单射),因此这种映射关系为双射关系

学生证号码(双镜头) :

一对一对应是彼此在集合中,且只有对方与自己对应的要素。

2.4既不是单射也不是满射,但因为映射还有另一个映射关系,既不是单射也不是满射。 y中存在未由x元素指示的元素,但指示的y元素也并非全部由一个x元素指示(存在多个x元素指示的元素)。

比如围棋比赛吧。 有“棋手”(x )和“盘”(y )两个集合。 有一个棋手,只在一个棋盘上下棋,而一个棋盘上有两个棋手。 但是,并不是所有的棋盘上都有棋手。 比

如,有3个棋盘,却只有4位棋手,那么,必然有一个棋盘是空的,不被任何棋手所指向。
每一个棋手指向且仅指向一个棋盘,这是映射。但是,既不是每个棋盘都必被棋手所指向,也不是每个被指向的棋盘都无一例外只被一个棋手所指向的,所以这种映射关系,既不是满射,也不是单射。 3、你掌握了吗?

你学废了吗?来,来,来,拿出你的小本本和笔,做两道题来练一下吧!

一共有六道题。写出两个集合之间是否存在映射关系,如果存在,写出是哪一种映射关系。
要求:从“单射而非满射”、“满射而非单射”、“双射”、“不是单射也不是满射”、“不是映射”中选词作答。

答案将会在评论区公布。

我又听见了那句上学时经常听到的问题:“我知道这个有什么用?我买菜需要用到它吗?”
嗯,你买菜当然不会用到它,你不会跟摊主说,你这菜和你人之间有什么映射关系。
但是,比如说,你在设计数据库的时候,就可以和同一个组的小伙伴讨论道,“这个字段应该是主键。因为它值的集合与这个表中记录的集合呈双射关系。”
“emmm……啊??主键,我觉得大概可能是这个属性啊。为什么呢?因为……我也说不上来,大概,就是因为那个,它是唯一的。啊不,它可以唯一确定一个人……emmm,一个人只拥有一个这种属性,这种属性也只对应一个人……emmmm,大概也许就是这样吧,我也不是太清楚,我也不太确定,你自己再考虑考虑吧!”

2022年国家自然科学基金之天元数学优化讲习班

现代变分分析与数学优化

现代变分分析是数学领域的重要研究课题之一,已成为运筹学计算数学、机器学习、压缩感知、最优控制动力系统等领域研究的重要分析工具随着大数据与人工智能时代的到来,客观实际问题呈现出规模大、结构复杂、不确定性、多属性与系统性。这些问题为现代变分分析与数学优化理论及其相关领域的深入研究带来了发展机遇,同时也给其带来了诸多挑战。为了推动变分分析与数学优化相关学科的发展,交流最新研究成果,促进学术合作与交流,带领年轻学者掌握现代变分分析相关数学优化基础研究方法和前沿研究手段,在国家自然科学基金数学天元基金与西南大学数学与统计学院等资助下,西南大学联合中国运筹学会主办拟定于2022年6月15日至2022年7月4日特推出“现代变分分析与数学优化讲习班”,并于2022年7月5日至2022年7月7日举办“变分分析与优化前沿论坛”。

本次讲习班邀请到国内外著名的中青年专家,为国内数学优化、计算数学、机器学习等方向的研究生开设变分分析与优化相关专题课程和优化前沿学术报告,同时介绍相关课题在国际上最新的研究理论和方法。

西南大学、中国运筹学会

西南大学数学与统计学院

学术委员会(按拼音排序):

主席戴彧虹 研究员(中国科学院数学与系统科学研究院)

张伟年 教授(四川大学/西南大学数学与统计学院兼职学术院长)

林贵华 教授(上海大学)

罗自炎 教授 (北京交通大学)

宋文  教授(哈尔滨师范大学)

王宪福 教授 (加拿大英属哥伦比亚大学)

张国川 教授 (浙江大学)

郑喜印 教授(云南大学)

周家足 教授 (西南大学)

组织委员会成员(按拼音排序):

刘贤宁 教授 (西南大学,数学与统计学院常务副院长)

王建军 教授 (西南大学,数学与统计学院副院长)

易遵尧 教授 (西南大学,数学与统计学院党委书记

张俊容 副教授(西南大学)

刘亚丽,刘婕,宋丹,苏化升,杨蕊溪,郑金兰

学员应具备一定的泛函分析、凸分析、非光滑分析与优化理论等基础的学者、硕士与博士研究生。

2022年6月14日报到,6月15日至7月4日专题讲习班正式上课,7月5日-7月6日学术会议,7月7日自由讨论,7月8日离开。专题讲习班授课内容见附件1,课程安排见课程表。

五、授课方式与授课地点

本次讲习班采用线上为主,线上与线下方式相结合,线下授课地点为西南大学数学与统计学院学术报告厅(明德楼18楼会议室1802)。因疫情原因,线下学员不超过30人(仅限重庆市内)。备注:建议学员自带笔记本电脑。

本讲习班不收取学员任何费用,免费提供相关学习资料,为所有线下学员提供工作餐,住宿自理。

1:专题讲习班授课安排(暂定)

主讲教师张立卫 教授(大连理工大学)

主讲内容1.宇宙空间:方向点;地平锥;地平函数;强制性质。

2.集值映射: 集合列的外极限,内极限和收敛;

集值映射的外极限,内极限和收敛;上图收敛。

非线性优化约束集合的切锥和外二阶切集。

4.下半连续函数微分学:

主讲教师王宪福 教授(加拿大英属哥伦比亚大学)

主讲教师宋文 教授(哈尔滨师范大学)

主讲内容1. 经典最优化条件回顾,上图导数、切锥、法锥及其基本性质。

2. 抛物正则与二阶上图可微性

4. 复合优化问题的二阶最优性条件

主讲教师罗自炎 教授等北京交通大学优化团队(北京交通大学)

主讲内容:变分分析与稀疏优化,主要内容包括:

主讲教师林贵华 教授(上海大学)

主讲内容1.非合作博弈及其求解方法;

2. 主从博弈及其求解方法。

主讲教师郑喜印 教授(云南大学)

主讲内容:变分分析中的度量正则性与度量次正则性,包括:

1.切锥、法锥和次微分及其主要性质回顾,

讲习班教材及参考文献

[15]赵晨,罗自炎,修乃华, 稀疏优化理论与算法若干新进展,运筹学学报,-24

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