无穷级数an,bn发散,min{an,bn}的无穷级数发散吗？如果发散，请证明。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-15 11:37 标签： 常用的无穷级数

【摘要】本文主要讨论了任意项级数敛散性判定的几种有效方法.根据幂级数收敛域的特点，构造幂级数，判定任意项级数的敛散性.

【关键词】任意项级数;敛散性;幂级数;收敛域

无穷级数是高等数学的重要内容之一，判定级数的敛散性是无穷级数理论的重要组成部分.在无穷级数的教学中，介绍正项级数敛散性[1]的方法较多，而对判定任意项级数的收敛与发散的方法没有系统地讨论说明.本文主要针对任意项级数收敛性判定问题进行探讨.

所谓任意项级数，即在级数∑∞n=1un中，一般项un（n=1，2，…）的值正负没有规律.

一、用级数收敛的必要条件判定

级数收敛的必要条件：如果级数∑∞n=1un收敛，则一般项 limn→∞un=0.

由级数收敛的必要条件知：如果 limn→∞un≠0，则级数∑∞n=1un发散.用此结论可以判断级数是否发散.

二、用幂级数的收敛域判定

用幂级数的收敛域判定时，根据级数∑∞n=1un的形式，构造幂级数∑∞n=1anxn，把数项级数看作是幂级数在x=x0处的级数，通过幂级数的收敛域范围，判定对应的数项级数的收敛性.

如果是级数∑∞n=1nnn！（2e）n，因为幂级数∑∞n=1nnn！xn的收敛区间为-1e，1e，则在x=12e时，级数∑∞n=1nnn！（2e）n收敛.

在数列极限的存在准则中有夹逼准则，此准则可推广到无穷级数的敛散性的判定上.

如果级数∑∞n=1an与∑∞n=1bn收敛，且an≤un≤bn（n=1，2，…），则级数∑∞n=1un也收敛.

四、用绝对收敛的性质判定

此方法的优点在于可以把任意项级数的收敛性问题转化为正项级数收敛性来判断.但是如果∑∞n=1|un|发散，并不能断定原级数∑∞n=1un也发散.但是用比值判别法 limn→∞un+1un=ρ>1或根值判別法 limn→∞n|un|=ρ>1判定级数∑∞n=1|un|发散，可以断定级数∑∞n=1un也发散.

此外，还可以用部分和{sn}的极限、莱布尼茨定理[3]、阿贝尔判别法[4]等来判定级数∑∞n=1un的敛散性.

上述论述阐述了高等数学中任意项级数敛散性判定的一些常用方法.在解决具体问题时，要根据级数自身的特点，灵活选择方法.

[1]王帅，等.高等数学（上）[M].上海：同济大学出版社，2015：6-9.

[2]盛祥耀.高等数学：第四版[M].北京：高等教育出版社，2008：265.

[3]同济大学数学系.高等数学：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007：262.

[4]华东师范大学数学系.数学分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010：24.

级数分为：常数项级数、幂级数、傅里叶级数

  1. 添加、减少、改变有限项，级数敛散性不变。

2. 几何级数—— .

每一个常数项都不小于0的级数就是正项级数。

三个判别法：（比较法、比值法、根值法）

A：-R到R内部的范围通过ρ已经解决了，再研究一下-R和R两个位置上的收敛情况就可以得到收敛域了。

幂级数分析性质（就是微分、积分的问题）

Th1.（逐项可导性）

任务一：函数展成幂级数. (拆)

我要回帖

更多关于 常用的无穷级数 的文章

 

随机推荐