量子力学拉普拉斯算子，求推理过程详解，急急急！！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-11 07:30 标签： 什么是拉普拉斯算子
题主的问题是「拉普拉斯算子如何进行坐标变换？」，答案很简单：按广义协变性（General Covariance)的逻辑变换.这里的坐标变换本质上是一个形式上的变换，只是隐藏了原来的欧式度规而并不涉及空间的弯曲。这某种意义上可以理解为添加了一个赝场。直接代入坐标变换关系（Jacobian）的方法对应的计算比较冗长，而这种方法的精神可以用「广义协变性」，or rather，最小耦合(minimal coupling)来概括.下面不讨论物理，而是按照「广义协变性」的逻辑，对原问题的给出一个数学上的回答.作为学物理的，自然要找相应的协变表示嘛…(只不过此时要考虑的情形处于一个“类空（spacelike)”的背景罢了)只要这些协变表示能够在伽利略坐标下退化为熟知的形式即可.引入某个协变导数算符，并注意到Levi-Civita联络在局域测地系（伽利略系）中一致为0，于是很自然地要求该导数算符无挠(torsion-free)且度规适配（metric-compatible).数学上，无挠且度规适配的协变导数算符对应的联络只能是Levi-Civita联络: \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}:=\frac{1}{2}g^{\mu \rho}(g_{\rho \nu,\lambda}+g_{\rho \lambda,\nu}-g_{\nu \lambda,\rho}) .尝试把散度定义为： \nabla_{\mu}V^{\mu}=\partial_{\mu}V^{\mu}+\Gamma^\mu_{\nu \mu}V^{\nu}[1] .考虑到这个量在伽利略系下就是通常说的“散度”，所以这就是我们要找的协变表示.注意到： \Gamma^{\mu}_{\nu \mu}=\frac{1}{2}g^{\mu \rho}\partial_{\nu}g_{\mu \rho}= \frac{1}{\sqrt g}\partial_{\nu}\sqrt g.显然这里只需考虑正定度规: \det(g_{\mu \nu})=:g>0.\delta g=gg^{\mu \rho}\delta g_{\mu \rho}\Rightarrow \frac{1}{2}g^{\mu \rho}\partial_{\nu}g_{\mu \rho}=\frac{1}{2}\frac{1}{g}\partial_{\nu}g=\frac{1}{\sqrt g}\partial_{\nu}\sqrt g.故而曲线坐标系中的散度就是一个在「广义协变性」语境下的标量：
\frac{1}{\sqrt g}\partial_{\nu}(\sqrt g\,V^{\nu}) .按同样的逻辑，满足「度规退化为 \delta_{\mu \nu}」 \Rightarrow 「“协变表示”退化为“熟知的表示”」的要求的旋度应是： \frac{1}{2}\epsilon^{\mu \nu \lambda}A_{\nu \lambda}:=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt g}\in^{\mu \nu \lambda}A_{\nu \lambda} ， A_{\mu \nu}:=\partial_{\mu}V_{\nu}-\partial_{\nu}V_{\mu}=2\nabla_{[\mu}V_{\nu ]} , 而\in^{\mu \nu \lambda}:=1(even \ perm),-1(odd \ perm),0(otherwise)对于保定向(orientation-preserving)坐标变换是权 w=1 的赝张量密度.如此定义的旋度是一个与反对称张量 A_{\mu \nu} 对偶的赝矢量密度，这是熟知的性质.三维正交曲面坐标系里的梯度很好处理，直接出结果： \mathrm{grad}=\nabla q^{i}\frac{\partial}{ \partial q^{i}} .显见 d\mathbf{r}\cdot \mathrm{grad}f=df,
\forall 任意标量场 f , q^{i} 为某种广义坐标.注意到 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \cdot\nabla q^j =\delta^j_i
，且 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} 和 \nabla q^i 在三维坐标变换下就像坐标基 \partial_{i} 和 dq^i 那样变换,
所以很显然,
它们——本身作为几何对象——可以被自然认同为「广义协变性」语境下的坐标基.进一步地，考虑到 \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}\bigg
^2=\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\delta_{kl}\frac{\partial x^l}{\partial q^i}=g_{ii} ，\nabla q^i 与 \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} 均沿等 q^i 面法向增大的方向，得到： \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}=\sqrt{
g_{ii}|}e_{i}=:H^ie_{i},\nabla q^i=\frac{1}{H^i}e_{i}, e_i 为相应坐标线的单位切矢.H^i=\sqrt{|g_{ii}|}
就是物理学家在早托班就学过的「拉梅系数」.于是三维正交曲面坐标系下的梯度就是： \mathrm{grad}= \Sigma_{i}\frac{1}{H^i}e_{i}\partial_i.下面以球坐标系为例，给出散/旋度的表达式：度规 g_{ij}=\mathrm{diag}(1,r^2,r^2\sin^2{\theta}) , \sqrt{\mathrm{det}(g_{ij})}=\sqrt{g}=r^2\sin{\theta} \vec{V}=V^re_{r}+V^{\theta}e_{\theta}+V^{\phi}e_{\phi}=\Sigma _{i}V^i\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} ,其中 V^{r,\theta,\phi} 是关于单位切矢基的分量， V^i 是关于协变基的分量, V^{i,j,k}=V^{r,\theta,\phi}/H^{i,j,k} [2]于是：\begin{align} \mathrm{div} \vec{V}= \frac{1}{\sqrt{g}}\Sigma_{i}\partial_{i}(\sqrt{g}V^i)&= \frac{1}{\sqrt{g}}\bigg[\partial_{r}(V^r \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g_{rr}}})+ \partial_{\theta}(V^\theta\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g_{\theta \theta}}})+ \partial_{\phi}(V^\phi \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g_{\phi \phi}}})\bigg] \\&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(V^r r^2)+\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(V^{\theta}\sin{\theta}) +\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}(V^\phi)\end{align} \begin{align}\mathrm{curl}\vec{V}&=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}
\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt g}\in^{i j k}A_{jk}\\&=\sum_{(i,j,k)}\sqrt{g_{ii}}e_{i}
\frac{1}{\sqrt{g}}(\partial_{j}V_{k}-\partial_{k}V_{j})
\end{align} 其中 V_{i}=g_{ij}V^j .用“mnemonic”的方式写出来就是：\mathrm{curl}\vec{V}= \frac{1}{r^2\sin{\theta}}\left
\begin{array}{ccc}
e_{r} & re_{\theta}&r\sin{\theta}\ e_{\phi}\\ \partial_{r}&\partial_{\theta}
&\partial_{\phi}\\ V^r&rV^{\theta}&r\sin{\theta}\ V^{\phi}
\end{array}\right
.这与题主图中的内容是一致的.Laplacian的协变形式非常简单： \square_{g}=g^{\mu \nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}=\nabla_{\mu}g^{\mu \nu}\nabla_{\nu},所以其作用在标量场 \Phi 上，结果为： \square_{g}\Phi= \nabla_{\mu}(g^{\mu \nu}\partial_{\nu}\Phi)=\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{\mu}(\sqrt{g}g^{\mu \nu}\partial_{\nu}\Phi) .这在球坐标系下退化为： \frac{1}{r^2\sin{\theta}}\bigg [\partial_{r}(r^2\sin{\theta}\ \partial_{r}\Phi)+\partial_{\theta}(\sin{\theta}\ \partial_{\theta}\Phi)+\partial_{\phi}(\frac{1}{sin{\theta}} \ \partial_{\phi} \Phi)\bigg] .其他正交曲面坐标系内的相应结果也可以很快写出.^为排版方便起见，这里不区分希腊字母和拉丁字母^按对应关系取值

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