不定积分的求解技巧这道积分题

1.曲线L是A(-a,0)经过上半椭圆(a>b)到B(a,0)的弧段,求在L上积分

分析:这三个题目被积函数均相同(其实都是第三题的变题),而且均为积分与路径无关,因此,我们就需要重新,选择路径。这种我们一般选择可以使得分母为常数的路径

第一个:我们选择:从(-a,0)到(a,0)的上半弧

第二个:原来起始点为(-pi,0)(pi,0),因此我们选择的上半弧

从这里就可以看出,其实第一题和第三题答案应该一模一样,而且第二题的答案,应该是一三答案里面把a换成pi,所以我们先来做第三题。

正常的积分与路径无关,我们换路径之后,都回去考虑格林公式,那么这题可以吗?答案是不行的,为什么,有人可能认为,换完路径是一个半圆,然后格林公式算面积,这题最骚的就在这:(0,0)点是奇点,而你要想用格林,且最快解出答案,必定要选择(0,0)这个路径(可以看下图)

我们对于这种问题一般有两种方法,不采用格林,就用半圆弧计算:

第一种我们先把分母拿出来,用x来表示y,全部化为x的定积分

第二种:我们还是把分母拿出来,用参数方程做,参数t的取值,可以利用x,y的起始位置来确定

详细答案:(推荐!!)

通过上面的解答我们发现参数方程是很简单,而且惊喜的看到答案里面和a无关!!因此,第二问答案也是-pi,我们可以总结一下规律:

 这种被积函数,肯定是积分与路径和无关,而且,起终点关于y轴对称(起点在左,终点在右,位置互换,可以自己研究一下),那么曲线积分的值一定是-pi!!!

第1(1)题,使用柱坐标,化成累次积分

第1(2)题,使用球坐标系

第2题,使用柱坐标系,化三重积分为累次积分追问

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第1(1)题,使用柱坐标,化成累次积分第1(2)题,使用球坐标系第2题,使用柱坐标系,化三重积分为累次积分

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