n阶矩阵一定有n个特征向量A的n阶特征值怎么求？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 03:39 标签： n阶矩阵一定有n个特征向量

说明 如无特别说明都是实对称矩阵

定理 对称矩阵的特征值为实数

为对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即

定理的意义 由于对称矩阵A的特征值

为实数，所以齐次线性方程组

知必有实的基础解析，从而对应的特征向量可以取实向量。

是对称矩阵A的两个特征值,

定理 设A为n阶对称矩阵， 是A的特征多项式的r重根，则

恰有r个线性无关的特征向量

定理 设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵p,使

是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。

证明 设A的互不相等的特征值为

根据之前定理，对应特征值

个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得
个单位正交的特征向量，由

知，这样的特征向量共可得n个。

对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵P,则

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：

【大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值我是这样证明的因为AAT=E,所以A为正交】

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