一元二次方程二次函数两根之和 两根之积和k的关系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-11 04:33 标签： 二次函数两根之和 两根之积

本文整理了一元二次方程例题及解析，欢迎阅读。

一、 选择题(每小题3分，共30分)

2、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于( )

4、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )

5、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )

6、已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是( )

7、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是( )

8、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+ 和2- ，则原方程是( )

10、已知直角三角形x、y两边的长满足|x2-4|+ =0，则第三边长为( )

二、 填空题(每小题3分，共30分)

11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是

15、2005年某市人均GDP约为2003年的1.2倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为

16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为 cm.(精确到0.1cm)

17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为 m，竹竿长为 m.

18、直角三角形的周长为2+ ，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为

19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则 的值是

20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、，则 + 的值为

若AB、AC其中之一为8，另一边为2，则m=16

依据的是平方根的意义，步骤是：将方程转化为x=p或（mx+n)=p的形式；分三种情况降次求解：当p>0时；当p=0时；当p<0时，方程无实数根。需要注意的是：直接开平方法只适用于部分的一元二次方程，它适用的方程能转化为x=p或（mx+n)=p的形式，其中p为常数，当p≥0时，开方时要取“正、负。

利用求根公式，直接求解。把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。一般步骤为：把方程化为一般形式；确定a、b、c的值；计算b-4ac的值；当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。

以上就是小编整理的一元二次方程例题及解析，感谢阅读。

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下面，我们利用多项式方程的通用性质，对如何构造多项式方程根的表达式进行总体的讨论。

一元二次方程的标准形式为

为方便求解，我们将方程两边同时除以 a ，化为最高次项（这里是二次项）系数为 1 的（也叫做「首一的」）一元二次方程

根据 （），我们知道，任何复系数一元二次方程有且仅有两个复数根。

于是，我们不妨设原方程的两个解为 x_1 、 x_2 。考虑到方程的解是使方程成立的所有值，则上述首一的复系数一元二次方程的左边一定可以因式分解为（等价于）

通过比较方程的系数，可以得到下列两个等式：

以上两个式子给出了一元二次方程的根与系数的关系，又叫做一元二次方程的韦达定理。

利用简单的代数恒等变形，可知一元二次方程的两根必然满足以下恒等式：

值得注意的是，这两个恒等式中，分子的第二括号里面多项式的系数，以及第二个等式中分子每项括号前面的系数刚好就是 1 的平方根 1、-1。

其中， x_1+x_2 可以由韦达定理的 σ_1 给出。因此，我们只需要知道如何用方程的系数表示 x_1-x_2 ，就可以用方程的系数表示一元二次方程的两个根 x_1 、 x_2 。

于是，我们利用韦达定理构造代数式

数学上，把这种需要预先构造出来的关于多项式方程 p(x)=0 的根的辅助代数式，称为多项式方程的「预解式」。记作 t=t(x_1,x_2,x_3,…,x_n) 。

最后将一元二次方程的韦达定理 σ_1 与预解式 t 代入两根满足的恒等式，我们完美地求解出一元二次方程的通用求根公式

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对于一元三次方程，我们也可以利用同样的思路，构造出三次方程的求根公式。具体过程如下：

由代数基本定理，可知任何复系数一元三次方程有且仅有三个复数根。

于是，我们不妨设原方程的三个解为 x_1 、 x_2 、 x_3 ，则上述首一的复系数一元三次方程的左边一定可以因式分解为（等价于）

通过比较方程的系数，可以得到下列三个等式，也就是一元三次方程的韦达定理：

利用简单的代数恒等变形，可知一元三次方程的三根满足类似的恒等式

其中， x_1+x_2+x_3 可以由韦达定理的 σ_1 给出。因此，我们只需要知道如何用方程的系数表示 x_1+ωx_2+ω^2x_3 和 x_1+ω^2x_2+ωx_3 ，就可以用方程的系数表示一元三次方程的两个根 x_1 、

换言之，一元三次方程的预解式为

进而，一元三次方程根的表达式可以被简洁地记作

最后，通过构造预解式，再代回三个根满足的恒等式，我们就可以推导出三次方程的求根公式：

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三、推广到任意次数的一元多项式方程

事实上，对于任何次数的多项式方程

可以证明，根与系数之间的关系都满足相同形式的一组等式，记作 σ_i （ i=1, 2, 3,…, n ）：

数学上将这组公式称作「韦达公式」或「韦达定理」。

根据复数范围内加法、乘法的交换律，我们知道，任意交换其中两个根的位置， σ_i 的值都不变，也就是说：根在这些式子中的位置是等同的， n 个不同的根的表达式可以任意排序。多项式代数中也将韦达公式称为关于多项式方程的「基本对称多项式」。

  • 求解任意次数的一元多项式方程，我们总可以利用类似的方法，由韦达定理 σ_i 出发，利用恒等变形构造出一系列预解式 t_i ，进而构造出通用的求根公式

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