[理学]高数 函数的极限

第三节 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 两种特殊情况 : 例1. 证明 二、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 例1. 证明 例2. 证明 例3. 证明 例4. 证明: 当 2. 局部保号性定理 推论: 定理 2 . 若在 3. 左极限与右极限 例5. 设函数 三、 极限的四则运算法则 推论: 若 定理 2 . 若 定理 3 . 若 例3. 设有分式函数 例4 . 求 例5 . 求 一般有如下结果： 四、 复合函数的极限运算法则 例1. 求 例2 . 求 第五节 一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 定理1. 定理1. 例1. 证明 2. 函数极限存在的夹逼准则 二、 两个重要极限 注 例2. 求 2. 例6. 求 例7. 求 内容小结 2. 两个重要极限 思考与练习 有定义 且 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 由定理 1 知 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 解: 例3. 求 解: 令 则 因此 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 当 时, 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 则 从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 说明 ：若利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 二、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 定义1 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数 当 时, 有 当 时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 . 若 且 A

 包括微积分和线性代数两个部分，具体大纲如下：
2006年全国硕士研究生入学考试数学二考试大纲
　　高等数学、线性代数 
　　一、函数、极限、连续 
　　函数的概念及表示法　函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性　复合函数、反函数、分段函数和隐函数　基本初等函数的性质及其图形　初等函数　简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质　函数的左极限与右极限　无穷小和无穷大的概念及其关系　无穷小的性质及无穷小的比较　极限的四则运算　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则　两个重要极限 : 
　函数连续的概念　函数间断点的类型　初等函数的连续性　闭区间上连续函数的性质 
 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
 
 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 
　　3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 
　　4。　掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。 
　　5。　理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 
　　6． 掌握极限的性质及四则运算法则 
　　7． 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 
　　8． 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 
　　9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 
　　10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 
　　二、一元函数微分学 
　　导数和微分的概念　导数的几何意义和物理意义　函数的可导性与连续性之间的关系　平面曲线的切线和法线　基本初等函数的导数　导数和微分的四则运算　复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法　高阶导数　一阶微分形式的不变性　微分中值定理　洛必达（L’Hospital）法则　函数的极值　函数单调性的判别　函数图形的凹凸性、拐点及渐近线　函数图形的描绘　函数最大值和最小值　弧微分　曲率的概念　曲率半径 
　　1。
 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 
　　2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 
　　3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数． 
　　4。
 会求分段函数的一阶、二阶导数． 
　　5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数． 
　　6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理． 
　　7． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用． 
　　8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 
　　9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 
　　10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 
　　三、一元函数积分学 
　　原函数和不定积分的概念　不定积分的基本性质　基本积分公式　定积分的概念和基本性质　定积分中值定理　积分上限的函数及其导数　牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法　有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分　广义积分 定积分的应用 
　　1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念． 
　　2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 
　　3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分． 
　　4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式． 
　　5．了解广义积分的概念，会计算广义积分． 
　　6．了解定积分的近似计算法、质心． 
　　7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值． 
　　四、多元函数微积分学 
　　多元函数的概念　二元函数的几何意义　二元函数的极限与连续的概念　有界闭区域上二元连续函数的性质　多元函数偏导数的概念与计算　多元复合函数、隐函数求导法　二阶偏导数　多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值　二重积分的概念、基本性质和计算 
　　1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
 
　　2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。 
　　3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。 
　　4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。
 
　　5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。　　 
　　常微分方程的基本概念　　变量可分离的微分方程　齐次微分方程　一阶线性微分方程　　可降阶的高阶微分方程　线性微分方程解的性质及解的结构定理　二阶常系数齐次线性微分方程　高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程　简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 　微分方程简单应用 
　　1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念． 
　　2．掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。
 
　　3．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y’’= f（x，y’）y＝f’’（y，y’）． 
　　4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理． 
　　5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
 
　　6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 
　　7．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 
 
行列式的概念和基本性质　行列式按行（列）展开定理 
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质． 
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 
矩阵的概念　矩阵的线性运算　矩阵的乘法　方阵的幂　方阵乘积的行列式　矩阵的转置　逆矩阵的概念和性质　矩阵可逆的充分必要条件　伴随矩阵　矩阵的初等变换　初等矩阵　　矩阵的秩　矩阵的等价
 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵，以及它们的性质，理解正交矩阵。
 
　　2． 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式 
　　3． 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵． 
　　4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法． 
　　向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 向量
　　1．理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念． 
　　2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法． 
　　3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩． 
　　4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系． 
5。
 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法
　　线性方程组的克莱姆(又译：克拉默)（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解 
　　2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件． 
　　3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
 
　　4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念． 
　　5．会用初等行变换求解线性方程组． 
　　五、矩阵的特征值和特征向量 
　　矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 
 1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量 
 2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵转化为相似对角矩阵。
 
　　3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质． 
 
　　（一）题分及考试时间 
　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟。　 
　　高等教学　约80％ 
　　线性代数　约20% 
　　填空题与选择题　约40％ 
　　解答题（包括证明题）约60%。