高数的曲线积分问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-26 09:24 标签： 曲线积分求原函数

一、对坐标的曲线积分的物理意义

，则力场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为

的位移，该微元段的力近似为该微元上点

处的力. 这样，由数量积的物理意义，可以得到如上的积分模型(分割取近似，作和求极限)，并根据求和的性质可得

对于平面力场和平面运动路径，如果

(1) 积分的方向性：由物理上作功的方向性，有

(2) 方向的一致性：对于分段曲线积分的可加性，注意保证方向的一致性，其起点、终点首尾相接。

(3)注意使用图形的对称性要考虑方向也要求对称，由于条件限制很容易用错，所以一般不建议使用！

二、对坐标的曲线积分的直接计算法

第一步：写出积分曲线的参数方程，并写出参数的取值范围，明确起点的参数值与终点的参数值。

第二步：直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换，写成关于参变量的定积分描述形式，并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值，上限取为终点对应的参数值，写出定积分表达式。

第三步：计算定积分得到最终积分结果。

【注1】曲线的参数方程描述为向量值函数

则平面曲线积分与空间曲线积分的定积分计算式有统一的描述形式，即

【注2】如果积分曲线不能用一个参数方程描述，则对积分曲线进行分段处理，并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值，然后依据积分对积分曲线的可加性，累加各积分值得到最终结果。

【注3】对于曲线积分，不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分，描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积表达式！

三、两类曲线积分之间的关系

如果曲线的方向是曲线参数值增大的方向，则有

同向的曲线的单位切向量；

同向的曲线的单位切向量；如果方向相反，则取负号.

与曲线同向，则取正号，如果反向，则取负号！具体可以参见课件中的例题及给出的参考解答.

内的简单光滑闭曲线，其方程为

的逆时针方向. 称积分

方向一致的单位切向量，即

曲线方向为参变量增大的方向，则取正，否则取负；

处指向外侧的单位法向量.

为流速场，则环量和流量分别刻画了向量场沿曲线

由两类曲线积分之间的关系，有：

环量可表示为对坐标曲线积分式

流量可表示为对坐标的线面积分

为单位切向量与单位法向量.

参考阅读：高等数学问题中平面曲线方向的确定与取向

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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本质上是定义域的不同。

以平面 上的曲线 为例。

第一类曲线积分是 （更准确的应该是 ），第二类曲线积分是 。

第二类曲线积分中涉及到的东西， 都是在平面上有明确意义的。

对第一类曲线积分，问题出在那个 。这个符号要想有确切的含义，首先得有一个意义明确的函数 。否则我们就不能谈及它的微分。

在曲线上， 是有明确定义的：“从某点量起的曲线的弧长”。然而在曲线外， 并没有一个明确的意义！这导致在曲线外，被积的元素 含义不明确！

如果在曲线 上做第一类积分，则被积元素中只含有 上的信息。

如果在曲线 上做第二类积分，则被积元素中不仅含有 上的信息，而是含有整个 的信息。

如果你只关心这条曲线的话，那么这两者本质上没有任何区别（除了在某些情况下，它们俩的形式可能一个简单一个复杂）。事实上，它们两个之间可以相互转化。注意到 ，那么 。但是不仅仅有 ，同样正确的有 。于是 。

我们看到，第一型曲线积分与第二型曲线积分可以相互转化。一个第一型曲线积分可以转化为多种形式不同的第二型曲线积分，这几种在曲线上的表达式相同，在曲线外的表达式却不同。

如果你不仅仅关心这条曲线，而是关心曲线所在的整个空间的话，你就需要第二类积分。比如说，在斯托克斯公式 中，你不仅仅关心微分形式 在曲线 上的取值，更关心它在全空间 上的取值！此时你就非把 写成第二类曲线积分的形式不可（你总不可能对 做外微分吧）。

如果你想算一条绳子的长度，或者它的质量，你自然不关心绳子所在的空间是怎么样的。因此你需要使用第一类积分。

如果你想用高斯定理、环路定理研究电磁场，你关心的自然是整个空间而不仅仅是你的积分路径。因此你需要使用第二类积分。

如果你想算外力对质点的做功，那还得看情况。如果你考虑的是全空间的力场 ，那你就自然用第二类曲线积分 。如果你仅仅考虑质点运动的这个路径，就自然用第一类曲线积分 。

如果用微分几何的语言，考虑 的子空间 上的积分，表述更加清晰（通常应用时的情景）：

第一类积分，就是把 上的函数乘以 在 上的诱导体元再做积分

第二类积分，就是把 上的微分形式诱导在 上再做积分

很明显，在做第一类积分时，我们有一个 上的函数。在做第二类积分时，我们有一个 上的微分形式。它们的定义域不同。

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