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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-16 09:45 标签： 如何求直角三角形的斜边长

内蒙古财经学院本科毕业论文 求极值的若干方法 姓 名：王文浈 系 别：统计与数学学院 专 业：数学与应用数学 年 级：08级 学 号： 指导老师：杨芳 评论： 成绩： 指导老师：杨芳 内容提示 摘要：函数极值是高等数学和微积分中的重要内容，它不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，对一般函数极值问题的要点，方法及一般规律性进行研究和探讨，目的在于拓宽学生的解题技巧和思路，因此研究函数极值是数学的重要课题。 关键词：极值，极大值，极小值，导数，条件极值 求极值的若干方法 求函数的极值包括求一元函数的极值和多元函数的极值，极值又一般分为无条件极值和条件极值两类，无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题，条件极值一般是对多元函数而言。在此我们主要讨论一元函数与多元函数的极值。 一 求一元函数的极值 定义1 设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，则是函数的一个极大值如果附近的所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极 定理2 函数在的某邻域内可导，为的极值点，则=0. 由此可以看出，函数的极值点一定是驻点或导数不存在的点，因此，要找极值点，只要找出导数等于零和导数不存在的点，极值点一定在其中。但究竟哪个是极值点哪个不是极值点还需进一步判断。下面给出几种常用的条件： 定理3（极值点第一判别法） 设在连续，在的某空心邻域可导， （1）则为的极大（小）值点 （2）则不是的极值点 下面简证上述定理，由单调函数与导数的关系知, 在内递增，在内递减， 又由于在处连续，故，恒有， 即在取最大值，同理，可证另一部分。 求的极值点和极值 解 在上连续，且当时，有 易见，为的稳定点，为的不可导点，这两点是否是极值点，需作进一步讨论。 应用定理3可知: 点为的极大值点，极大值为；为的极小值点，极小值 若是二阶可导函数，则有如下判别极值的定理 定理4（极值点第二判别法） 设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且。 若，则在取得极大值 若，则在取得极小值 证明：由条件，可得在处的二阶泰勒公式 由于，因此 又因，故存在正数，当时，与同号，所以，当时， 取负值，从而对任意 有既在取极大值，同样对，可得在取极小值 求的极值点与极值 解 当时， 令，求得稳定点。又因 由定理4知为的极小值点，极小值 对于应用二阶导数无法判别的问题，可借助更高阶的导数来判别 定理5（极值点第三判别法） 设在的某邻域内存在直到阶导函数，在 处阶可导， 且则 （1）当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值。 （2）当为奇函数时，在处不取极值 例3 试求函数的极值 解 由于，因此是函数的三个稳定点。 的二阶导数为 ， 由此得，及。所以在时取得极小值，求三阶导数 ， 有，。由于为奇数，由定理5知在不取极值，再求的四阶导数 ， 有，因为为偶数，故在取得极大值。 综上所叙，为极大值，为极小值。 二 求多元函数的极值 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，它还可分为条件极值与无条件极值两类，这里我们主要以二元函数为例进行讨论。 定义6 设函数在点(的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于（）的点,都有 (或), 则称函数在点（）有极大值（或极小值,为极大值点（或极小值点）极大值和极小值统称极值，极大值点，极小值点统称极值点。 在此，我们可把多元函数极值问题分为条件极值和无条件极值两类。 无条件极值类 与一元函数无条件极值一样，关于多元函数无条件极值的判定，我们有 1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型 定理7(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数( 又( 令 ( ( 则在处是否取得极值的条件如下： (1) AC(B2>0时具有极值( 且当A<0时有极大值( 当A>0时有极小值； (2) AC(B2<0时没有极值； (3) AC(B2(0时可能有极值( 也可能没有极值。 此时我们应注意的几个问题： ⑴对于二元函数，在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用； ⑵AC(B2(0时可能有极值( 也可能没有极值，还需另作讨论； ⑶


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