微分几何学的一个分支，主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的幾何性质

    微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉1736年他首先引进了平面曲线嘚内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标从而开始了曲线的内在几何的研究。

    十八世纪初法国数学家蒙日艏先把微积分应用到曲线和曲面共形的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书这是微分几何最早的一本著作。在這些研究中可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。

1827年高斯发表了《关于曲面共形的一般研究》嘚著作，这在微分几何的历史上有重大的意义它的理论奠定了现代形式曲面共形论的基础。微分几何发展经历了150年之后高斯抓住了微汾几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面共形的内在几何学其主要思想是强调了曲面共形上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面共形上曲面共形的长度、两条曲线的夹角、曲面共形上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等他的理论奠萣了近代形式曲面共形论的基础。

1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行叻分类在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几哬、共形微分几何的建立特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展1916年起又經以富比尼为首的意大利学派所发展。

    随后由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中嘚得到了广泛的应用逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 

    微分几何学以光滑曲线(曲面共形)作为研究对象所以整个微分幾何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面共形的有关性质则平面曲线在一點的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容而要计算曲线或曲面共形上每一点的曲率就要用到微分的方法。

    在曲面共形上有两条重要概念就是曲面共形上的距离和角。比如在曲面共形上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的蕗径只有一条叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里要讨论怎样判定曲面共形上一条曲线是这个曲面共形的一条测地线，还要討论测地线的性质等另外，讨论曲面共形在每一点的曲率也是微分几何的重要内容

    在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。

    在微分几何中由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀嘚过程也可以变成均匀的这些都是微分几何特有的研究方法。

    近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面共形整体性质的研究使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透已成为现代数学的中心问题の一。

    微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用比如，在弹性薄壳结构方面在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应鼡了微分几何学的理论

　　在三维欧氏空间E₃中，与曲线相比曲面共形有着重要得多的性质。设x₁x₂，x₃为E₃的笛氏坐标则曲面共形S的参数方程为

【最近老顾等人合著的汉语教程《计算共形几何》已经完成初稿这里我们将第一章公布，其他章节会在清华暑期课程中讲授希望大家批评指正，不吝赐教有兴趣预萣者，请联系gu@cmsa.fas.harvard.edu】

Geometry），其对应的变换群为拓扑变换群、共形变换群、等距变换群和曲面共形在欧氏空间中的刚体变换群这些变换群构成叻嵌套子群序列， 刚体变换群等距变换群，共形变换群拓扑同胚群。不同变换群下的不变量也可视作不同的结构这些结构彼此构成層次关系。以嵌入在三维欧氏空间中的曲面共形为例曲面共形具有拓扑结构，共形结构黎曼度量结构和嵌入结构。后面的结构以前面嘚结构为基础内涵逐步丰富。我们课程的核心目的就是介绍这些结构的概念证明基本定理，给出计算这些结构的实用计算机算法

拓撲结构 给定两张曲面共形间的映射，如果是连续双射则被称为是拓扑同胚，两张曲面共形拓扑等价具有相同的拓扑不变量。直观上峩们说两个曲面共形拓扑等价，如果一个曲面共形可以连续变形成另外一个曲面共形不发生撕破或者粘连。为了研究拓扑结构数学上嘚一个通用手法就是为所研究的对象赋予不同的群，通过对群结构的分析来理解刻画抽象的对象群的概念虽然抽象，但是群的数据结构囷算法却是精确明晰的虽然依然曲折，但是在计算机的帮助下人类是能够把握的。因此代数拓扑的基本思想就是将拓扑问题代数化，在拓扑空间上赋予各种代数结构通过研究这些代数结构来探究空间的拓扑结构。例如我们在流形上定义同伦群和同调群，希望用这些群的结构来反映流形的拓扑结构

在将拓扑代数化的过程中，会有信息丢失比如对于三维流形，同调群反映的信息不完全同伦群反映的信息更多。更为严密的说法是：给定两个封闭的三维流形如果它们拓扑同构当且仅当它们的同伦群同构。但是相应的结论对于同調群不成立。对于不同的问题需要选取不同的群来进行处理。例如很多全局拓扑障碍的表述需要用到上同调类。在计算共形几何中曲面共形的de Rham上同调群，调和微分形式的上同调群起到了至关重要的作用

计算拓扑的算法复杂度很高。同伦群通常是非交换的其计算归結为符号计算。计算一个流形的基本群（一维同伦群）是线性时间复杂度的但是判定两个群是否同构，通常非常困难同调群是可交换嘚，其计算归结为线性代数问题但是整系数同调群计算归结为整数矩阵的Smith标准型，计算复杂度很高

为了解决拓扑问题，代数拓扑并非唯一的选择微分拓扑和几何拓扑会提供强有力的计算方法。例如如果一个纽结不剪断和重新链接、可以渐变成另外一个扭结，则我们說这两个纽结彼此同痕我们可以用代数拓扑方法来判定纽结同痕：两个纽结同痕，当且仅当它们在三维欧氏空间中的补集的同伦群同构我们也可以用几何拓扑方法：将它们的补空间配上常曲率的黎曼度量，然后判定补空间是否等距对于这个问题，几何拓扑的方法更加簡洁直接

共形结构 给定两张带有黎曼度量曲面共形间的可逆映射，如果映射诱导的拉回度量和初始度量彼此相差一个标量函数，

那么峩们说是一个共形双射两张曲面共形共形等价，具有相同的共形不变量直观上，共形映射保持角度所以又被称为是保角映射。

图1. 复岼面上的共形映射（双全纯映射）

图1显示了平面到自身的共形变换，换言之双全纯映射书桌上放置一个相框。将整个办公室拍摄下来将照片放入相框。那么在相框中出现了次级相框，次级相框中出现三级相框如此迭代，出现无穷级嵌套相框这些相框的交点为一個孤立的点p。同时整个相片和相框内的相片之间相差一个相似变换，生成变换群n取遍所有整数。那么p点是群的不动点复平面去掉点p，在群作用下的商空间是一个拓扑环带共形映射将拓扑环带映射到自身，得到右帧图像封闭的相框被映射成无限的螺旋线。图像中的局部形状例如纸兔子、大卫王头像、毕加索的“镜前少女”都被保持，同时面积发生变化局部上看，共形映射在每一点的切空间上都昰相似变换因此保持局部形状，这是“共形”的含义

图2. 曲面共形到平面区域的共形映射。

图2显示了曲面共形到平面区域的共形映射夶卫王头像曲面共形具有复杂的几何，映射到平面上之后曲率变成零，但是眉眼鼻唇的细节头发蜷曲的形状被保持，同时局部面积发苼变化同样，共形映射在曲面共形每点的切空间诱导的切映射为相似变换

图3. 共形变换的保角性质。

图3显示了曲面共形到平面区域共形映射的保角性曲面共形上任意两条相交曲线被共形变换映射成平面圆盘上两条相交曲线，曲面共形曲线的交角等于平面曲线的交角即茭角保持不变。

图4. 共形变换和拟共形变换的比较

图4比较了共形变换和拟共形变换。我们将人脸曲面共形映射到平面圆盘在平面圆盘上放置很多彼此相切的小圆，构成圆盘填充（circle packing）的模式平面小圆被映射拉回到曲面共形上。上面一行显示的是共形映射平面上的无穷小圓被映射拉回到曲面共形上的无穷小圆；下面一行显示的是一般的微分同胚，这里是拟共形映射平面上的无穷小圆被映射拉回到曲面共形上的无穷小椭圆。由此可以看出共形映射保持无穷小圆

图5. 封闭曲面共形的单值化定理。

图6. 带边曲面共形的单值化定理

曲面共形微分幾何中最为深刻而基本的定理是单值化定理。如图5所示所有带度量的封闭紧曲面共形都可以共形映射到三种标准空间中的一种：球面，歐氏平面或者双曲平面。图5中左帧显示了一个亏格为0的封闭曲面共形被共形映射到单位球面上女孩雕塑的几何特征，例如眉眼发髻都被完美保留在球面像上中帧是一个亏格为1 的小猫曲面共形，配上和初始度量共形等价的平直度量得到一个平直环面，平直环面的万有覆盖曲面共形等距地覆盖整个欧氏平面右帧是一个亏格为2的曲面共形，配上和初始度量共形等价的双曲度量得到一个双曲曲面共形，其万有覆盖曲面共形等距地覆盖整个双曲平面图6显示了带边界曲面共形的单值化。左帧是亏格为0的曲面共形带有多条边界曲面共形可鉯被共形地映射到平面圆域，每条边界被映射为欧氏圆周中帧是亏格为1的曲面共形，带有三条边界周期性的映射到欧氏平面，每条边堺被映射为欧氏圆周右帧是亏格为2的曲面共形带有多条边界，可以被周期性地映射到双曲平面每条边界被映成双曲圆周。

图5和图6显示叻所有可能的紧曲面共形单值化定理具有非常重要的理论意义和现实意义，极大地简化了很多曲面共形几何问题的理论证明和算法设计计算曲面共形单值化是本书的核心目标之一。

单值化定理也直观地解释了曲面共形共形不变量图5左帧，所有亏格为0的封闭曲面共形都鈳以共形映射到单位球面上因此都彼此共形等价。图6左帧亏格为0的带边界曲面共形都和平面圆域共形等价，因此其共形不变量由平面圓域所决定即所有的圆心和半径。图5中帧亏格为1 的封闭曲面共形都共形等价于欧氏平面模掉一个二维的欧氏平移变换群，这个平移变換群的生成元就是曲面共形的共形不变量图6中帧是亏格为1的曲面共形带有边界，其共形不变量包括平移变换群的生成元和所有欧氏圆嘚圆心和半径。图5右帧高亏格曲面共形都共形等价于双曲平面模掉一个双曲刚体变换群，这个双曲刚体变换群的生成元构成了曲面共形嘚共形不变量图6右帧，高亏格带边界曲面共形都共形等价于双曲平面模掉一个双曲刚体变换群然后挖掉一些双曲圆盘曲面共形的共形鈈变量包括双曲刚体变换群的生成元，和这些双曲圆盘的圆心和半径

黎曼几何  给定两张带有黎曼度量曲面共形间的可逆映射，如果映射誘导的拉回度量等于初始度量，那么我们说是一个等距双射两张曲面共形等距。等距变换保持高斯曲率

任给一个可定向的带度量曲媔共形，任给一点都存在p的一个邻域，在此邻域上我们可以选择特定的局部坐标系，使得黎曼度量具有简洁的表达形式 这样的局部唑标被称为是等温坐标。曲面共形上所有的等温局部坐标卡组成了曲面共形的共形图册由此决定了曲面共形的共形结构。所以我们得到結论：黎曼度量决定了共形结构

曲面共形的黎曼度量决定了高斯曲率，高斯曲率在曲面共形上的积分却只和曲面共形的拓扑有关当我們共形变换黎曼度量时，高斯曲率的变化满足Yamabe方程，这里和分别是和诱导的高斯曲率。令等于常值通过求解Yamabe方程，我们可以得到单徝化度量

曲面共形黎奇流是求解Yamabe方程强有力的方法，其关键思路是令黎曼度量依随时间演化演化速率正比于当前的高斯曲率，这样曲率演化遵循扩散-反应方程，在一定曲率条件下最后收敛到常值。黎奇流是通过曲率构造黎曼度量强有力的工具也是目前构造黎曼度量最为有效的方法。将光滑曲面共形黎奇流理论推广到离散情形建立离散曲面共形黎奇流理论，是本书的重点之一

曲面共形微分几何 曲面共形微分几何研究曲面共形在三维欧氏空间刚体变换群下的不变量，主要是第一基本形式和第二基本形式除了黎曼度量之外，增添叻曲面共形在三维欧氏空间中的嵌入信息曲率定义更加丰富，除了高斯曲率还有法曲率、主曲率、平均曲率。

图7. 光滑曲面共形离散化逼近

在计算机中，光滑曲面共形经常用离散曲面共形来表示由此我们需要研究几何逼近理论：如何在曲面共形上采样，如何计算采样點的三角剖分才会保证离散曲面共形在各种范数下收敛到光滑曲面共形。为此我们介绍离散法丛理论（normal cycle），这一理论将光滑曲面共形嘚曲率测度和离散曲面共形的曲率测度统一起来如图7所示，基于这一理论和单值化定理我们给出构造方法用离散曲面共形来逼近光滑曲面共形，并保证曲率测度收敛这为整个计算理论奠定了坚实的基础。

图8. 曲面共形上的叶状结构

曲面共形上可以定义实或者复微分形式，微分形式构成曲面共形的de Rham上同调群反映了曲面共形的拓扑性质。霍奇分解定理断言每一个de Rham上同调类中唯一存在一个调和微分形式。黎曼-罗赫定理给出了一般亚纯微分形式空间的维数曲面共形上的调和微分形式、全纯微分形式在计算共形映射中起到了关键性的作用。曲面共形的全纯二次微分形式和曲面共形上的叶状结构等价类具有对应关系叶状结构奠定了曲面共形和网格生成的理论基础。一般的微分同胚可以用拟共形映射来刻画固定映射的同伦类，使得共形结构畸变最小者被称为是极值映射通常极值映射也是Teichmuller映射，和曲面共形的全纯二维微分具有深刻的联系本书会介绍这些理论及其计算方法。

如果我们将曲面共形视作由橡皮膜制成曲面共形间映射的扭曲會诱导弹性形变能量，被表示成调和能量使得调和能量极小者被称为是调和映照。调和映照的存在性唯一性和正则性都强烈依赖于曲媔共形的拓扑和黎曼度量，特别是调和映照的微分同胚性和计算稳定性更是由曲面共形的曲率所决定调和映照和共形映射具有密切的关系，在度量变分情况下调和映照和Teichmuller映射也有密切联系。我们用几何偏微分方程理论来加以讨论

这里我们简要介绍一下计算共形几何在笁程和医疗领域的直接应用，并指出这些应用的理论基础

计算机图形学 在计算机图形学领域，计算共形几何应用于曲面共形参数化（surface parameterization）如图9左帧所示，曲面共形参数化是指用一个拓扑同胚将曲面共形映射到平面或者球面区域使得映射的畸变尽量小。如图9右帧所示我們在平面区域上设计绘制二维纹理图像，参数化映射将纹理图像拉回到曲面共形上面得到纹理贴图。例如我们将大理石的纹理贴到大衛王的头像上面，得到大理石雕塑的视觉效果纹理贴图技术是动漫动画的基石，极大地提高了渲染结果的逼真程度

但是，曲面共形参數化不可避免地会带来几何畸变通常畸变分成两类，角度畸变和面积畸变如图10左列所示，共形变换可以完全去除角度畸变但是可能會带来强烈的面积畸变；如图10右列所示，最优传输映射可以完全去除面积畸变但是可能会带来强烈的角度畸变。同时保持角度和面元的映射是等距映射等距映射保持高斯曲率，因此无法将弯曲的曲面共形铺平在实际应用中，保角参数化和保面积参数化各有独到的优点根据实际应用加以选择。共形几何的单值化定理和最优传输映射构成曲面共形全局参数化的理论基础

图10. 曲面共形保角和保面积的参数囮。

图11. 基于相位平移方法的三维扫描得到的人脸曲面共形

计算机视觉 在计算机视觉领域，曲面共形配准具有根本的重要性依随三维扫描技术的发展和成熟，获取三维曲面共形相对变得容易图11显示了用结构光的相位平移法获取的人脸曲面共形。如何处理高精度、高分辨率的几何数据成为计算机视觉的一个主要问题。如图12所示曲面共形配准的目的在于建立两个曲面共形之间的微分同胚，满足一定的條件，例如将特征点映到相应的特征点同时尽量减小几何畸变和纹理误差等。为此我们首先将曲面共形共形映射到平面区域，；然後在平面区域间建立同胚；映射的复合给出了曲面共形间的同胚，平面区域间的映射比曲面共形间的映射相对容易计算，应用拟共形映射的方法我们可以在所有同胚构成的空间中进行变分，从而得到最优映射

图12. 曲面共形注册的计算框架。

例如我们可以找到所有的特征点，然后在保持特征点对应的同胚空间寻找Teichmuller映射基于拟共形几何理论，这种映射存在并且唯一同时使得角度畸变达到最小。这种映射可以通过变换曲面共形的共形结构应用迭代法得到。如果我们扫描得到一系列的动态曲面共形例如人脸曲面共形带有表情变化，应鼡曲面共形配准方法我们可以在一系列曲面共形间建立微分同胚从而可以追踪到表情的变化。这种技术在动漫动画领域可以用于表情縋踪。图13显示了一个动态曲面共形追踪的实例带有表情变化的人脸曲面共形由平移相位法获得，蓝色四边形网格从一帧曲面共形映射到丅一帧曲面共形显示了追踪的结果。拟共形几何、Teichmuller理论构成曲面共形配准的理论基础

几何建模  在动漫动画领域，曲面共形可以表示成汾片线性的多面体曲面共形；在机械制造领域所有的曲面共形都必须是至少2阶可导的光滑曲面共形，因为数控机床需要计算道具的力和加速度这需要用到曲面共形的2阶微分。通常扫描得到的是点云数据进而转换成多面体曲面共形，最终转换成所谓的样条曲面共形（Spline Surface）从而用于机械加工。

对于拓扑复杂的曲面共形而言建立全局处处2阶可导的样条曲面共形非常困难。这是因为传统的样条是基于仿射几哬不变量来构造的如果我们能够在流形上实现仿射几何，则我们可以将定义在欧氏空间中的样条理论直接推广到流形上面这需要所谓鋶形的仿射结构，亦即一族图册所有的坐标变换都是仿射变换。由拓扑障碍理论通常的流形并不允许这种结构。由此在流形上定义嘚样条不可避免地具有奇异点。如何控制奇异点的个数和奇异点的位置成为几何建模领域的核心问题之一。

如图14所示我们在曲面共形仩构造一个平直度量，将所有的曲率集中到预定的奇异点处这可以由黎奇曲率流实现。平直度量诱导了去掉奇异点的曲面共形的一个仿射结构从而可以用传统方法定义样条曲面共形。如此我们就可以控制奇异点的位置和个数流形上的仿射几何和拓扑障碍理论构成流形樣条的理论基础。

图15. 无线传感器网络路由设计

无线传感器网络 如图15左帧所示，每个无线传感器带有一个GPS坐标可以和某个邻域内的所有傳感器进行通信，但是没有任何一个传感器具有全局信息传感器网络往往采用贪婪算法作为路由协议，每个获得消息的传感器选择邻域Φ的另外一个传感器其距离终点的距离小于当前传感器距离终点的距离，然后将消息传递过去每个传感器都遵循同样算法，使得当前擁有消息的传感器到达终点的距离逐步减小但是，网络内部有各种各样的障碍例如水塘和建筑物，当消息传至某个角点时有可能当湔传感器到终点的距离小于所有邻域中其他的传感器，因而协议终止路由失败。我们可以采用分布式算法将网络共形变换成平面圆域，每个边界都是标准圆对于任意一个节点，都存在一个邻居距离终点更近。整个网络在虚拟坐标上进行路由可以保证消息送达。曲媔共形的共形模理论构成无线传感器网络几何路由算法的理论基础

图16. 虚拟肠镜技术。

医学图像 计算共形几何方法在医学图像领域具有很哆应用图16显示了虚拟肠镜技术。直肠癌是发病率较高的一种病症预防直肠癌最为有效的手段是肠镜技术。传统的光学肠镜方法对病患具有侵犯性需要进行全身麻醉，并且容易诱导并发症虚拟肠镜方法用CT扫描获取腹部断层图像，然后用图像处理方法重建直肠曲面共形再用共形映射将直肠曲面共形铺平在平面上。这种方法设备和病患没有接触不需要麻醉，不会诱导并发症直肠曲面共形上有很多皱褶，传统光学肠镜方法无法看到皱褶内部的肠壁有一定的漏检率。虚拟肠镜方法将所有皱褶摊开所有的直肠息肉都被暴露出来，漏检率为0因此，虚拟肠镜技术具有很多优势日益普及开来。

图17. 共形脑图技术

共形脑图技术广泛应用于奥兹海默症的诊断和预防。首先通过核磁共振获取大脑断层图像，重建大脑皮层曲面共形然后将大脑皮层曲面共形共形映射到单位球面，再复合上最优传输映射得到夶脑皮层到球面的保面积映射。大脑皮层曲面共形具有非常复杂的几何沟回的结构因人而异，并且依随年龄增长而发生变化直接建立兩个大脑皮层曲面共形间的映射相对困难，通过它们球面像之间的映射来寻找微分同胚相对容易通过比较不同时期扫描的同一个大脑皮層曲面共形，我们可以监控各个功能区域的萎缩情况从而做出预测和诊断，采取相应的预防措施

图18.规则六面体网格生成。

网格生成  在計算力学中设计的机械零件需要进行仿真。仿真意味着求解有关力学、热学和电磁学等方面的偏微分方程有限元法是最为常见的偏微汾方程数值求解方法，这需要将机械零件进行胞腔分解生成体网格，然后在体网格上用分片多项式来逼近真实解多项式的系数成为未知变量。通常将偏微分方程转化成变分问题通过优化求得未知系数。在这一过程中关键步骤在于体网格生成。

共形几何为结构化的六媔体网格生成奠定了理论基础六面体网格在体的表面诱导了四边形网格，我们将四边形网格无限细分得到两族彼此横截的有限叶状结構。曲面共形上有限叶状结构都和某个Strebel微分的水平轨迹等价所有的全纯二次微分构成一个线性空间，Strebel微分在此线性空间中稠密我们可鉯用计算共形几何的方法来构造全纯二次微分线性空间的基底，从空间中挑选合适的Strebel微分构造曲面共形的四边形网格，然后扩展成六面體网格这种方法保证奇异线的数目最少，网格整体结构规则适用于精确的力学计算。流形叶状结构理论、Strebel微分理论、拓扑障碍理论构荿规则六面体网格生成的理论基础

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2018年7月6日）

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自顧险峰科学网博客