1.1.1 二阶、三阶行列式

从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。后续的所有变换也都是基于此的。了解到根源了，就不难理解了。

（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）

这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。以后看到二三阶可以直接用这个算哦。

2.行列式应用（克莱姆法则）

法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。不用理解，直接记住。（因为本来就是一个现象）小技巧：再算D1D2D3的时候默念一下D1换1（列）D2换2（列）D3换3（列）。

逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。

1. 任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2. 所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。

前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。

只要看懂这个式子，这节就OK啦，看不懂的可以评论问我。

对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。

上三角行列式和下三角行列式

与对角行列式类似，不能取0。

1.对行列式中数字的选取规则理解

如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。

1. 行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2. 互换行列式的两行或两列，行列式值变号
3. 若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为0
4. 行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式
5. 如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为0
6. 若行列式有两列或两行元素成比例，则其为0
7. 若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。相同的行不变，不同的行相加。
8. 行列式的一行（A）乘以一个数后加到另一行（B）中后行列式不变。（A不用动，B被加上去）

1.对于xyz缠在一起的，只要通过加加减减就能解开。

2.如果发现每一行的所有数相加和相同，则直接加到第一行，然后提取出来，最后把1减掉即可。

这就是n阶行列式的另一种解法啦～

余子式就是余下的式嘛～因为如果取了a23，这个数在的行和列就都不能取了。

1. 行列式任意一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。只有自己行跟自己行为D。
2. 范德蒙行列式，只要记住就行了。

1.行列式对角有两个的时候→要展开

2.类似有很多对角的题不是把某一列或某一行去掉，而是凑上下三角。如这一题，行列式展开并不能去掉第一列。

3.选取数字和余子式的关系

4.展开时能保留一个非零，绝不保留两个。这题把下面等我x-1搞掉更简单。（除了那个对角上有很多条的那题）

5.这题是行列式展开和性质运用的集大成者，这题会了，啥都会了。答案自己搜吧。

是个法则没有起源，直接上知识点，记住就ok了

1. 若D≠0则方程有唯一解
2. 若D≠0，齐次方程组，则有唯一解，且为0解。故，若齐次方程组有非零解，则D=0。

1. 当一个坐标中有一个平行四边形其中一点落在0的时候，D可以用来计算其面积。把靠近原点的两个点的坐标填入行列式的同一行或列即可。

2.同理，平行六面体的体积也可以这样算。不过用3阶即可。

3.用行列式表示通过两个点或三个点的方程，就是一个方程组啦～几个未知数就有几个方程～

行列式本质是由一个个方程简化而来，所以在变换时也只对一行或一列变换（一个方程或一个未知数）。把握好性质和知识点，这章一点问题都没有的啦～

课后习题别忘了doge

说白了，就是把正正方方的一组数简化了一下，放在了一个（ ）里。每个数字就变成了矩阵的一个元素。超简单的啦～

1. m行n列的矩阵的成为m×n矩阵，记为（平常的样子，这里不放图了）简记为（aij）m×n。
2. 若两个矩阵的mn相同而里面的数不同，则为同型矩阵，若连里面的数也相同则为相同矩阵。
3. 所有元素为0的矩阵为零矩阵。
4. 上下三角矩阵与行列式一样，不讲了。
5. 对角矩阵跟行列式长的一样，不讲了。
6. 对角上是一样的数字，叫数量矩阵。
7. 若对角上的数都是1，则叫单位矩阵，记为E或En或I或In。

1.加减法，与行列式不同，因为只是一组数，所以可以直接全部相加减。

2.数乘（即一个数跟矩阵乘），这个数直接与所有的矩阵元素相乘。

3.数乘符合所有的运算律。

4.乘法，看这张图即可。前一个矩阵A的列数和后一个矩阵B的行数相等才能做乘法。要不然没有该乘法没有意义，不存在。

5.因为有第4条乘法前提条件的限制，所以，A×B≠B×A，即它们不能交换了。

6.因为不能交换，在用其他运算律的时候，注意不要颠倒位置。

7.数乘的数字并不受第4条的限制，它可以随便交换位置。

8.矩阵左边乘E或者右边乘E都不会改变矩阵，就相当于任意数字乘以一个1。

9.特殊1×1的矩阵为一个数，例如（3）=3。

10.矩阵也可以简化一个线性方程组。这里A为系数，X为未知量，b为常数。故，可以表示成AX=b。

11.次幂对矩阵也适用，且运算没什么差别。不过，要是次幂有意义，那个矩阵要为一个方阵（方阵就是长等于宽n×n的矩阵）。

12.（AB）k一般不等于Ak×Bk，因为若AB为一个方阵，并不代表A和B都为方阵。可见第4条。

1.这种题可以把几个特殊的带进去试一试

3.这类应用题需要了解一点本质，但也就一点了

总价值就等于两个相乘再加起来

1.这样转置，就养着这条线，翻一翻。

2.转置的所有性质如下。

加法转置，直接拆开，再转置

数字转置相当于一阶方阵转置，是自己

3.若AT＝A，则A为称对称矩阵。

转不转置，在行列式计算里是等价的

从行列式中提取数字，有几行提取几次

乘法变行列式后等于一个数，可随便换位置

逆矩阵相当于除法，由于矩阵不能算是一个数，所以它不能在分母位置（而除法就是把一个数放在分母）。但是在研究矩阵的的过程中必不可少的会应用到“矩阵的除法”。

由此一种特殊的除法诞生了，就是矩阵的的逆，逆矩阵。

1. 若存在AB=BA=E，则A为可逆矩阵，简称A可逆，称B为矩阵A的逆矩阵，表示成A-1=B。所以A是否可逆，取决于有没有一个B使得上面的等式成立
2. E什么时候都可逆，因为EE=EE=E。
3. 若A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。

2.3.2 逆矩阵的判断及公式求发

1. 若|A|≠0，则称A为非奇异的，又称非退化的，就是可逆的。如果|A|＝0，则称A为奇异的又称退化的，就是不可逆的。
2. 伴随矩阵的如下，那个Aij是代数余子式

4.延伸一下等式A-1＝1/|A| 乘以A*。用这个可以去求可逆矩阵，不过伴随矩阵的求发有点复杂，一般把这个当做最后选择。

5.若A，B为n阶方阵，且AB＝E，则A和B互为逆矩阵都可逆。

6.只有方阵才有逆矩阵。

2.3.3 可逆矩阵的性质

1. 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1
2. 注意，有（A+B）T，但是（A+B）-1很难表示，所以一般不会用。

（4-8都是我们老师给的其他等式书上是没有的，对自己要求高的同学可以记一记）

如下可以把上面的式子宫分成下面的式子。

分成一块块的矩阵叫分块矩阵的，且分完之后的分块矩阵并不会跟其他正常矩阵有区别。每个小块计算时小块拆开来算即可。

1. 分块矩阵也可以分成这样的

2.4.2 分块矩阵的运算

1. 加减法和数乘与普通矩阵计算法则一样
2. 两分块矩阵相乘的前提是前一个矩阵列的列分发必须和后一个矩阵的行分发相同。分发相同就是对应位置的小块要是同型。
3. 分块矩阵的转置，整体要转置，里面小的块的内容也要转置。
4. 分块对角矩阵的非零子块和整个矩阵都必须是方阵
5. 分块矩阵的运算如下，同时，这个也适用于一般的对角矩阵。

2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵

2.5.1 矩阵的初等变换

在前面的行列式中大家已经认识了一个行列式的知识点那就是：行列式的一行乘以一个数加到另一行后，行列式的值不变。

矩阵由于只是一组数，所以这样变换活动的范围就会更广。

跟行列式那个知识点一样，矩阵的这三条变换也不会改变矩阵。变换前后是完全等价的。

1.变换的目的之一就是把矩阵变换成一个梯形矩阵，注意：梯形矩阵一次只能上一个“台阶”但可以平地走多个格子。

2.梯形矩阵再向下变换即为A的等价标准型矩阵。也就是沿着中间的两个梯形。

3.任意一个矩阵都可以变换成等价标准型矩阵。

2.5.2 初等矩阵及其性质

初等矩阵就是其他矩阵乘以它们后结果相当于会进行一次初等变换。

如果把两个初等矩阵乘在一起，那么他们的结果就会包括两次变换。（很重要！）

2.初等矩阵转置仍为同类型矩阵，但第三种初等矩阵的方向不一样了。

3.初等矩阵皆可逆，且逆完之后为同类型，但第二第三种不一样了。

4.在用普通矩阵去乘以初等矩阵时记得要遵守相乘的前提。

5.左乘初等矩阵相当于对行进行变换，右乘初等矩阵相当于对列进行变换。

6.方阵A可逆的充要条件是A可以表示成初等矩阵的乘积。

7.想要将一个矩阵变成几个初等矩阵相乘的形式，那么只要进行初等变换使其变成E即可，在分解的过程中出现的初等变换就是分解出来的初等矩阵。

2.5.3 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵

1. 这里看懂即可，构造（A，E）求（E，A-1），在左边构造出E的同时，右边也就被动构造出了A-1

2.若AX=B，则初等行变换也可以用来求X，X=A-1次方B。

线性方程组简单来说就是把一组都线性的方程变成一个方程。

1. A为系数矩阵，用于储存所有的系数。
2. b为常数项矩阵，用于罗列最后面的常数。
3. X为n元未知矩阵，用于罗列未知数。
4. A（上面一个“一”）是增广矩阵，表示为A和b的融合。

5.当b中所有的常数都是0的时候，我们称AX=0这样的方程为，n元齐次线性方程组。

6.若b中有一个元素不为零，则称其为n元非齐次线性方程组。

7.AX＝b，这种形式被称作方程组的矩阵形式。

8.方程组拥有由解构成的解集合，当k1，k2，k3…kn，可以代替x1，x2，x3…xn，填入方程中时，那就是这个方程的一个解。也就是说一个方程可以有很多这样的一系列的解，来构成一个解集合。

9.若两个方程的解集合完全相同，则称这两个方程为同解方程组。

开头这部分首先引入了线性方程组的由来，然后介绍了方程组各个部分的名称，最后介绍了方程组的解如何定义规范的。

2.初等变换的核心就是这样子变并不会改变方程的解集合中任何一个解。

3.阶梯形方程是求解方程组的一个重要状态，长成这样：

这里要注意，这个类似于阶梯可以平着走多格但是不能上下起伏超过1格，生活中的楼梯也是这样的吧，一次只能上一个高度。

4.因为如果只有A来进行初等变换的话，b没办法或者不方便跟着一起变，所以我们一般都是对其增广矩阵进行初等变换，可以确保等式两边同时变换。

5.形成阶梯形就意味着，已经完成了第一部，消元，就是说一定已经消除了每行能消除的最大数量的元。

6.下一步就是回代，回代的过程就是最下面一行加到倒数第二行，因为最后一行只有b和一个未知数所以相当于将仅剩的未知数带入上一个等式中。以此类推。

最后每行只剩一个未知数，就是解了。

7.在初等变换的过程中可能会出现一行全是0的情况，因为其与上面的其他方程是成比例和相等，全都被约掉了。

8.最后一行（这里默认不是全都是零的那一行），如果有两个未知数的系数，证明这个方程没有唯一解了，未知数数量比方程组数更多。

9.多余的未知数就要认为规定他们，如下：

这里X3和X4多出来了，故规定其为C1和C2，再将他们俩代回去等到X1和X2。这样这个解就可以包括所有的方程的解了。

10.我们讲上面这种形式成为方程组的一般解或称全部解。

这节具体地介绍了求解的方法，从消元到回代，并且其中还介绍了全是零和解不唯一的情况。

3.1.2 一般线性方程组解的情况及求发

1. 我们在这里将对最一般的情况进行研究。

这里最后全是0的几行不一定，只是列出来让我们知道可以为零。

2.当dr+1≠0时，有解，当r＝n时有一个解当r≠n时有多个解。r是有效的行数（不包括全是0的和无解的情况）n是未知数的个数。

这节分析了一般情况下的求解情况，包括了无解，有一个解，有无穷多解的情况。

1. n维向量就是由n个数组成的有序数组。每个数都算是它的一个纬度，就像三维由长宽高三个数组成。
2. α有两种基本形式，如下：

前一个为n维行向量，后一个为n维列向量。

3.当一个n维向量的分量都为0时，它被称作零向量。

4.当一个向量的分量都是另一个向量分量的负数时，称其为另一个的负向量。

5.向量的所有运算法则实际上都是对其分量的运算，所以就跟你想的一样，都是可以实施的。

6.将不同的向量组合，变成向量组。表示如下：

向量组就是一个新的向量。

7.n维单位向量长这样：

8.不知道大家有没有发现，向量组的构成类似于之前的线性方程组。如果这样表示；

可以发现它很类似于b＝AX，只是他把X拆开来了，显得更加直观，更像是b＝A1X1+A2X2+A3X3+…AnXn

9.当上述向量组可以被线性表示的时候就等价代表着它有解。

10.线性相关，我更愿意称它为“可以线性相关”。原本定义是这样的：

其实只要有一个k一直为0，那么其实这个n维向量就可以完全不参与线性相关的过程。所以说一组n维向量线性线性相关可能仅仅就是两个甚至一个n维向量才是真正的线性相关。

11.关于线性相关，有点像几个n维向量可以通过“初等变换”最终变成他人的模样。

12.含有0的的任一向量组必定线性相关。

13.单个非零的n维向量线性无关。

14.两个非零n维向量α和β线性相关的充分必要条件是α和β成比例。

15.n维基本单位向量组线性无关。

16.对于一般的向量组来说，有非零解即为线性相关，只有零解为线性无关。

17.向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合。

18.向量组线性无关的充要条件是向量组中的每一个向量都不能由其他向量线性表示。

19.当一个r维的向量组线性无关，那么即使在每个向量上添加任意多维也依然线性无关。因为每个纬度是“自己管自己，别人无法干涉”如果一个纬度一旦无法标出，那么就相当于总体的向量组无法标出。

20.n个n维向量线性相关的充要条件是行列式：

这里可以看出，原本的AX＝b中的X可以被当做k来求。

21.如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。

22.如果一个向量组线性无关，那么他的任意一个部分都是线性无关的。

23.太多了，不想抄。

从意义上理解可以想成，因为每个向量都是线性无关，所以每个向量都具有一定的“无法复制的特征”所以一个新的β来的时候，β的某个部分只能由其提供，故表示方法唯一。

这一节讲了n维的向量就是是对原方程组的另外一个表示方式，通过组合几个数形成数组，再将数组组成另外一个数组。其中如果可以标出这代表这是“线性相关的，然后又介绍了一系列的线性相关的性质。最后又对线性相关的本质进行了分析。

1. 若一个向量组里的任何向量都可以由另一个向量组表示，那么就成两者等价。本质就是只要进行初等变换就可以由一个向量组变成另一个，完全等价。

前者线性无关，拥有各自的特征量，后者可以标出前者，证明后者拥有的对应拥有特征量得“包住”前者，故后者数量上得≥前者数量。

极大无关组也不唯一，只要找到可以替代“特征量”的另外一个向量即可。

5.任何一个向量组都和它的极大无关组等价。

6.向量组的任意两个极大无关组等价。

7.两个等价的线性无关的向量组所包含的个数相同。

8.向量组α1～s中任意两个极大无关组所包含向量的个数相同。

9.一个线性无关组所包含的向量个数被称为这个向量的秩。

10.一个向量α1～s线性无关的充要条件是秩的个数等于向量个数。

11.若两个向量组等价那么其秩相等。

本节将上面的“特征量”具象化就是秩，一个向量组的秩就想一个向量组的“特征量一样，可以通过初等变换之类的进行等价。相样，当两个向量组的秩相同时，那么这两个向量其实就是“同一个”。

1. 矩阵因为有行列之分，故采用两种秩。行向量组的秩，叫行秩；列向量组的秩，叫列秩。
2. 将一个矩阵进行初等变换，并不会改变其行秩和列秩。
3. 因为行秩和列秩相等，故矩阵的行秩和列秩数量相同。
4. 矩阵A的秩，记为r（A）。
5. 将矩阵A中的行记为m，列数记为n。若r（A）＝m，称A为行满秩矩阵。r（A）＝n，称A为列满秩矩阵。若两个条件同时满足，那么A被称为满秩矩阵。
6. 若A是n阶方阵，则r（A）＝n（满秩）的充要条件是|A|≠0。（等于零证明有的行或列可以简化，不是极大无关组）

8.若矩阵有一个r阶子式≠0，则r（A）≥r。

9.矩阵的秩等于r的充要条件是矩阵A有一个r阶子式≠0，并且所有r+1阶子式等于0。

将秩引入矩阵中，探究其性质，并且给出了确定一个矩阵秩数量的方法。

3.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

1. 线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩r（A）＜n。
2. 齐次线性方程组只有零解的充要条件是r（A）＝n。
3. 当m＜n时（满不了秩），齐次线性方程组必有非零解。

这里注意C1～s都可以等于1或0。

基础解系就是齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组。

7.当一个齐次线性方程组有非零解时，也就是r＜n时，那么其基础解系中有n-r个解向量，解向量组的秩为n-r（就是n-r个极大无关组）。

这节介绍了非零解和零解产生的条件和判断的方法，然后介绍了一下解之间的关系，最后给出了一个具体的解向量求发。

3.6 非齐次线性方程组的条件及解的结构

1. 当r（A）＝r（A上一横），非齐次线性方程组有解。（充要条件）
2. 当r（A）＝r（A上一横）＝n，有唯一解。
3. 当r（A）＝r（A上一横）＜n，有无穷多解。
4. 非齐次线性方程组AX＝b的任意两个解的差是其导出组AX＝0的一个解。
5. 若r是AX＝b的一个解，n是导出组AX＝0的一个解，则r+n是AX＝b的一个解。

跟上一节比较，这一节还额外添加了导出组，将齐次和非齐次做比较。

4.1.1 向量空间与子空间

指的是一个很大的向量空间在一个数域（这里的数域是指一个封闭的数的空间，空间内的各个数进行加减乘除都还是于数域中）中，而我们研究的向量就位于这个向量空间内。简单来说向量空间就是给我们研究的向量划定了一个范围。

同理，向量空间也类似于一个域，在其中要求加减法和数乘是封闭的。

1. 向量空间V中极大线性无关组的数量就是向量空间的维数。若有n个线性无关组，则称为n维向量空间，为有限向量空间。若有无数多个线性无关组，则称为无线向量空间。
2. 当出现一个非空子集合W，在其中加减法和数乘也是封闭的，则称W是V的一个子空间。

这里介绍了向量空间的基本概念和子空间的生成。从数域到向量空间再到子空间，是相互包裹住的。

1. 在Rn中，任意n个线性无关向量，称为Rn的一组基。
2. 基并不只有一组，任意的无关向量组皆可被称为一组基。
3. 等这组基为这个样子时：

4.当一个向量用这组基表示时，它在这组基上的坐标就生成了。

注意，采用不同基产生的坐标是不同的。

上一节中出现了向量空间，而这一节中将对向量空间划分基，并且介绍了不同的基，还在基的基础上引入了坐标。

4.1.3 Rn的基变换与坐标变换

既然一组基可以表示向量空间里任何一个向量，那么也可以表示另外一组基。如下：

这里将变换矩阵抽离出来，可以得到一组基到另一组基的过渡矩阵，其等式叫做变换矩阵。

2.因为其等式长这样，B＝AP，用此反过来求P，可得P＝A-1B。

上一节介绍了向量空间的基和坐标，这一节介绍了不同基之间变换的中间矩阵—过渡矩阵。

1. 内积是人们定义的一个等式，记住即可。

注意，两个向量的内积是一个实数。

1. 以下定义好好看，信息量有点大：

将向量的长度和向量的内积挂钩，其实我们可以发现这里长度的计算就类似是我们高中求线长度的公式。内积有点想其一般化的产物。

从这里可以看出，这里对于向量距离的计算就类似于我们高中的方法。

这里只要记住其是大于零的即可。

4.这里给出了一个单位化长度的公式：

5.此为另外两个性质：

这里将上一节的向量内积和向量长度做了练习，创造了一个向量的长度。

1. 以下是两个向量夹角的定义：
2. 当（α，β）＝0时，称α和β互为正交或垂直。
3. 若一个向量组中向量都是两两正交，那么该向量组称为正交向量组。如，Rn标准基就是一个正交向量组。
4. 若一组向量组是正交向量组，则这组向量组也线性无关。

这是对内积的另外一种应用，引入了夹角和正交向量组。

1. 若有一组基为正交基，且这组向量组的每个向量都是单位向量，那么这样的向量组称作标准正交基。其充要条件为：

即给一组向量，可求出这组向量所在的基。

本节十分简单，主要就是将正交基标准化，并且给出了一个可行的方法。

4.3.2 正交矩阵及其性质

1. 若矩阵A满足，ATA＝E，则A为正交矩阵。

3.当A为n阶正交矩阵的充要条件是A的列向量是Rn的标准正交基。

最后由一组向量来到了矩阵，实现了本章与前几章的串联。

第5章 矩阵的特征值与特征向量

5.1 矩阵的特征值与特征向量

5.1.1 特征值和特征向量的概念

相当于一个矩阵与一个值的作用相同。

2. 若确定了一个向量α是A的特征向量，则与其对应的只有一个特征值。

3.若入0确定为A的一个特征向量，则特征向量可能有无数个。推倒如下：

4.由第三个点可以推出这样一个等式：

在得知入的情况下可以用于求无数的特征向量。不过求之前需要先确定其有非零解的充要条件是下面这个等式，|入E-A|＝0。

这里可以看出这个等式解出来了入可能不止一个，其都是A的特征值也叫特征根。

5.下面有一系列定义：

分别为特征矩阵，特征多项式，特征方程。

7.求A的特征值和特征向量的步骤：

这里的k可以取任意实数包括0和1。

这章又引入了一个关于矩阵的东西，叫做特征值和特征向量，并且给出了其性质和求的方法。

5.1.2 特征值和特征向量的性质

下面这个是证明过程中一个中间的等式。

2.这里又出现了一个新的定义：

将这个更一般化，就得到了如下：

这就就是介绍了特征值和向量的性质。

5.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件

5.2.1 相似矩阵的概念和性质

1. 如下，为相似矩阵的定义：

这里又引入了另外一个相似矩阵，给了一些性质。

5.2.2 矩阵可对角化的条件

1. 若一个矩阵A与对角矩阵相似，就成矩阵A可对角化。
2. n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有b个线性无关特征向量。

因为每有一个特征向量有一个特征值，故可以推断，当n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A与对角矩阵相似。

4.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的k重特征值入恰好有k个线性无关的特征向量。

这里具体介绍了相似中一个具体的方面，就是和对角矩阵的相似，并研究了一些性质。

5.3 实对称矩阵的对角化

1. 实对称矩阵，“实”代表其元素都是实数，对称代表其延主对角线对称。
2. 实对称矩阵的特征值都是实数。
3. 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量彼此正交。
4. 实对称矩阵A的属于每个k重特征值入的线性无关的特征向量恰好有k个
5. 设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角阵。

这里感觉插播了一个知识块，实对称矩阵的性质。

6.1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵

2.这里我们可以发现xixj和xjxi是一样的，但aij和aji可能并不相同，如果将原矩阵化为一个对称矩阵，那么会得到如下：

从这里我们可以得到二次型和矩阵的联系。其矩阵形式也出现了，那么就可以继续研究了。

3.二次型所对应的矩阵必须为对称矩阵，且一一对应。

这里相当于创造的概念，记住即可。

6.矩阵的合同有如下性质：

7.二次型最后和合同结合就这一条定理：

6.2 二次型的标准形和规范形

1. 二次型的标准型的定义：

2.标准型的矩阵形式如下：

可见其标准形为对角矩阵，其秩r（D）为d1到dn中非零元素的个数。

3.任意一个实二次型都可以经过可逆线性变换X＝CY变为标准型。由于所用的X＝CY不唯一，所以一个二次型的标准型也不是唯一的。下一节将介绍三种方法：

这个方法也称作拉格朗日配方法。

2.实二次型f的规范形中，系数为正的平方项个数p，成为f的正惯性指数，系数为负的平方项个数r-p，成为f的负惯性指数，它们的差p-（r-p）＝2p-r称为f的符号差。

3.实二次型f的任一标准形中，系数为正的平方项个数是唯一确定的，等于f的正惯性指数p，系数为负的平方项个数也是唯一确定的，等于f的负惯性指数r-p。

5.两个n阶实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。

6.3 正定二次型和正定矩阵

6.3.1 正定二次型和正定矩阵的概念及判定

可以看出分类的依据是f的正负，比较好记忆。

3.可逆的线性变换不改变二次型的正定性。

5.如果A为正定矩阵，则|A|＞0。

6.顺序主子式的定义：

6.3.2 正定矩阵的性质

1. 若A为正定矩阵，则A-1也为正定矩阵。
2. n阶正定矩阵A＝（aij）的主对角线元素为正数，即aii＞0，i＝1，2，…n。
3. 若A为正定矩阵，则Ak也为正定矩阵，其中为正整数。
4. 若A和B均为n阶正定矩阵，则A+B也为正定矩阵。

到这里就全部结束啦，能看到这里的都是学霸，无聊中罗列的知识点和一些理解希望能帮到大家！

（点个赞再走呗doge）