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函数的定义域与值域知识点及题型总结
求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切y?tanx的定义域是xx?R,且x?kx????,k?Z?； 2?（6）已知f?x?的定义域求解f??g?x???的定义域，或已知f??g?x???的定义域求f?x?的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型1 函数定义域的求解 思路提示
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子f?x?有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.10 函数y?ln?x?1??x?3x?42的定义域为（ ）．
分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
已知f?x?的定义域求f??g?x???的定义域，或已知f??g?x???的定义域求f?x?的定义域，或已知
f??h?x???的定义域. ?g?x???的定义域求f?解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同. 例2.11 （1）已知函数f?x?的定义域为（0，1）求fx2的定义域 （2）已知函数fx2的定义域为（2，4）求f?x?的定义域 （3）已知函数fx2的定义域为（1，2）求f?2x?1?的定义域.
解析 （1）f?x?的定义域为（0，1），即0
2??（3）因为fx2的定义域为（1，2）即1＜x＜2，所以1＜x＜4，故需1＜2x＋1＜4．所以0＜x＜故f?2x?1?的定义域为?0,?
三、实际问题中函数定义域的求解
例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝f?x?，并写出其定义域.
分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.
??2?0??2????2评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题
中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型2 函数定义域的应用
思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.
x2?2ax?a分析 函数f?x?的定义域为R,即2解析 由题意知22x2?2ax?a?1 ≥0在R上恒成立，再利用指数函数的单调性求解
求解、。不会求啊。y=x是什么意思啊？... 求解、。不会求啊。y=x是什么意思啊？
圆心在直线y=x上的意思是，圆心的坐标x,y是同一个数字，如图的C（2,2）或C（-2，-2）
因为圆与两轴同时相切，且半径为2，即圆心到x轴到y轴的距离都为2，则圆心坐标为C（2,2）或C（-2，-2）
圆的标准方程是：(x－a)^2+(y－b)^2=r^2 ，其中（a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径
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y=x是直线方程说明在坐标系中x的取值等于y的取值
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