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1、娄烦县第二届教学观摩研讨会 课题：尺规作图 李 晋 文 学校：罗家岔中学 2011.4 课题：尺规作图教学设计 罗家岔中学 李晋文 【课标要求】 完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平 分线，作线段的垂直平分线。 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知 两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。 【教材分析】 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动， 解决了一些简单的

2、问题，如：七下作三角形，九上作等腰三角形，感受到尺规作图 在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前 的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程， 具有了一定的合作学习的经验， 具备了一定的合作与交流的能力。 【学情分析】 学生在七年级上册的学习中，教材 （139 页）介绍了如何用直尺和圆规作一条 线段等于已知线段；在七年级下册的学习中，教材 （77 页）学习了用尺规作一个角 等于已知角；九年级上册（ 27 页）学习了用尺规作线段的垂直平分线、 （34 页）学 习了作已知角的平分线 。学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力， 并能简单的表达作图过程，

3、为复习课的学习奠定了良好的知识基础。 【教学目标】 中考基于“课标”而课标要求了四个基本作图，它们是作图的基础，是解决 更 为复杂的尺规作图的基础。作为一节复习课不但要注重基础的扎实，而且还应注重 它的运用。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）再认识什么是尺规作图；经历四个基本作图的复习与巩固；学会 利用基本图形作“三边” “两边及夹角” “两角及夹边”三角形；底边和底边上 的高作等腰三角形；会作三角形的内切圆（内心）和外接圆（外心） ； （2）对尺规基本作图题，能写出已知，求作和作法或口头表述作法，并能正确作出 图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程） 。 过程与方法：经历四个基

4、本作图的复习与巩固，感受尺规作图的几何意义，规范学 生的作图语言，积累一些尺规作图的方法与经验，感受数学的严谨性以及数学结论 的确定性。 情感、态度与价值观：通过复习尺规作图，进一步加强学生的作图能力，使学生养 成良好的动手操作、实践探索、合作交流的学习习惯。 【教学重点、难点】 （1）教学重点：四个基本作图的运用，画图，写出尺规作图的作法。 （2）教学难点：画图，写出尺规作图的作法，尺规作图的应用。 【教学方法和手段】 （1）教学方法：练习导引复习法（在练习中导引学生复习，让学生在自主学习中掌 握本节学习目标） （2）教学手段：多媒体课件（主要用于扩充课堂容量，加强内容的多方面复习） 【使用

5、教材的构想】 以教材中所涉及的尺规作图为主要训练题型， 以近三年的中考题加以应用拓展， 充分调动学生的学习主动性，在动手实践、合作交流中对知识进行梳理，以达到本 节复习目标。 【教学流程设计】 本节课教学设计了六个环节：第一环节基本作图回顾，第二环节尺规作三角形, 第三环节与圆有关的尺规作图，第四环节知识应用与拓展，第五环节课时小结，第 六环节课时达标检测 学生课前准备：直尺或一副三角尺与圆规； 教师课前准备：直尺与圆规 第一环节：基本作图回顾 （时间预计10分） 活动内容：通过练习方式复习尺规作图的四个基本作图。 活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行巩固，最终达到掌握并灵活 应用的目

6、的。 活动过程： 作法 示范 （1） 作射线A C; L A，C A B 作法与示范: （1）已知：如图，线段AB 求作：线段AB,使得AB=AB. 第3页 (2)以点A 为圆心，以AB的长为半径画 弧，交射线A C于点B 。A B 1 就是所作的线段。 A， B C， 实际教学效果：学生在七年级上册接触过作一条线段等于已知线段，但是由于 相隔时间比较长，所以有一部分同学遗忘，这时通过小组的交流合作，互帮互助， 学生在合作中回忆起了作图的步骤，同时也在其中体会到了交流合作的重要性。而 在本节课当中，教师应在学生原有水平的基础上，规范学生的解题步骤，使得学生 实现从原来的会按顺序作出图来到按照程

OC就是/ AOB的平分线. O 第二环节：尺规作三角形（时间预计10分） 活动目的: 使学生对利用基本作图：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作 活动内容：通过小组合作练习的方式复习运用尺规作三角形。 三角形；已知两角及

9、其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形的知识 进行巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。 活动过程: （1）已知：线段a和h a 求作：等腰 ABC，使底边BC=a, BC边上的高为h 作法：1.作BC=a；h 2. 作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3 .以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4 .连接 AB、AC ABC就是所求作的三角形. （2）你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗? 并写出作法。（直角可不给出，作垂直平分线） 已知：直角与线段a和线段b a 求作：直角三角形ABC 作法：1 .作/ MCN=Rt Z； 2. 分别在两直角

10、边上截取线段 AC=a，BC=b ； 3 .连接AB RtAABC就是所求作的三角形. 第三环节：与圆有关的尺规作图（时间预计5 分） 活动内容：通过练习方式复习运用尺规过三点作圆 活动目的：主要训练学生对 尺规作线段垂直平分线的运用能力 活动过程: （1）如图所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点 找出弧BAc所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法） A B c.用尺规作图法 第四环节：知识应用与拓展（时间预计6 分） 活动内容：训练近三年山西、太原市中考题中运用尺规作图的题型 活动目的：主要训练学生对 尺规作图的运用能力 活动过程: 1、（2008年太原24题）如图，在 ABC中，/

11、BAC=N C,在图中作出 ABC的内 角平分线AD （要求：尺规作图，保留作图痕迹， 2、（2009年太原26题），如图，A是/ MON边上一点 （1）在图中作/ MON勺角平分线OB交AE于点B; （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 3、（2010年山西20题）山西民间的建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之 图是图放大后的 将图补充完整 部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图，根据图 X Z 图1 美，图是其中一个代表，该窗格图案是以图为基本图案经过图形变换得到的, 第五环节：课时小结（时间预计2 分） 本节课我们重点复习了中学阶段所涉及到的四个基本尺规作图.再认识

12、了尺规作 图的三个基本步骤：已知，求作，作法，并运用这四个基本作图回顾训练了作三角 形和过不在同一直线上三点画圆。 第六环节：课时达标检测（时间预计10 分） 第8页 课时达标检测设计 项目 检测内容 检测的目标点与用时 预设；反馈矫正方法 预设与达标效果补充 1、如图，在梯形 ABCD中，AB/ CD，用尺规作图方法，作/ DAB的平分线 AF （只保留作图痕迹，不写作法和证明） 2、 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图的痕迹，在如下图的ABC 空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛 3、已知三角形的三边长分别为4.5cm，6cm,7.5cm，请写出已知、求作，然后

13、 （只保留作图痕迹，不写作 6c6cm 用尺规画出此三角形，判断三角形形状并说明理由 法） 当堂 7cm 7.5cm 达标 检测 （知识拓展） 4、已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm, 个内角为 40 . （1）请你借助下图画出一个满足题设条件的三角形 （2） 你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三 角形？若能，请你用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理 由 5、要在一块形状为直角三角形（/C为直角）的铁皮上截出一个半圆形铁皮， 需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段 AC上,且与AB, BC都相 切，请你用圆规和直尺画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作 法） 太原市教研科研中心研制 课时教学设计尾页 补充设计 板书设计 第一环节：基本作图复习（预计要10分） 定义：用没有刻度的直尺和圆规作图（直尺作用：画线、延长；圆规作用：画圆或弧） 1、作线段：用于作相等的线段 2、作角：用于作角相等或平行 3、中垂线：用于找中点或作垂直（外心） 4、角分线：用于平分角（内心） 第二环节：用尺规作三角形 （预计要10分） 1、作直角三角形（板

　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

　　①定理有三方面的意义：

　　a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点 如何证明四点共圆 )

　　b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧

　　c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.

　　②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

　　二、圆周角定理的推论

　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

　　推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径

　　推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

　　圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

　　①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.

　　②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”

　　③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件

　　④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.

　　1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别

　　一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

　　会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)， 记作P(A)=p.

　　注意：(1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映。

　　(2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。

　　(1)用列举法求概率(列表法、画树形图法)

　　(2)用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率。另一方面，大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值，而频率随不同试验次数而有所不同，是概率的近似值，二者不能简单地等同.

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大，则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　1.一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是( ).其中( )叫做二次项，( )叫做一次项，( )叫做常数项;( )叫做二次项的系数，( )叫做一次项的系数.

　　2.易错知识辨析：

　　(1)判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 .

　　(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

　　(3)用配方法时二次项系数要化1.

　　(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.

　　1、 必然事件、不可能事件、随机事件的区别

　　一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability), 记作P(A)= p.

　　注意：(1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

　　(2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

　　(1)用列举法求概率(列表法、画树形图法)

　　(2)用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

　　1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

　　2.平行四边形的性质

　　(1)平行四边形的对边平行且相等;

　　(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;

　　(3)平行四边形的对角线互相平分;

　　3.平行四边形的判定

　　平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：

　　第一类：与四边形的对边有关

　　(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

　　(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

　　(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

　　第二类：与四边形的对角有关

　　(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

　　第三类：与四边形的对角线有关

　　(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　（三角形中位线的定理）

　　三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

　　（平行四边形的性质）

　　①平行四边形的对边相等；

　　②平行四边形的对角相等；

　　③平行四边形的对角线互相平分。

　　①矩形具有平行四边形的一切性质；

　　②矩形的四个角都是直角；

　　③矩形的对角线相等。

　　正方形的判定与性质

　　1邻边相等的矩形；

　　2邻边垂直的菱形；

　　3对角线垂直的矩形；

　　4对角线相等的菱形；

　　1边：四边相等，对边平行；

　　2角：四个角都相等都是直角，邻角互补；

　　3对角线互相平分、垂直、相等，且每长对角线平分一组内角。

　　等腰三角形的判定定理

　　（等腰三角形的.判定方法）

　　1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

　　2、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形简称：等角对等边。

　　角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

　　定义中有几个要点要注意一下的，学习方法，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

　　性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

　　判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

　　极差是什么：一组数据中数据与最小数据的差叫做极差，即极差=值―最小值。

　　计算器――求标准差与方差的一般步骤：

　　1、打开计算器，按“ON”键，按“MODE”“2”进入统计SD状态。

　　2、在开始数据输入之前，请务必按“SHIFT”“CLR”“1”“=”键清除统计存储器。

　　3、输入数据：按数字键输入数值，然后按“M+”键，就能完成一个数据的输入。如果想对此输入同样的数据时，还可在步骤3后按“SHIET”“；”，后输入该数据出现的频数，再按“M+”键。

　　4、当所有的数据全部输入结束后，按“SHIFT”“2”，选择的是“标准差”，就可以得到所求数据的标准差；

　　5、标准差的平方就是方差。

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　1、 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c。（a0）

　　2、 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距， 即二次函数图象必过（0，c）点。

　　3、 y=ax2 （a0）的特性：当y=ax2+bx+c （a0）中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 （a这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称;（2）顶点（0，0）;

　　4、求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值， 从而求出解析式―――――――待定系数法。

　　5、二次函数的顶点式： y=a（x―h）2+k （a 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h， k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k。

初三上册数学知识点10

　　圆的面积s=π×r×r

　　其中，π是周围率，约等于3.14

　　圆的周长计算公式为：C=2πR.C代表圆的周长，r代表圆的半径。圆的面积公式为：S=πR2(R的平方).S代表圆的面积，r为圆的半径。

　　椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

　　椭圆面积公式：S=πab

　　椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

　　以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

初三上册数学知识点11

　　仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

　　单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。

　　当一个单项式的系数是1或―1时，“1”通常省略不写。

　　一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

　　如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项。

　　有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

　　多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

　　单项式可以看作是多项式的特例

　　把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

　　在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。

　　任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

　　对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。

　　性质1如果fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。

　　性质2如果fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等。

　　4、一元多项式的根

　　一般地，能够使多项式fx的值等于0的未知数x的值，叫做多项式fx的根。

　　多项式的加、减法，乘法

　　1、多项式的加、减法

　　单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式。

　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加。

　　两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

初三上册数学知识点12

　　初三上册数学知识点

　　式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。

　　若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

　　化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

　　1如果被开方数是分数包括小数或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

　　2如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

　　几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

　　4、二次根式的性质

　　5、二次根式混合运算

　　二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的或先去括号。

　　第二单元一元二次方程

　　含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

　　2、一元二次方程的一般形式

　　，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

　　二、一元二次方程的解法

　　配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　三、一元二次方程根的判别式

　　四、一元二次方程根与系数的关系

　　把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

　　1对应点到旋转中心的距离相等。

　　2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

　　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

　　1关于中心对称的两个图形是全等形。

　　2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

　　3关于中心对称的两个图形，对应线段平行或在同一直线上且相等。

　　如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

　　把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

　　考点五、坐标系中对称点的特征

　　1、关于原点对称的点的特征

　　两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点Px，y关于原点的对称点为P’-x，-y

　　2、关于x轴对称的点的特征

　　两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点Px，y关于x轴的对称点为P’x，-y

　　3、关于y轴对称的点的特征

　　两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点Px，y关于y轴的对称点为P’-x，y

　　在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

　　以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

　　二、弦、弧等与圆有关的定义

　　连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图中的AB

　　经过圆心的弦叫做直径。如途中的CD

　　直径等于半径的2倍。

　　圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

　　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

　　弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

　　大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示;小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示

　　三、垂径定理及其推论

　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

　　推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

　　3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

　　垂径定理及其推论可概括为：

　　直径平分弦知二推三

　　圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

　　2、圆的中心对称性

　　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

　　五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

　　顶点在圆心的角叫做圆心角。

　　从圆心到弦的距离叫做弦心距。

　　3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

　　六、圆周角定理及其推论

　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

　　推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

　　推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

　　七、点和圆的位置关系

　　设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆。

　　2、三角形的外接圆

　　经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

　　三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

　　4、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件

　　圆内接四边形对角互补。

　　先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

　　十、直线与圆的位置关系

　　直线和圆有三种位置关系，具体如下：

　　1相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

　　2相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

　　3相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

　　直线l与⊙O相交d

　　直线l与⊙O相切d=r;

　　十一、切线的判定和性质

　　1、切线的判定定理

　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　2、切线的性质定理

　　圆的切线垂直于经过切点的半径。

　　在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

　　十三、三角形的内切圆

　　1、三角形的内切圆

　　与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

　　三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

　　十四、圆和圆的位置关系

　　1、圆和圆的位置关系

　　如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

　　如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

　　如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

　　两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

　　3、圆和圆位置关系的性质与判定

　　设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

　　两圆外切d=R+r

　　4、两圆相切、相交的重要性质

　　如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

　　十五、正多边形和圆

　　1、正多边形的定义

　　各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

　　2、正多边形和圆的关系

　　只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

　　十六、与正多边形有关的概念

　　1、正多边形的中心

　　正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

　　2、正多边形的半径

　　正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

　　3、正多边形的边心距

　　正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

　　正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

　　十七、正多边形的对称性

　　1、正多边形的轴对称性

　　正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

　　2、正多边形的中心对称性

　　边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

　　3、正多边形的画法

　　先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

　　十八、弧长和扇形面积

　　n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

　　其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

　　其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

　　补充：此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助

　　弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

　　弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

　　初三上册数学复习方法

　　对于1-7，9-11以及13-20题基础题的复习，一定要把考点、易错点、解题规范结合复习建议对照标准答案，且注意训练做题速度，考试时做好审题和及时检查做完后立刻检查，要学会不同题型的及时检查，要求速战速决，满分80。

　　2、中档及较难题复习

　　对于8，12，21，22的复习，要加强考点和方法的联系，强化解题技巧的训练，提高识别考点和运用模型的能力，力争多得分，且为压轴题争取更多思考时间。

　　对于23-25题，分两种方式进行训练。第23题、24题要在掌握基本考点和方法的基础上，注重题型化和模型化训练;第25题的复习，要注重培养信息理解和快速整合能力，考试时多抢分。

　　4、把错题集越做越薄

　　在期末冲刺阶段用好错题集能够有事半功倍的效果，错题集要边做边看。踏踏实实地逐一消灭错误，把错题集越做越薄，不但复习效果好，还能提升信心。

　　通过应试训练，学会审题和实时检查的方法，做到“会则做对”;并且学会“不会也能得几分”的应试策略。

　　距离期末考试还有1个月多，距离中考还有半年时间，同学们要在本次期中考试基础之上，梳理知识，明确自己的优势和不足，查漏补缺，积累考试策略和经验。期末考试加油，看你的!

初三上册数学知识点13

　　1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

　　2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

　　3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

　　4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

　　5、用数轴表示不等式的方法。

　　1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

　　2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

　　3、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

　　4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

　　1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

　　2、解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x项的系数化为1。

　　1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

　　2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

　　3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

　　4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

　　5、一元一次不等式组的解法

　　1分别求出不等式组中各个不等式的解集。

　　2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

　　6、不等式与不等式组

　　不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

　　7、不等式的解集：

　　①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

　　②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

　　③求不等式解集的过程叫做解不等式。

初三上册数学知识点14

　　知识点一： 二次根式的概念

　　形如a(a0)的式子叫做二次根式。

　　注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，

　　知识点二：取值范围

　　1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

　　2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a

同学们课堂上听老师讲解，不光是学习新知识，更重要的是潜移默化老师的那种数学思维习惯，逐渐地培养起自己对数学的一种悟性。下面是小编为大家整理的有关初三数学上册的知识点归纳，希望对你们有帮助!

初三数学上册的知识点总结

式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

1如果被开方数是分数包括小数或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

2如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的或先去括号。

第二单元 一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式

四、一元二次方程根与系数的关系

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

1对应点到旋转中心的距离相等。

2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

1关于中心对称的两个图形是全等形。

2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3关于中心对称的两个图形，对应线段平行或在同一直线上且相等。

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征

1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点Px，y关于原点的对称点为P’-x，-y

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点Px，y关于x轴的对称点为P’x，-y

3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点Px，y关于y轴的对称点为P’-x，y

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、弦、弧等与圆有关的定义

连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图中的AB

经过圆心的弦叫做直径。如途中的CD

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示;小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

直径 平分弦 知二推三

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件

圆内接四边形对角互补。

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

1相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

2相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

3相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

十一、切线的判定和性质

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于经过切点的半径。

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

十四、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十六、与正多边形有关的概念

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十七、正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

补充：此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

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