两个标准正态分布的和服从什么分布服从什么分布？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-29 12:11 标签： 两个标准正态分布的和服从什么分布

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标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N(0，1)。

标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58σ范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表，借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

若某指标X服从正态分布N(μ，σ)，用X值减去均数μ后除以标准差σ，所得的结果将服从标准正态分布。此变换称为标准化变换。

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在数理统计的学习中，有一个重要的结论，即对于正态分布而言，样本均值和样本方差是独立的。这个结论初看起来是有些让人吃惊的，因为直观上样本方差依赖于样本均值。对此结论，很多教材一般通过构造正交变换来进行论证。但这种证明方式技巧性较强，不易于被学生理解和掌握。本文尝试对此结论给出一个简易的证明。

定理：设随机样本服从正态分布，样本均值且样本方差，则

结论2易得，以下仅证明结论1和3。

证明：为证明结论1，首先给出三个引理如下：

引理2：对任一, 服从二元正态分布.

证明：由引理1的证明可知：

又服从多元正态分布，而多元正态分布的线性变换仍然是正态分布，故此引理得证。

引理3：对于二元正态分布，协方差为0等价于独立。

证明：协方差为0等价于联合密度等于边际密度乘积等价于独立，得证。

由上述引理1—3，易知对任一, 与是相互独立的。而是的函数，故仍与独立。结论1得证。

接下来考虑结论3。注意到

等式左边是项独立标准正态分布的平方和，故服从，而等式右边第二项是1项标准正态分布的平方和，故服从。又由于等式右边的两项是相互独立的，故结论3得证。

上述证明的核心是基于多元正态分布的典型性质，即不相关和独立等价，从而我们仅需证明变量不相关即可，使得独立性的证明变得简单。

另外样本均值和样本方差的独立性也可根据Basu’s theorem得到。但Basu’s theorem涉及辅助统计量和完全充分统计量等概念，在此不做详述。

本文所讨论的定理具有非常显著的统计学意义。实际上，由此定理可导出t分布和F分布等重要的理论分布，该定理是统计学中关于均值和方差的统计推断的理论基础。

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