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1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 。

2、幂级数的收敛域为 。

3、幂级数的收敛半径 。

4、幂级数的收敛域是 。

5、级数的收敛域为 。

8、设函数 的傅里叶级数展开式为

9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的敛于 。

11、级数的收敛域为 。

参考答案：1、 2、 3、 4、 5、

1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。

（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛与有关

2、设，，，则下列命题中正确的是（ ）。

（A）若条件收敛，则与都收敛。

（B）若绝对收敛，则与都收敛。

（C）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。

（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。

3、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是（ ）。

（A）收敛，发散. （B）收敛，发散.

（C）收敛. （D）收敛.

4、设为常数，则级数是（ ）

（A）绝对收敛. （B）条件收敛. （C）发散. （D）收敛性与取值有关.

5、级数（常数）是（ ）

（A）发散. （B）条件收敛. （C） 绝对收敛. （D）收敛性与有关.

（A）与都收敛. （B）与都发散.

（C）收敛而发散. （D）发散而收敛.

7、已知级数，则级数等于（ ）。

其中，，则等于（ ）。

10、设级数收敛，则必收敛的级数为

11、已知级数， ，则级数等于（ ）。

12、若级数收敛，则级数（ ）

（A）收敛. （B）收敛. （C）收敛.（D）收敛.

13、若在处收敛，则此级数在处（ ）。

（A）条件收敛. （B）绝对收敛. （C）发散. （D）敛散性不能确定.

14、设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（ ）

1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。

【分析一】表明时是比高阶的无穷小，若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小，，从而也是的阶或高于阶的无穷小，这就证明了绝对收敛。

【证明一】由及的连续性。再由在邻域有二阶连续导数及洛必达法则

由函数极限与数列极限的关系

因收敛收敛，即绝对收敛。

2、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？

【分析与求解】因单调下降有下界极限。若，由莱布尼兹法则，并错级数收敛，与假设矛盾，于是。

现在对正项级数可用根值判别法：因为

3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求

于是收敛半径，收敛区间为

发散，即时原幂级数发散。

当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。

收敛，又收敛收敛，即时原幂级数收敛。

4、（1）验证函数满足微分方程

（2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。

（1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令，则

其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：

（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）

（2）因为幂级数的和函数满足微分方程

所以为求只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②

该方程相应的齐次方程的特征方程为

特征根为 相应齐次方程的通解为

设非齐次方程的一个特解为，代入方程①得

5、求幂级数的收敛区间与和函数

【分析与求解】 这是缺项幂级数，令考察，其中

的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为。

【分析与求解】先将级数分解：

第二个级数是几何级数，它的和已知

求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察

【分析与求解】 先用分解法将原级数分解。

要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是，即

8、将函数展为的幂级数。

【分析与求解】容易某某。

在幂级数的收敛区间内可逐项积分得

且收敛区间不变，当时，②式右端级数均收敛，而左端在连续，在无定义，因此

9、将函数 展开成的幂级数。

【分析与求解】，先求的展开式

10、设 试将展开成的幂级数，并求级数的和。

【分析与求解】 关键是将展成幂级数，然后约去因子，再乘上并化简即可。直接将展开办不到，且易某某，即

因为右端级数在时均收敛，又在连续，所以展开式在收敛区间端点成立。

上式右端当时取值为1，于是

11、将函数展成以为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和。

【分析与求解】 按傅氏系数公式，先求的傅氏系数与。

注意到在分段单调，连续且，于是有傅氏展开式

为了求的值，上式中令得

12、将函数展开成周期为4的余弦级数。

【分析与求解】这就是将作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得的傅氏系数：

由于（延拓后）在分段单调、连续且于是有展开式

13、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。

而发散原级数在处发散。

故原级数在处收敛收敛域内

14、将函数展开成的幂级数。

分析 先将分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。

15、将函数展开成的幂级数，并求级数的和。

分析 直接展开较困难，先将展开，再递项积分得出的展开式

当时，收敛 （莱布尼兹判别法）

16、求幂级数的收敛域及和函数

解：求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之，设

当，即时，原级数绝对收敛；

所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是

同理，当时，绝对收敛，

因此，该级数的收敛域为

17、求幂级数的收敛区间与和函数。

解：此级数是缺项的幂级数

当，即时，级数绝对收敛；

18、（1）讨论级数的敛散性，（2）已知级数和都收敛，试证明级数绝对敛。

（2）证 与都收敛收敛收敛

19、设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一的正实根，并证明当时，级数收敛。

分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性

（2）用比较判别法证明收敛。

证 （1）取，则在上连续，且

（2）试证：对任意常数，级数收敛。

（1）解 直接求的表达式

21、求级数的收敛域。

因此当，即时级数绝对收敛。

当时，得交错级数；当时，得正项级数，二者都收敛，于是原级数的收敛域为

22、已知函数 试计算下列各题：

【解】用分段积分法，分部积分法和换元积分法，分别可得

23、设有两条抛物线和，记它们交点的横坐标的绝对值为。

（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；

【解】（1）用与分别表示两条抛物线

令 ，容易求得，利用定积分还可求得两抛物线围成的平面图形的面积。

令，因其收敛半径，且，故在内有

25、已知满足（为正整数），且，求函数项级数之和。

【解】由已知条件可知满足一阶线性微分方程

由与在的连续性知，上述和函数公式在处也成立，于是，当时，有

26、（1）验证函数满足微分方程；

利用的结果求幂级数的和函数。

的收敛域是，因而可在上逐项求导数，得

相应的齐次微分方程为,

其特征方程为 ，特征根为

因此齐次微分方程的通解为

设非齐次微分方程的特解为 ，将代入方程 可得

27、求幂级数的和函数及其极值。

【解】 将等式 逐项求导，得

由于，故得到了和函数的表达式

令，可求出函数有惟一驻点，因为

可见在点处取得极大值，且极大值为

28、设级数的和函数为，求：所满足的一阶微分方程；的表在式。

易见，且幂级数的收敛域为，在上逐项求导，得

因此是初值问题 ，的解。

29、求幂级数在区间内的和函数

【解】 不难发现，从而，只需求当时和函数的表达式，注意

将上式两端的改写成，并分别从到求定积分，可得

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无穷级数是高等数学课程中一个重要的知识点，它是表示函数、研究函数以及数值计算的一种有效工具。在实际教学过程中，可以发现学生对无穷级数概念的理解与掌握并不尽人意，甚至有的学生直至学完无穷级数，对无穷级数的理解还是停留在表面。由此教师在课堂授课中，如何有效地帮助学生克服学习的困难，使学生正确构建起对无穷级数概念的正确理解是非常重要的。

本文结合在无穷级数的知识发生发展的过程中产生的典型案例和学习无穷级数时需要掌握的重要思想方法，设计了无穷级数课程思政的案例，并进行了思政元素的挖掘渗透。一方面，通过案例的设置可以达到设疑、提出问题的目的，进而可以引起学生的好奇心和求知欲，使学生从被动接受知识转变为主动探索求知，而通过思政元素的渗透可以使学生的求知更加具有主动性。另一方面，从无穷级数理论中蕴含的思想方法切入思政元素，不仅让学生体会到数学中处处有人生哲理，还可以让学生明确潜藏于无穷级数理论中的重要思想方法，进而对无穷级数的学习充满信心。同时，这些思政案例的设计也便于高校教师把案例设计到自己的课堂教学过程中。当然课程思政目标是需要长期积累才能实现的，我们相信量变终究会引起质变，这一点在对无穷级数的教学和学习中也能体现出来。

2. 从无穷级数的历史发展及重构切入思政元素

无穷级数起源于公元前，最早的无穷级数主要源于哲学和逻辑的悖论，例如，芝诺的二分法到把１分解成无穷级数

公元前300年我国著名哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完。而将每天截下的那一部分长度加起来用数学形式表达出来也是上面的无穷级数。

一直到十五、十六世纪，无穷级数的理论研究也没有取得重大进展。但是在这之前关于无穷级数的思想的积累，为十七、十八世纪无穷级数的发展奠定了基础。最终，柯西在前人的基础上，在1821年的《分析教程》一书中给出无穷级数相关概念的现代定义。

思政元素切入点：无穷级数的理论从萌芽到一步一步完善、成熟到近代理论的进一步发展，处处体现出数学家们的坚持不懈、勇于探索的精神。无穷级数正是依靠一代代数学家们的不断传承与敢于质疑、敢于创新的精神发展起来的，而且一切成就、成果都不是一蹴而就，需要几代人的努力，甚至需要几千年的积累。我们新时代的大学生更需要向老一辈的数学家们学习，学习他们坚忍不拔的数学精神，学习他们为科学奉献的精神。

3. 从无穷级数的问题切入思政元素

无穷级数从发现开始，出现过很多关于级数和的悖论，把悖论引入课堂教学不仅能够激发学生的求知欲，也可以作为课程思政的切入点。

0

悖论1通常会有三种求解方法 [1]：

0

对于同一个无穷级数，利用三种不同的方法计算出三个结果，这是怎么回事呢？问题出在哪里？

对于悖论2，初学者往往根据直观经验，判断 $$

而右边是以0.1为公比的等比级数，其前n项和 ${}_{}\frac{{}^{}}{}$

这个结果打破了我们的直观认识，即使我们计算出 $$，很多初学者也是很难从心里接受这一结果。为什么会出现这种情况？问题又出在哪里呢？

思政元素切入点：这两个悖论的出现，主要是因为我们运用了有限的运算和思想方法去解决无限的问题，从而得到了错误的结论。由此我们可以得到这样的认知，看问题的时候不能先入为主，不能想当然的用已知的方法解决未知的问题，特别是不能唯经验论。

另一方面，悖论2说明了无限积累的作用，量变终究会有质的飞跃。小到一个人的成长需要点滴的积累，大到一个国家的发展也需要点滴的积累，所以我们要注意平时的一点一滴的积累。

调和级数可以通过蜗牛爬绳的故事引出，以加深学生对调和级数的认识，直观的体现调和级数中蕴含的“蜗牛精神” [2]。

思政元素切入点：尽管调和级数的一般项越来越小，而且无限逼近于零，但是和却为无穷大，所以可以说调和级数把无限累积的力量体现的淋漓尽致，点点滴滴也可以汇聚成河。“勿以恶小而为之，勿以善小而不为”，要铭记“养小德才能成大德”。

4. 从数学家们的经历切入思政元素

自古以来，数学史也是数学家们的奋斗史，数学家们坚持不懈的科学精神就是一部现成的思政宝库，通过选择数学家典型的经历和事迹故事可以达到思政的目的。

在幂级数中讲到阿贝尔定理时，可以介绍挪威数学家阿贝尔在贫穷、饥寒的环境里，坚定信念，创造出大量的开创性的数学成果 [3]。在讲到无穷级数收敛的时候，可以介绍柯西最早给出收敛的定义。他在数学方面的成就辉煌且数量惊人，柯西的名字与许多定理、准则一起流传至今。讲授傅里叶级数时，可以介绍傅里叶在研究热的传播时创立了一套数学理论。

思政元素切入点：数学家们自身的经历和取得的成就，本身就是最好的思政素材，数学家们取得成就的背后，是他们辛勤的付出。阿贝尔人穷志不穷，柯西一生孜孜不倦、勤奋工作，傅里叶对待热学极度痴迷和并且善于发现问题。通过了解数学家的经历，感受数学家们的科学精神，学习数学家们为科学奉献的精神，达到教书育人的目的。

5. 从无穷级数蕴含的数学思想方法切入思政元素

高等数学中蕴含着丰富的数学思想方法，加强数学思想方法的教学，既能提高学生的综合素质，又能培养学生的学习兴趣，领会数学精神。

思政案例5 正项级数敛散性判别中的比较思想方法

正项级数的比较审敛法，是要求找一个适当的级数作为比较的对象，通过比较得到原级数的收敛性的方法。

正项级数的比值审敛法，只需将级数的后一项与前一项比较即可判定其收敛性。虽然比值审敛法不需要借助其它级数，使用起来简单方便，但是当ρ = 1时无法判别。所以这两种审敛法在使用时要注意结合使用。

思政元素切入点：人生如数学处处存在比较，与人相比，特别是与优秀的人相比，可以看到自己的不足；与己相比，可以看到自己的进步与成长。但是这种比较需要恰当，正项级数的判别法是如此，人亦如此。

每个人都有自己的长处和优点，也有短处和弱点，正像比值审敛法ρ = 1时的不完美。正视短处，发挥长处，更好的促进个人发展。

思政案例6 级数展开与转化的思想方法

将函数展开成幂级数主要有直接展开法和间接展开法。直接展开法给出了基本初等函数 ${}^{}{}^{}$，…的幂级数展开式，过程比较复杂。间接展开法是运用变量代换、逐项求导积分、化归等方法 [4]，将未知函数转化成已知展开式的函数，进而得到幂级数展开式的方法。

思政元素切入点：直接展开法繁琐而复杂，但是必不可少，是间接展开法的基础。间接展开法是将未知的问题转化为已知的问题，从而使问题得以解决。而这种方法的前提是必须有“已知的问题”作为基础，并且转化时要有适当的目标性，不能盲目进行转化。

人生规划如同对函数进行幂级数展开：首先要有基础的积累，然后知道自己的人生目标是什么，朝着目标去奋斗，定能实现。大学阶段的学习就是基础的积累，在学习的过程中确立正确的人生观，价值观，做好学业规划和人生规划。换一个角度看，间接展开更像是站在巨人的肩膀上，从而更容易取得更大的成绩。

把知识背后蕴含的思政元素自然地融入课堂，不仅可以使学生对知识进行系统性的把握，也会使其领悟到知识背后蕴含的哲理。将无穷级数的思政案例融入教学过程，可以实现更好的授课效果，达到思政育人目标。例如，将思政案例与启发式或问题引导式教学结合，可以激发学生的求知欲，培养学生主动探寻的精神。总之在无穷级数教学中，通过思政案例可以引导学生积极思考，鼓励学生敢于发表自己的见解，敢于尝试与创新，使学生不再枯燥无味地为了学习而学习。

1. 山东省本科教学改革研究项目重大子课题(山东省高校理学、工学类专业课程思政教学设计研究与实践(T2020005))。

2. 山东理工大学课程思政教育教学改革项目(高等数学)。

f(i)=e^k$，也就是说，级数求积也可以变为级数求和来计算，换言之我们可以把精力放到级数求和上去。

上面讨论了一大片，也许有的读者会感到一片茫然：这和级数有什么关系呀？？有，当然有！请看————

现在你明白了吧，如果已知通项公式，那么级数求和就等价于方程(1)中$\epsilon=1$的情况！为了应用方便，我们把(8)式中$\epsilon=1$的系数都列出来：

可见，收敛是迅速的。这种求和方法就是著名的“欧拉——马克劳林求和公式”。根据上面的结果，我们尝试为寻找一些求和公式，如$\sum_{x=1}^n x^3$，可以按照以下步骤：

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