范文一：梅森公式例题 梅森公式

导读:就爱阅读网友为您分享以下“梅森公式”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对,您的在线图书馆

范文二：梅森公式的导出

以 R 为输入, V 2为输出则可整理成下列方程

的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种:单独的回路和互不接触回路。

图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路(回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、 Ⅱ和Ⅳ)

所有单独回路增益之和为

++++=∑ 两两互不接触回路增益乘积之和为

可见,传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。

如果把△中与第 k 条前向通道有关的回路去掉后,剩下的部分叫做第 k 条前向通道的 余子式,并记为△ k 。由图可得,从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下 表所示

传递函数的分子等于系数行列式△ 2除以 R(s)。而 R

范文三：梅森公式的理解

是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。具体的应该是这样：

梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△ G(s)= ——系统总传递函数；n ——是前向通道数； Ρκ——第k 条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道； △——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······

aLA为所有回路增益之和； bcLaLb为每两个不接触回路增益乘积之和 Li ——所有单独回路的增益之和；

LjLk ——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和； LiLjLk ——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；

△κ——第k 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路

增益代以零值，余下的即为△κ。

对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项

范文四：信号流图与梅森公式

2.5 信号流图与梅森公式

信号流图是表示复杂的又一种图示方法. 信号流图相对于结构图更简便明了, 而且不必对图形进行简化, 只要根据统一的公式, 就能方便地求出系统的传递函数.

1. 信号流图的组成及基本性质

信号流图由节点和支路组成. 一个节点代表系统中的一个变量, 用小圆圈”Ο”表示; 连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路. 支路相当于信号乘法器, 乘法因子(或支路增益) 表在支路上; 信号只能沿箭头单方向传递, 经支路传递的信号应乘以乘法因子; 只有输出支路, 无输入支路的节点称为输入节点, 代表系统的输入变量; 只有输入支路, 无输出支路的节点称为输出节点, 代表系统的输出变量; 既有输入支路, 也有输出支路的节点称为混合节点. 信号流图的特征描述还需要以下专用术语:

前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时, 对任何节点只通过一次的通路称为前向通路. 而前向通路上各支路增益之积, 为前向通路总增益.

回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上, 且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路, 简称回路. 回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.

不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点, 此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素, 即 X 1X 2X 3X

信号流图共有三条前向通道，第一条是X 1→X

有两个单独回路，一个是X 5→X 6→X 5，起点和终点是X 5；另一个起点、终点在X 3的自回路。而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。

注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。

2.5.2 信号流图的绘制

信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。 1． 根据系统方框图绘制

将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。

从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。若在方框图的比较点之前没有引出

点，但在比较点之后有引出点时，只需在比较点之后设置一个节点即可，如图2-32（a ）所示；若方框图的比较点之前有引出点，就需要在比较点和引出点处各设一个节点，分别表示两个变量，两个节点之间的增益是1，如图2-32(b)所示。

图 2-32 比较点与节点对应关系

系统结构图如图2-33所示，其对应的信号流图如图2-34所示。

图2-33 比较点与节点对应关系

图2-34 系统信号流图

2． 根据系统方程绘制信号流图 某线形系统由下方程组描述

根据系统（2-55），首先确定接点 X 1, X 2, X 3, X 4 ，然后绘制式（2-55）中各方程信号流图，如图2-35（a ）,(b), (c), 所示；最后将各个图连接起来，即得到系统的信号流图，如图2-35（d ）所示。X 1 为输入变量，X 4为输出变量。

图2-35 系统信号流图

如果采用克莱姆法则求解，将输入变量 X 1 留到方程右侧，其余移到方程左边经整理式（2-55）变为

上述方程组的系数行列式为

从上式求解过程可知，系数行列式与信号流图之间有一种巧妙的关系，首先作为传递函数分母的系数行列式? ，其中的两项恰巧与信号流图中的两各回路增益之和相对应，即

(f +de ) 。其次，作为传递函数分子系数行列式?4 的系数，其中的两项恰好与信号流图中

的两个前向通道总增益之和相对应，即abd +ac 。这种对应关系，为我们直接从信号流图采用观察的方法，求区系统的传递函数提供了一般规律，这就是梅森公式的基本指导思想。

由信号流图可以得到任意输入接点之间的传递函数，即任意两个节点之间的总增益。任意两个节点之间传递函数的梅森增益公式为

式中：P 为从输入节点到输出节点的总增益（或传递函数）；

n 为从输入节点到输出节点的前向通道条数；

为系统流图中所有单独回路的增益之和；

L c 为所有两个互不接触回路的回路增益乘积之和；

为所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和；

P k 为第k 条的前向通道增益；

?k 为第k 条前向通道的余因子，即在信号流图中，把与第k 条前向通道相接触的回路

例2-11 如图2-36所示信号流图，求输入节点到输出节点的传递函数。

解 根据梅森增益公式，从输入节点到输出节点之间，只有一条前向通道，其增益为

这三个回路都有公共点，所以不存在互不接触电路。于是特征式为

因为这三个回路都和前向通道 接触，所以其余因子式 ，最后得到输入节点到输出节点的总增益P 即系统传递函数为

例 2-12 求图2-37所示信号流图的传递函数。

解 由图2-37知，系统有4个单独回路，分别为

只有L 1 与 L 3 回路互不接触，所以两两互不接触回路增益乘积为

有两个前向通道，分别为

第一条前向通道与所有回路都接触，第二条前向通道与回路L 2=bg 不接触，因此

系统的总增益即传递函数为

例2-13 如图2-38 所示为一个交叉反馈系统，求其开环传递函数。

解 系统相应的信号流图如图2-39所示。分析信号流图，克制有5个单独回路，分

没有互不接触回路，系统特征式为

前向通道有4条，分别为

4个前向提到与所有的单独回路都接触，因此

由梅森公式得系统传递函数为

对于单位负反馈系统，有

式中G (s ) 为系统的开环传递函数，则

熟悉了梅森公式以后，根据它求取系统得增益，比利用结构图更简便有效，特别是复杂得多环系统和多输入，多输出系统效果更著。因此，信号流图得到了广泛得使用，并常用于控制系统得计算和辅助设计。

范文五：信号流图与梅森公式

6-5 系统的信号流图与梅森公式

由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o ”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动) 方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统) 的传输函数。这样，根据图6-29(b)

，同样可写出系统各变量之间的关系，即

二、三种运算器的信号流图表示

三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o ”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和) 的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。

三、模拟图与信号流图的相互转换规则

模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1)?在转换中，信号流动的方向(即支路方向) 及正、负号不能改变。

(2)?模拟图(或框图) 中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即

(3)?模拟图(或框图) 中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。

(4)?模拟图(或框图) 中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加) ，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。

(5)?在模拟图(或框图) 中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。

(6)?在模拟图(或框图) 中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出

一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。

信号流图实际上是线性代数方程组的图示形式，即用图把线性代数方程组表示出来。有了系统的信号流图，利用梅森公式，即可很容易地求得系统函数H(s)。这要比从解线性代数方程组求H(s)容易得多。

(1)?用它来表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。

(2)?下面将会知道，信号流图也是求系统函数H(s)的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系统的系统函数H(s)。

例6-18??已知系统的信号流图如图6-33(a)所示。试画出与之对应的模拟图。

解：根据模拟图与信号流图的转换规则，即可画出其模拟图，如图6-33(b)所示。于是可求得此系统的传输函数(请读者求之) 为

四、信号流图的名词术语

下面以图6-32(a)为例，介绍信号流图中的一些名词术语。1 节点

表示系统变量(即信号) 的点，如图中的点F(s),?s2X(s),?sX(s),?X(s),?Y(s)；或者说每一个节点代表一个变量。该图中共有5个变量，故共有5个节点。2 支路

连接两个节点之间的有向线段(或线条) 称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输(或流动) 方向，支路旁标注的H(s)代表支路(子系统) 的传输函数。例如图中的

1, 应支路的传输函数。

代表系统激励信号的节点，如图中的节点F(s)。激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。激励节点也称源节点或源点。4 响应节点

代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y(s)。有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图

6-32(a)中最右边的虚线条所示。?

若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它所代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。6 通路

从任一节点出发，沿支路箭头方向(不能是相反方向) 连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。7 环路

若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于

1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。如图6-32(a)中共有两个环路：

与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。9 前向开通路

从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。如图6-32(a)中共有三条

没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图6-32(a)中不存在互不接触的环路。11 自环路

只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。12 环路传输函数

环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。

13 前向开通路的传输函数

前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。

从系统的信号流图直接求系统函数

的计算公式，称为梅森公式。该公式如下：

此公式的证明甚繁，此处略去。现从应用角度对此公式予以说明。式中

Δ称为信号流图的特征行列式。式中：为第i 个环路的传输函数，

为所有环路传输函数之和；

为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；

为所有三个互不接触环路传输函数乘积之

为两个互不接触环路传输函数的乘积，

为三个互不接触环路传输函数的乘积，

为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积；为除去第k

条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。求

个环路，其传输函数分别为

:该图中两两互不接触的环路共有3

该图中没有3个和3个以上互不接触的环路

个前向通路，其传输函数分别为

前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。该子图共有两个环路，故

前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

例6-20图6-35(a)所示系统。求系统函数。

4组两两互不接触的环路：

个以上互不接触的环路，故有

因除去与前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

(2)?求。Δ的求法与结果完全同上。该系统从

所示用框图表示的系统的信号流图，并用梅森公式求子系统函数。

解：?所画出的信号流图如图

所示。下面用梅森公式求

可见与例6-16所得结果相同。