用夹逼定理(高等数学中有述）来证明：

sinx/x当x趋向于0时，其极限值为1，这个可以使用罗比达法则来证明，limsinx/x(当x趋向于0时)=limcosx/1(当x趋向于0时）所以sinx/x当x趋向于0时，其极限值为1另外也可以使用夹逼准则来证明。

把所有的x换成1/x 之后求得f(1/x)的表达式后带入原式 再根据定义域求值域 注意分析不同区间内的单调性。。。输式子太困难了 要是求详解找别人吧。。。

首先，先证明：当0<x<π/2时，有： sin x < x < tan x (不能用求导去证明，否则就变成循环论证 因为sin x的求导公式中运用到这一个极限) 在直角坐标系中作一单位圆(以原点O为圆心，1为半径的圆)，交x正半轴于点A 作圆在A点上的切线AB，其中B点在第一象限。连接OB，交圆于点P 过P作平行于y轴的直线，交x轴于Q。连结AP(请自己画图)

你知道么 刚刚看到一个很有意思的问题：当X趋近于0时，（1+2x）的3&47;sinx次方的极限是多少？为什么是e^6?（分享自@百度知道） O网页链接

1.sinπ等于？有加分

sinπ=0，sin-π=0。cosπ=-1，cos2π=1，cos0=1，cos-π=-1。根据三角函数诱导公式（Inductionformula）推演出来的，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。扩展资料公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot(—α)=—cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=－sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=－tanαcot（2π-α）=－cotα诱导公式记忆口诀：

正弦函数即sinx在第一象限和第二象限是正值，三四象限是负值，而正弦函数中的X一般是小于90°的，所以sin（x+π）是在第三象限的，那么sin（x+π）=-sinx。使用具体数字带入，不管x取值范围是在0~90°，270°~360°四个范围中的任意一个，加上π之后其正弦函数都会由正转负。正弦函数正弦（sine），在直角三角形中。

如图，这是这道题的过程。

如图，这是这道题的过程。希望可以帮助你

6.sin二分之派减a 怎么算 详细点

sin（π/2-a）=cosa。基本诱导公式。画一个直角三角形，确定一个锐角是a，cosa是a的临边比斜边，那么另一个锐角就是π/2-a，扩展资料常用特殊角的函数值：

-cosa解题过程如下：sin（-π/2十a）解：=sin（a-π/2）=sina*cosπ/2-cosa*sinπ/2代入cosπ/2﹦0sinπ/2=1=sin（a-π/2）=-cosa扩展资料求三角函数的方法：90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。奇余偶同，将α看做锐角（注意是。按所得的角的象限，取三角函数的符号，象限定号“奇变偶不变“符号看象限，在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变。若为奇数时函数名变为相反的函数名，正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有个口诀。一全正；

洛必达法则：用来计算趋于0时，且均有良好的斜率

连续量的比值不是数与数的比值，而是趋势与趋势的比值

特性强：可导> 连续，可导必然连续、连续不一定可导

重复运动： e.g.  心跳、圆周运动、呼吸、地球公转

必须令两者同时趋近于 0，观察他们比率的变化

毕达哥拉斯定理 （勾股定理）

三角函数的两角和公式：

钟形曲线 （与正态分布有关）,概率论的基础

指数函数e^x的特质，通过逆函数，可以得到一些不同的性质：

温度的表示：华氏度F、摄氏度C    之间的关系

负数的对数不是我们的研究范围

大数的对数，会化成小数

lny导数1/y ，这就是为什么对数函数增长这么慢！ y上涨，斜率更小

导数的所有重要法则：加减乘除、链式法则、逆函数及其导数、

f+g 求和的导数，直接将导数相加即可

 如果我们知道如何求导f，用以上函数链的链式法则可以求f逆的导

总结：逆（反）函数套链式求导

 y =A x^n， 实际增长曲线，很难看出实际增长率

c语言log函数默认e为底

可能是以任意合适的数为底，对做图不影响。

现在才理解了，数学就是人们为了简化计算的一种工具，都有来头

观察：多项式函数、指数函数 取对数后，大数和小数都被合理化了，可以得到一条直线

拟合：最小二乘法least squares、是一个求最佳直线的微积分方法、

最小二乘法求残差平方和最小需要用导数

在小段距离Δx上，比较瞬时斜率和平均斜率之间的差。 即 切线和割线的斜率差

这个在高级宏观里面的索洛模型中的收敛速度有相关知识

1. 求函数f在x点的近似值f(x)，求f

继续求f'(x),就可以得到泰勒展开了

其实忽略了二阶导.....n阶导

所以叫近似阶，加余项的话就是等于了

根号9.06的解和根号9类似所以求出根号9假装是根号9.06的解，这么复杂的吗？

用导数的延长线近似曲线

这种近似解法称作：牛顿-拉夫逊方法， 或称 牛顿法

 相当于幂级数 从常数分量和线性分量后截断，就是线性近似。

不是每项匹配1，而是f(x) match 1。如3阶导只能x^3项去配，前几项3阶导消去，后几项x=0也消去

因为教授说了，只考虑函数在x=0时的值，而指数函数在x=0时为1，所以多项式每项都要找到一个a使得这项为1

在纸上拿整个f(x)去求下各阶导数，再把0带入x，就可以看出老头的意思

泰勒级数将初等函数统一为幂级数的形式

为什么选0点？因为在0点求导都是1的形式，可以利用幂的求导来凑，

把sinx 级数求导就是cosx的级数了

泰勒展开是去找一个多项式函数来近似模拟一个复杂函数

欧拉公式在微分方程应用超重要 没有欧拉公式以后就不能偷懒了

解：这些已知函数的乘积

 加一个常数C是为了匹配初始条件

C在微分后消失，属于从微分方程里无法确定的项。从工学应用上来讲也可以说是这个解本身有1自由度

线性方程解的线性组合依然是方程的解

本讲的精髓：常系数微分方程的解，是这些已知函数的乘积（指数函数、正余弦、幂函数）

实际上，这种模型中通常 r=0   ，假设 没有空气阻力、阻尼；

胡克定律：弹簧的弹力与拉伸程度成正比 。F=kx（在这里是y） k是弹簧的硬度、胡克常数、弹簧常数

假设没有阻力时 r=0，将一直振动，沿正弦和余弦

常数C、D取决于初始状态，从静止开始 没有正弦项

跟重力没关系 考虑的是弹力、重力在平衡态下已经抵消了；二力平衡下重力和初始弹力相互抵消

拿平衡点建系的话就不考虑重力、令平衡状态下位移为0

这个是运动方程中力的平衡。此时的重力是ma的中的一部分

现在考虑 阻尼振动， 求解   my``+2ry`+ky =0 ，这是微分方程课中最重要的方程，指数函数可解

随着数字改变、会得到不同λ、会在指数情况和振动情况之间change，

Mck二阶微分系统是工程问题中的经典

通过虚数 欧拉公式，可得振动情况

终于知道为什么这种情况通解可以直接写成指数形式，因为欧拉公式！！

应该这样想：sint和cost定义来源于解-(d^2y)/(dt)^2=y，而e^t定义来源于解dy/dt=y，这样很自然就会引出新定义（i^2=-1），由此e^i，不分正负，构成解而已

物理意义：振动逐渐减弱，在平息的过程中，振动会来回经过平衡点，

其实 i 引入能够让我们在正交基上把实域解进行分离，从而沿用两个线性无关组合表达解的过程。有时候解决人类世界维度下问题的思路就是通过高维的非直觉方法，因为人类不知道这个问题是不是一个投影。

这三个例子分别对应三种特征根的情况

总结：线性常系数微分方程，通过e^λt通通可以搞定，λ也可求解，如果是实数，结果是指数函数，如果是虚数，解是正余弦，如果是重根，引入因子t 

本讲重点 引入 非线性方程，先从基本线性方程、和含有资源项的基本线性方程开始。

线性方程的解，总有这样的形式：

非齐次的特解 和齐次通解的线性组合。跟线代里面的零空间的解和列空间的解一模一样，

右侧为0:  即 保留含有y的，去掉资源常数，齐次方程，dy/dt=cy，的解含有e^ct

这个其实数形结合会更好理解，就是原函数平移了而已

这是马尔萨斯的人口模型

应该说这是一门复习课，不太适合第一次学微积分

虽说是非线性，但我觉得就和牛顿二定律 F表现出来的合外力一样

模型也广泛用于 化学和生物领域，化学里叫作 mass action质量作用、两种不同化学物质、两者相互作用正比于其中一个的量，也正比于另一个的量，正比于两者之积

导数=0，特解、doesn't move。c/s 大概一百亿人口 10billion，此时，增长和竞争的效应会互相抵消

环境容纳量 还得看科技怎么发展

解非线性的技巧：化为线性

如果猎物不够，捕食者就会减少；捕食者减少，猎物就会增加--->  u*v