幂函数形复合函数求极限可以先算里面的，求极限时什么情况下可以分别对底数和指数求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-09 09:44 标签： 复合函数求极限可以先算里面的

考研高数求极限是考研数学的重要考点，下面求函数极限的方法总结，欢迎阅

求函数极限的方法总结：

利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为

；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则

是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式

或者∞/∞时可以采用洛必达，

其他形式也可以通过变换成此形式。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上

完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、

局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候

不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，

趋近无穷的时候还原成无穷小）。

、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用

有严格的使用前提！必须是

趋近！（所以面对数列极限时候先要转

趋近情况下的极限，当然

趋近的一种情况而已，是必要条件

当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数

的导数要存在！（假如告诉你

），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找

无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为

乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷

大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这

样就能变成第一种的形式了

数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来

与无穷的形式了，（这就是为什么只有

都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于

，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，

次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特

，对题目简化有很好帮助。

、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母！

看上去复杂，处理很简单！

、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂

函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的

只需要知道它的范围结果就出来了！

【摘要】本文从一道2020年全国大学生数学竞赛试题出发，给出关于该试题的推广，并举例说明其应用.

【关键词】 幂指函数;极限;导数;积分

【基金项目】2020年安徽省质量工程项目：高职数学课程思政教学团队（项目编号：2020kcszjxtd51）;安庆职业技术学院高职数学课程建设项目.

在2020年11月全国大学生数学竞赛初赛中有一道如下试题：

解由于limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，所以由极限的保号性，存在x=0的一个去心邻域U0，使得对x∈U0，有f（x）>0，g（x）>0.下面开始计算：先分子、分母同除以[g（x）]g（x），得

這里f（x）g（x）g（x）是幂指函数，由反函数的性质f-1f（x）=x，有

由等价无穷小替换，当x→0时，g（x）·lnf（x）g（x）→0，有eg（x）lnf（x）g（x）-1～g（x）lnf（x）g（x），

再由等价无穷小替换，当x→0时，f（x）g（x）-1→0，

这道题主要用到幂指函数极限的相关性质.幂指函数形如f（x）g（x），这个函数既像幂函数又像指数函数，它的特点是底数和指数都是变量.我们初识幂指函数是在学习初等函数的时候，很多同学认为它不是初等函数或者错误地进行初等分解，其实幂指函数是初等函数，它满足初等函数的所有性质.在高等数学学习过程中，很多内容都涉及幂指函数，例如求极限和求导，特别是求导的时候，很多同学会错误地把它当成幂函数或指数函数的复合函数来求导.本文基于几道竞赛题和习题推广幂指函数在导数和不定积分中的应用，并给出一些对应的解题方法.

二、相关问题的进一步探讨

这类题型一般有两种解题方法：（1）取对数化成隐函数;（2）利用幂指函数指数化.

幂指函数指数化又分为两种：f（x）和g（x）都是关于x的函数，为了方便，简记为g和f.

解方法一：取对数化成隐函数.

方法二：幂指函数指数化.这里又可以分两种解法：

（二）幂指函数的求导或微分

这类题型一般用指数函数求导法或取对数求导法.下面对指数函数求导法和取对数求导法做简要说明.

① 指数函数求导法：利用恒等式fg=egln f，得

例2若u=xyyx，求uy.（第六屆北京市大学生数学竞赛大专组第8题）

解用取对数求导法，u=xyyx两边同时取对数，得

本题直接用乘积的求导公式和幂函数及指数函数的求导公式也可以得到结果.

有时候遇到求多元函数的偏导数仅仅用指数函数求导法或取对数求导法并不容易得出正确的答案，这时候需要用到全微分的计算公式和隐函数的微分法.

① 若函数z=f（x，y）可微，则dz=fx（x，y）dx+fy（x，y）dy.由一阶全微分形式的不变性，不管x，y是自变量还是中间变量，该等式都成立.

② 隐函数的微分法：若二元方程确定的一元隐函数F（x，y）=0，y=y（x），则dydx=-FxFy;

例3设z=f（x，y）是由方程zx=yz确定的，求z对x的偏导数.

解方法一：两边同时取对数，有xln z=zln y，

（三）幂指函数的不定积分

这类题型实质上是幂指函数求导的逆过程，主要用到凑微分法，掌握了幂指函数求导方法，处理相关积分就容易多了.下面给出被积函数是一阶导数和二阶导数的不定积分公式.

有时候也会遇到被积函数是高阶导数的不定积分，求解方法同上.下面给出例题加深理解.

幂指函数既不是幂函数也不是指数函数，它是幂底数和幂指数都是变量的函数，正因为这个特点，在求其极限、导数和不定积分的时候才稍显复杂.本文受2020年全国大学生数学竞赛一道幂指函数试题的启发，对相关内容进行了拓展和应用.幂指函数主要贯穿在解题中的某一环节，搞清楚它在各题型中需要的解题方法至关重要.本文结合几道竞赛题目给出了更直观的结论，以方便大家理解和应用，也可融入今后的高数教学中.

[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3]雷冬霞，黄永忠，吴洁.一道全国大学生数学竞赛题的探讨[J].大学数学，2018，34（1）：118-122.

[4]唐硕，时军，陈晓彦.一道数学竞赛题的探讨与引申[J].大学数学，2017，33（4）：60-65.

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