第二类曲线积分直接法的问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-02 09:40 标签： 第一类曲线积分法

第一类曲线积分，概念与性质，计算法。 第二类曲线积分，概念与性质，计算法。 两类曲线积分之间的联系。 格林公式。 平面上曲线积分与路径无关。 平面曲线积分的基本定理。 二元函数的全微分求积。 . 分段光滑的空间有向闭曲线的第二类曲线积分，斯托克斯公式，此贴不讲，会另外开贴子单独讲。

声明：本文为原创文章，首发于微信公众号“湖心亭记”

篇文章还是为了回答一个学生问的问题。就是曲线积分公式那么复杂，情况多种，怎么去记住他们呢？今天我就来好好讲一下这个问题。相信一直记不住曲线积分计算公式得同学看了一定会有惊喜收获的。好了，废话不多说，老师就把自己的干活无私分享给有需要的同学吧。用心做数学教育，我一直在坚持。

首先我把教材上的曲线积分公式给原原本本的贴出来。大家看下情况还是挺多的。如下：

1、对弧长的曲线积分（第一类）

2、对坐标的曲线积分（第二类）

好了，只是贴个公式，就占用了那么多篇幅，看来计算公式真的够冗长的。其实大家仔细观察上面的公式，无论第一型曲线积分还是第二型曲线积分，都只需要记住第三种情况就行了，因为前两种都是第三种的特殊形式。那么这就是今天我要介绍的简单方法？？哈哈，当然不是，我要介绍的比这个还简单。

好了，不说废话。直接上干货。

一、第一类曲线积分的计算记忆方法

关于这个式子是怎么推导出来的，限于篇幅就不讲了，基础差的直接看课本就能找到推导过程。

那么记住这个公式后，题目中的积分曲线是什么形式，我们就直接代入这个公式就行了，然后将积分变量的上下限写上去就可以了。代入的时候需要注意d表示的是求微分的运算就可以了，比如d(2x)=2dx。

（1）曲线y=x+1上在（0,1）到（1,2）之间的一段弧

（2）曲线x=2y-1上在（-1,0）到（1,2）之间的一段弧

大家看，根本不用死记硬背那三种情况的计算公式，直接代入是不是很方便呢？！

二、第二类曲线积分的计算记忆方法

第二类曲线积分计算的更简单，我告诉大家，根本不用去记忆上面的公式。怎么计算呢？四个字：直接代入。

也就是说，只需要将曲线方程直接代入积分表达式，是谁，就把积分积分表达式里的这个变量全部替换即可。但是要注意最后是起点为积分上限，终点为积分下限。下面举例说明。

，包括dy中的y（但要注意这个时候要求微分）。最后再确定好积分上下限积分。如下：

，包括dx中的x（但要注意这个时候要求微分）。最后再确定好积分上下限即可。如下：

好了，这篇文章看似篇幅这么长，其实就说了两个基本的问题。总结下：

第一类曲线积分计算方法：

（2）直接代入曲线方程。该求微分求微分，该确定积分上下限就确定积分上下限即可。

第二类曲线积分计算方法：

（1）直接代入曲线方程

（2）确定积分上下限直接计算即可。

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