斯特林公式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-28 02:35 标签： 运用斯特林公式求极限

正态分布的推导斯特林(Stirling)公式的推导斯特林(Stirling)公式:这个公式的推导过程大致来说是先设一个套,再兜个圈把结果套进来,同时把公式算出来。Stirling太强了。1,Wallis公式证明过程很简单,分部积分就能够了。由x的取值可得如下结论:即化简得当k无限大时,取极限可知中间式子为1。因此第一部分到此结束,k!被引入一个等式之中。2,Stirling公式的求解继续兜圈。关于lnX的图像的面积,能够有三种求法,分别是积分,内接梯形分隔,外切梯形分隔。分别是:显然,代入第一部分最后公式得(注:上式中第一个beta为平方)因此得公式:正态分布推导在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导,才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时,随机变量就服从正态分布,至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前,我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。可是上了大学之后,发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详,而且很多定义没有任何说明的就出来了,就像一致连续,一致收敛之类的,显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横,让我对数学极其反感,足足有四年之久。只到前些日子,在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章,才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》,才知道原来每一个定义,和每一个定理都有它的价值和意义。前几天在网上遇到老文,小小的探讨了一下这个问题,顺便问起她斯特林公式的证明过程。她说碰巧最近很是在研究这个公式,就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章:斯特林(Stirling)公式的推导如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的,请阅读之。原来是想和老文一块发的,怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日,方才有这篇小文字。本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》,本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分,后半部分以及其与伯努利大数

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1、韩山师范学院学生毕业论文（2012届）题目（室艾）斯特林公式及其精细化形式（英文）Stirlingformulaanditsexactform班级:诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程,并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确,并求出它的误差范围

4、斯特林公式(6)2 .用计算机求斯特林公式的精细化形式(7)2.1 猜想斯特林公式的改良式(7)2.2 构造改良式函数 f(n)(8)2.3 用线性回归求 f(n)(11)2.4 改良式的简单形式(12)3 .改良式的相关证明(12)3.1 n!的相关定理和推论(12)3.2 证明改良式比斯特林公式更好(13)3.3 求改良式的误差及相对误差范围(14)4 .结束语(16)参考文献(17)致谢(18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。DeMoivre 最先得到斯特林公式(1718 年)； 接着 JamesStirling 在 1730

5、 年又重新得到它。 后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式， 但他们没有证明它比斯特林公式更精确， 也没有求出它的误差范围。本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。1 .斯特林公式的探求过程过都是在知道斯特林公式后，给出证明相应的方法，虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。有些令人有“美中不足”的感觉。本文我们就试着来补上这个缺憾，展示一种

6、推测式的猜想过程。这只是其中的一种猜想过程，因为登一座山可以有各种不同的路径，路径越多越美妙(用函数的观点来探求)。n一n一，n,1.1 用n和对 2 对 n!进行估计首先观察 n!=n(n?1)(n?2)321,令函数 f(n)n!(nN),我们知道这是一个增长很快的函数。在高中时，我们学过一个增长很快的指数函数xn!nxf(x)2，但是lim9，故2低估了 n!,在这里我们把指数函数f(x)2变n2形为f(x)ax(a 为一个确定的正整数)，但是无论 a 取哪一个确定整数，我们可以n!得到lim/nax_x于是继续追寻，如果将f(x)a变形为f(x)x斯特林公式:n!1,目前有许多文章论述

7、斯特林公式的证明，不(x0) ,显然这个函数的增长会更快。由于f(n)nnn(n 个 n 相乘)，显然jm不过也不错， 因为我们找到了一个比 n!更大的估计式 nn,但是因为 nn要远远比 n!大很多，当 n 趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。n那么我们如何找一个比n更小的数?现在将函数f(x)xx变形为f(x)xx-,即f(n)n(n 个n相乘)，显然个比nn更小的估计式。令ann!n(1)n!如果limnn2nn,那么-就是我们所要的估计公式。,一.、1由算术平均大于等于几何平均定理知事实上可以用数学归纳法证明：考虑(1)式中的数列 an， 我们的目标是探求极限“man。现在就来计算

公式，可得n变形为时,n!J2nnnen。limn么在计算 n!时,斯特林公式的 e 就要用精确值去代入呢？为何不配合 n 值去作一些修正呢？也许用一个由 e 的渐近相等值 E,就能提高斯特林公式的精度。猜想斯特林公式的改良式：n!EnnnJ2n如果这个假设可行,E 值如

12、何求得呢？22.2 构造改良式函数 f(n)由(8)式，可得1n1c(132而n，利用(6)式知(1Cn1ei1n2一)e,可得nCn1,即数列Cn是递减正项数列Cn1由此可知limgL存在，且0Ln将limCnL代入（7）式，可得nL2匚5，从而LV2,即|jmn!inn2nne2,用计算机求斯特林公式的精细化形式虽然我们已经得到了斯特林公式度不够高，于是寻找其改良式。2.1 猜想斯特林公式的改良式2，但是除非 n 足句大，否则在实际运用方面，其精确泰勒公式展开：e112!从上面可以看出:e 和 n!之间有113!n!定的关系。在计算 e 时要使用到足够大的 n,为什10(n0.5)logn

的次方）相等，数值见图 2。3）因为 n 趋近于无限大时，E 值与 e 相等，所以（e 的次方）此次方必定趋近于 1。2.4 （e 的次方）的函数必定可以（1 减掉（n 的函数）的倒数）来表示之。因为随着 n 的增大，

14、就可以满足前面的条件。5）用 f（n）表示（e 的次方）的函数，则1、Eexp（1）（12）f（n）一、1f（n）（13）1InE（13）利用图 2 与（13）式，可得到 f（n）值，如图 3。借助数值回归的方法，求 f（n）。图 1n!之精确值图图 2 精确 E 值与 lnE 值图图 3f（n）值图2.5 用线性回归求 f（n）21）以 n 的一次式线性回归，得f（n）-7.n（14）2相关系数Ra93.15%,由于相关系数不够接近 1,不理想。2）以 n 的二次式线性回归，得f（n）0.3945551

.改良式的相关证明现在已经得到了斯特林公式的改良式,呢？它的误差范围和相对误差范围是多少?3.1n!的相关定理和推论在定理 2 中取 k=3 得到在定理 2 中取 k=2 得到由（20）式和（21）式可得到推论 1。”.3推论 1 当n1时，3.2 证明改良式比斯特林公式更好由 （18）

16、式，可化简为由不等式的基本性质可证明得到：-1、exp(1-)f(n)1、评(1-0?)(17)n!(exo(1但它是否比斯特林公式和其它改良式更好,_3、定理

17、（1nn、2n1n比斯特林公式更好。2）n0.412n23.3 求改良式的误差及相对误差范围由（23）式可知，令当 x2

q,则一，一，11、，7047、一力因此斯特林公式的改良式的误差小于exp（3）（5）,相对误差12n360n从以上证明结果，我们可以知道:nn2nn!(28)小于的值，就能将相对误差降到百万分之一以下;4 .结束语1)(exp(117)n0.412n2”作为n!的估计式，它比估计式rnexp(12n360n3720n15)和

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