最简单的说，指数函数按恒定速率翻倍。例如细菌培养时细菌总数（近似的）每三个小时翻倍，和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数。特别是复利，事实上就是它导致了雅各布·伯努利在1683年介入了现在叫做 e 的数：

后来约翰·伯努利在1697年研究了指数函数的微积分。

设 1 份借贷有 x 利率，逐月复利话，则每月增加当前值的 x/12 倍，每月总值都要乘以 (1+x/12)，一年的总值为 (1+x/12)，逐日复利的话，就是 (1+x/365)。设年中时段数可为无限，则有如下最初由欧拉提出的指数函数定义：

指数函数有基本的指数恒等式，

这是它写为 e 的原因。

在雅各布·伯努利之前，约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，直到1742年William Jones才发表了现在的幂指数概念。按后世的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数 (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。

指数函数e可以用各种等价的方式定义。特别是它可以定义为幂级数：

在这些定义中，n!表示n的阶乘，而x可以是任何实数、复数、和巴拿赫代数的元素。

可证明当 n 趋于无穷大时上述二定义等价。这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明，参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。

可得出它有幂运算的“指数定律”：

它们对所有实数x与y都是有效的。

因为在指数函数的定义中 x 是实数，可以使用自然对数，把更一般的指数函数，即正实数的实数幂函数定义为

定义于所有的b > 0，和所有的实数x。它叫做“底数为b的指数函数”。从而拓展了通过方根和方根运算定义的正有理数有理数幂函数：

而方根运算可通过自然对数和指数函数来表示

介入数e的根本动机，特别是在微积分中，是通过指数函数和对数来进行导数和积分运算。 一般指数函数 y = b 有极限形式的导数:

最右端的极限无关于变量 x：它依赖于底数 b 而是常量。根据求导的链式法则：

当这个底数是e时，这个常量等于1，因此有:

指数函数在数学和科学中的重要性主要源于它的导数的性质。特别是

就是说，e是它自己的导数。这可以用泰勒级数证明：

对于常数K的形如Ke的函数是唯一有这个性质的函数（这得出自皮卡-林德洛夫定理）。其他等价说法有：

函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。

函数在x的增长速率等于在这个函数在x上的值。

exp是泛函导数的不动点。

事实上，很多不同的方程引发指数函数，包括薛定谔方程和拉普拉斯方程和简单谐波运动的方程。

对于有其他底数的指数函数：

所以任何指数函数都是它自己导数的常数倍。

如果一个变量的增长或衰减速率是与它的大小成比例的，比如在无限制情况下的人口增长、复利和放射性衰变，则这个变量可以写为常数倍的时间的指数函数。

进一步的，对任何可微函数f(x)，我们可以通过链式法则找到：

通过欧拉连分数公式得到e的连分数：

e的广义连分数收敛更快速:

如同在实数情况下，在复平面的指数函数可以用多种等价方式定义。比如幂级数形式的:

这里的a和b是实数值。参见欧拉公式，这个公式把指数函数和三角函数与双曲函数联系起来了。

在考虑定义在复平面上的函数的时候，指数函数拥有重要的性质

它是周期的全纯函数。我们看到除了多项式的所有初等函数都以某种方式起源于指数函数。

扩展自然对数到复平面上的多值函数ln(z)，我们可以接着定义更一般性的指数函数：

对于所有复数z和w，这也是多值函数，即使是在z为实数的情况下。前面关于正实数情况下的指数乘积规则在多值函数情况下必须改为:

指数函数把在复平面上任何直线映射到在复平面中以原点为中心的对数螺线。要注意两个特殊情况：当最初的线平行于实轴的时候，结果的螺线永不遮盖（close in on）自身；当最初的线平行于虚轴的时候，结果的螺线是某个半径的圆。

在复平面上指数函数（主支）

上面给出的指数函数的定义可以用于所有巴拿赫代数，特别是对于方块矩阵（在这种情况函数叫做矩阵指数）。在这种情况下我们有

在非交换巴拿赫代数的上下文中，比如矩阵代数或在巴拿赫空间或希尔伯特空间上的算子，指数函数经常被认做实数参数的函数：

这里的A是这个代数的固定元素而t是任何实数。这个函数有重要的性质

从李代数到李群的“指数映射”有着上述性质。事实上因为R是带有乘法的所有正实数的李群的李代数，实数参数的常规指数函数是李代数下的特殊情况。类似的，因为所有方块实数矩阵的李代数M (n, R)属于所有正可逆方块矩阵的李群，方块矩阵的指数函数是李代数指数映射的特殊情况。

古德温 - 斯塔顿积分

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本书最大优点如序言“因为教条主义会掩盖动机和目的…实际上，我们可以由最基本的事实出发，不必拐弯抹角而直达一个可以综览近代数学的实质和动力的有利位置”，主要内容是数论、集合、极限和微积分，集合和拓扑等简单提及，（没有线代和概率论），证明例子简单又扎实，高中数学基础无压力；从最直观的先验概念出发，下一节的内容是读完上一节自然而然想知道的；数系的拓展、公理体系和极限部分体现了贯穿全书的公理化思想——抛弃形而上学对“自在之物”的追求，关注可观测，用对象之间的关系来构建概念；证明例题量大，需要精力比同字数社科教材多，跟着章节安排一路证明下来，感觉知识体系更顺更全面了。

整书是搭建式的，起码在任一章的内部，前面的小节是后面小节的逻辑基础，难点在于前一节聚焦注意力在其上的概念公理，下一节就被要求成为可以熟练使用的工具，不该在上面分神——有高一层的问题需要集中注意力。运用新知识的生涩在这种层层搭建中会累加起来直至超过个体智力极限大脑一片空白，只能从头捋一遍，直到基础概念被把玩的足够熟练，而快速多刷几遍也是有效率的办法。

第一节整数的计算和在不同进制下整数的表示和计算。

第二节用数学归纳法体现数系的无限性，并用等差数列，等比数列前n项平方和公式的证明来体现数学归纳法。引入一个重要的不等式，二项式定理和帕斯卡三角形。以及最小自然数原理。

第一节素数，用素数在自然数中是无穷多的证明来演出反证法。介绍每一个比一大的整数N只能有一种方式分解成素数的乘积.如果一个素数是乘积ab的因子，则必然或者是a的因子，或者是b的因子。目前没能发现产生所有素数的代数表达式，甚至没能发现只产生素数的表达式。等差数列中有无穷多个素数的证明。

转而研究素数在自然数中平均分布的信息，发现素数分布的平均状态能用对数函数来描述。这就是素数定理。

哥德巴赫猜想是指任意偶数都能表现为两个素数之和。目前进展是每一个正整数能表示成不超过30万个素数之和。

另一个猜想是存在无穷多个差为二的素数对。

同余指两数被某数除余数相同，记为模某数同余。对于相同的模同余式可以加减乘。这样在被模除后的性质上，一些数可以被视为相同。表现为圆上的固定点(区别于用线段上的点表示整数。)通过运用同余式乘法，可以把十的n次方替换为它的某模同余，从而快速判断十进制数能否被模整除。另外，仅当a和零同余或b和零同余时axb才与零同余。仅当模为质数时成立.

费马定理：如果p是任意一个不能整除整数a的素数，则a^p-1 ≡ 1(mod p),也就是a的（p-1）次幂被p除后余1

先从度量工具的角度，由自然数引出分数，即有理数。随后从数学“推广的原则”，指出数系从自然数扩展到负数、分数（有理数）是为了保证减法和除法无限制进行的数学内部的需要，所创造和规定的（而非证明的），另外将有理数数范围内无限制有理运算而不超出有理范围，作为一个例子引出“域”的概念。最后介绍有理数的几何解释，将有理数与数轴上的有理点对应起来，指出“有理点在直线上是稠密的”，为后续无理数和极限概念铺路

第二节不可公度线段、无理数和极限概念

还是从度量角度，相对于有理数（可公度的）指出有些数（长度）是不可公度的，对应无理数。即有理点全体虽然处处稠密，但不能覆盖整个数轴，引入无理数的必要性。

为了以统一形式表示有理数和无理数，采用十进制小说的形式，用子区间的端点（有限小数）或包括在一串十进制区间的区间套（无限小数）来覆盖表示实数。

（没有无穷这个量，只有趋于无穷这个过程）

有理数为两数相除，表示为小数如果是无限小数必然是无限循环小说（同余），反过来说，无限循环小数都是有理数，因为都可转化为循环部分乘以10的负n次方无穷等比数级的形式，进而化成分数

无理数是无限小数中不是有理数的那部分，所以数的连续统或实数系是全体无限小数（有限小数视为后面都是0的无限），有理数是循环小数，无理数是非循环小数，如果抛弃对特定进制基底的依赖，更一般的定义是：对于每一个以有理数为端点的一系列趋于零的区间套，在数轴上恰有一个点包含在所有这些区间中，根据定义这个点叫实数。如果不是有理点就是无理数。

无理点的这个定义不需要无理点“是什么”这种“实在”作为支撑，接受这个定义（几何公理）是因为直观上合理，并且在构造一个相容的数学思想体系中是有用的。数学对象不必须是实在之物，而是谨慎研究其性质的自在之物，数学对象之所以存在，在于它们的数学性质和它们之间的相互关系，这些性质和关系完全给出这个对象进入数学活动的领域的各个可能的方面，这是从性质和关系角度定义数学对象的本质，和人类认知和信息筛选的本质也是相通的。

从物理角度看，区间套定义无理数相当于用一系列越来越准确的测量来决定某个可观测的量的值，无理数的引进完善了数的连续统，正是极限概念的基础，在第六章细说。

定义无理数的另一个方法是戴特金分割，用把全体有理数集分成2部分的3种情况中的一种，可以定义无理数

数的连续统使得每一个几何对象和每一个几何运算都能纳入数的领域（坐标），然后简单介绍了圆、椭圆和双曲线的方程

第四节无限的数学分析（集合论）

两个集合等势：两集合元素一一对应。数东西就是在对象和一组数字间建立一一对应。将等势推广到无限集，可以定义无限的算术。另外无限集可以和同为无限集的真子集等势。

在考察有理数集时，稠密的有理数和疏散的整数是等势的，因为虽然有理数不能按大小排列，但可以用分数的形式体现有理数的可列性，进而和整数一一对应，所以全体有理数是可数的。

进一步的，实数集是不可数的，是更高级的无限集。先是康托的反证法：列出全体实数小数形式的排列，总能找到排列之外的数。而有限长度线段对应的实数也是不可数的，因为有限长度线段可以投影到整个直线上。另一种反证法是，把一段线段上实数点用等比级数长度的区间盖住，如果实数可数，等比级数的和将小于这段线段长度。（这种证法说明直线上的可数点级总能包含在总长为e/9长度的一系列区间中，是测度理论中的重要定理，也就是可数点集有零测度）。

总的来说，有限和无限是对数集的一种划分，是否可数将无限分为整数的可数无限性和连续统的不可数无限性，当两个集等势，他们有相同的基数，而连续统比整数集有更大的基数。另对于任意给定集A，可以构造另一个具有更大基数的集B。更有意思的是，提升维度，点集的基数并不增加。维度的升高种包含着空间分布方式的改变。

反证法的反面是构造性证明

滥用集合概念会引发悖论

连续统假设（未被证明）：没有一个集合，他的基数大于整数集的基数并小于实数集的基数。形式主义说，数学的“存在”就是没有矛盾。但理想化的公理推导出相容的一切数学规律的情况也许不能实现（哥德尔）

实数基础上的进一步推广，一个形如a + bi的符号，其中a 和 b是任意两个实数，称为带有实部a和虚部b的复数，除了i^2用-1代替，i在计算中按照实数处理，计算后仍然得到形如 a + bi的数，从而形成一个域。使每个二次方程都有解。

复数的集合解释是z=x +yi,对应数平面的点，可以视作实数的升维，自然复数集和实数集是等势的。有共轭、模和辐角，复数乘法可以视为辐角相加。

复数域中，1恰有n个不同的n次方根，它们可以用单位圆的一个内接正n边形的定点来表示，

每一个带有实或复系数的任意n次代数方程在复数域中有解，这些解的集合是代数数，代数数是可数的，而实数不可数，代数数以外的那些实数叫超越数（超越了代数方法的能力之外），π和e是超越数。柳维尔对超越数的构造性证明

子集和小于等于的关系比较，前者确定了集合的一个半序关系，后者确定数之间的一个全序关系。

空集是任意集合的子集，因为子集的定义是“没有不属于”

交集和并集的运算对应乘法和加法，集合的运算比数更为简略。集合代数共有26个规律（基本等式），规律具有对偶性质，也就是 左右包含于、全集和空集、交集和并集处处交换，结果仍是26个规律中的一个。

第二节数理逻辑中的应用

与集合（或等价地说，与对象的性质或属性）有关的那部分逻辑可以归结为基于上述26个规律的一个形式代数系统。

布尔代数（为了纪念布尔），是指满足上面图片中规律27的一般代数系统。

概率是集合除以全集，进而应用集合代数。

第三章几何作图、数域的代数

第一部分不可能性的证明和代数（前三节）

几何作图可以实现 加减乘除开根号，进而实现代数化。可作图的数都是代数数。证明不可能性

第二部分作图的各种方法

几何变换比如平面到其自身的映射，

a)过O的一条直线变为过O的一条直线

b)不过O的一条直线变为过O的一个圆

c)过O的一个圆变为不过O的一条直线

d)不过O的一个圆变为过O的一个圆

反演点的几何作图：一给定点P对圆C的反演点P'在几何上只用圆规即可以做出（分为圆外圆内两种情况）

第五节用其他工具作图、只用圆规的马歇罗尼作图

倍立方体的作图工具；马歇罗尼证明所有用圆规和直尺可以实现的几何作图，只用圆规也都能作出。圆规与直尺的作图由一连串

1、给定圆心和半径，画一圆

3、求一条直线和一个圆的交点

都可以证明只用圆规就能作出，证明用到了反演。

另外在直尺的数域下，给出一个圆和圆心，凡是能用尺规作图的，都可以只用直尺来作。

旋轮线和圆内旋轮线（内摆线）、圆外旋轮线（外摆线）

连杆、波西里叶和哈特的反演器——反演器将旋转运动和直线运动互相转化。

第六节再谈反演及其应用

角的不变性 圆族：两条直线或曲线的夹角在反演下是不变的，方向相反。使得和圆的正交圆反演成和直线的正交圆，几个在原点相切的圆反演成平行线。

阿波罗尼斯问题上反演的应用

重复反射：两个外离圆的重复反射像成为两点，互为外离点。

第四章 射影几何、公理体系、非欧几里得几何

第一节 几何性质分类、变化下的不变性

射影变换群（类）。射影变换由中心投影和平行投影组成，射影几何就是所研究的几何命题对所涉及的图形进行任意的射影变换都不影响这些命题，相反那些关于图形度量性质的命题，只在刚性运动类下不变，称为度量几何。

点和直线的关联在射影群下是不变的。

*一些变换能构成群（类）：连续应用某一变换类中的两个变换相当于该类中的一个变换，而且该类中每一个变换的逆变换仍属于该类。

笛沙格定理：两个三角形对应顶点连线共点则对应边延长线交点共线，分别在二维和三维可证。

四个点交比在射影下是不变的。表示为（ABCD） ，次序是交比定义中不可缺少的部分， 等于-1时，C和D调和分割线段AB，C、D 关于A,B对是调和共轭的。

四条共面共点直线的交比，进而定义四个共轴平面的交比。只要有交比性质的一一对应，就属于影射对应。哪怕是不同中心对应的两个结果。

在完全四边形上的应用：一条对角线与其他两条对角线的交点，调和地分开这条对角线的顶点。

第四节 平行性和无穷远

将平行视为无穷远的相交，再次运用“实在不重要，与其他对象的关系可以完全描述一个对象”。

于是每条直线上除了普通点以外再加上一个“理想点”，这个点属于与给定直线平行的所有直线而不属于其他直线。这样每一对直线都相交于一点，如果不平行相交于普通点，如果平行相交于二直线共有的理想点。理想点称为无穷远点。为了保持规律“过任意两点有且只有一条直线”每条直线仅有一个理想点。此外，选取两个理想点，通过他们的必然不是普通直线（只有一个理想点），不能包含其他普通点（普通点和理想点决定普通直线），必须包含所有理想点（否则与不包含的理想点所在直线就必须交于普通点，矛盾），这就要求有一条包含平面上所有理想点而不包括其他点的理想直线。无穷远点只是表达平行的一种方式，唯一目的就是不必列举特殊情况。

就像数域的扩大一样，无穷远点扩大了点的范围。

这样一个平面到另一个平面的射影在两个平面的点和直线之间确立了一个一一对应，没有例外（解决了与一个平面平行射影的情况）

三维中，还可以引入无穷远平面

在交比性质中，中点和无穷远点在这段线段的方向上调和地分割这线段。

中心投影和平行投影也不用区别了。

通过射影变换为F的全体图形称为F的“射影类”，任意一个对F成立的射影定理，对F的射影类中的任一图形也成立，证明F的这种定理，只需对F的射影类中的任一图形来证明就够了。

平面上笛沙格定理的证明：明确了一个平面上无穷远点有无数个，无穷远直线只有一条，

以及随后的帕斯卡定理、布利安桑定理都应用了射影类中射影定理的普遍适用。

第九节公理体系和非欧几何。

公理体系。如果所有的事实都能从一些选择好的命题出发来证明。这些命题就是公社或公里。公理推导出来的定理，不矛盾就是相容的。每一个定理都能推出来，这些功力就是完备的。最好这些公里是独立的。如果像康德一样，把数学对象视为纯粹直觉领域实在的对象，那在相容上就不存在问题，但是不完备。如果像形式主义者那样关心由公里到定理的逻辑程序，那么就在证明相容性上存在困难。公理体系的形式结构易于推广，应用公理化也是理想的形式。但是重要的发现都是来自于数学家的构造性直觉。反而是非演绎非理性的，可以同音乐和艺术相比拟。

在现实中任何一组公理中必然有某些不加定义的概念。在数学上并不是实质的。对偶公里就是一个例子。因为原来定理证明是某些公里的连续应用。同样的证明就是同样次序的应用公里。把公里换为对偶公里同样达到证明的结果。

点和直线的不加定义。隐含着与物理事实的联系。否则几何意义不大

第一节多面体的欧拉公式

简单多面体的顶点减棱加面等于2

类比初等几何与射影几何的关系，拓扑变换后（一对一对应；对应双方连续）仍保留的性质。

连通性（单连通，n重连通）

第三节拓扑定理的其他例子

若当曲线定理、四色问题、维的概念（康托点集）、不动点定理、纽结

曲面的亏格、曲面的欧拉示性数、单侧曲面、

弧度制、反函数连续性之类

极限的epsilon -N定义。单调序列原理：有上界单调增加序列收敛于一个界限。欧拉数e（e的无穷级数）。π的无穷乘积。以及他们的连分数展式

极限的epsilon-delta定义 delta是epsilon在定义域侧的代表。函数定义域趋近和值域趋近。

极限概念评述：是静态的定义，不涉及“连续趋近”，也就是说，放弃了直观认为是真实的东西，但是对表达这些概念的内容提供了一个合适的数学结构。

sinx/x的极限趋近于1（x趋近于0时）

第四节连续性的精确定义

连续性的epsilon-delta定义。顺带再次强调，一个概念是否有用或一个现象是否在科学上存在，其标准要看能否观测它（至少在原理上），或能否转化为可观测的事实。

第五节有关连续函数的两个基本定理

布尔查诺定理，有正负值必有0值；和维尔斯特拉斯极值定理：连续函数闭区间上必有最大和最小值

紧致集：闭区间的推广，通过构造有极限的无穷子序列的能力来定义。

布尔查诺定理在几何和力学上的应用（后者有错误见第九章）

面积引入积分和积分的运算法则。指出无穷小量不能解释微积分问题，极限才是微积分的基础，但在第九章，超实数的视角下，无穷小量也能解释的很好。

切线引入导数，切线是割线的极限，求导数的极限过程叫做对f(x)微分。三角函数。函数的可微性蕴含着函数的连续性。二阶导数。极大与极小。

微分的计算（求导计算法则）

第四节莱布尼茨的记号和“无穷小”

表示π的莱布尼茨公式——莱布尼茨交错级数。

第六节指数函数与对数函数

由上一节求原函数的公式的分母限制，引入1/x的原函数lnx，根据其单调性得出lnx = 1必然存在，x为e

指数函数对数函数反函数

以“自然指数函数与它的导数恒等”为基础，引出指数函数性质

e、指数和对数函数的极限表示法

对数的无穷级数展开式、数值计算

以未知函数及其导数为未知数的方程（可能有自变量x），解微分方程是积分问题的一个广义推广——都是求原函数

实例：指数函数微分方程与放射性元素蜕变 增长率和复利——变化率与该时刻函数值成比例，也就是符合指数函数导数等于自身倍数的特点。

例题：简谐运动、牛顿动力学定律

可微性，积分与功和弧长。

指数函数和x的幂，前者数量级更高，差的倒数极限为0，lnn的数量级更低。

ln（n！）数量级和nlnn相同

第三节无穷级数和无穷乘积

无穷级数展开的例子，以及一般化——泰勒级数（多阶导数作为无穷级数展开系数）

欧拉公式引出无穷级数展开后的收敛现象，完善的解释需要引入复变函数理论

调和级数和zeta函数正弦的欧拉乘积：

第十二节非标准分析——超实数系下无穷小量作为基础的微积分