余弦函数与正弦函数的泰勒级数展开式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-28 02:35 标签： 正弦函数变为余弦函数

从Lehmer的简单展开式(1985)出发,使用多节级数方法,得到了ln2的一类无穷级数展开式.同时也设计出了一般程序,利用数学软件Mathematica可系列产生这种类型的ln2展开式.这为数学常数ln2的快速计算奠定了基础.

通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：

问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数

问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？

下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成

这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：

………………………………………………

………………………………………………

在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：

把这些所求的系数代入得：

该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.

上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

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