这个问题也太大了吧，苏轼有首诗《题西林壁》，说的就是认识事物需要从不同方面去把握它，否则容易形成片面看法。因此，这个问题要圆满回答，恐怕相当于很多篇小论文的内容量才行。

下面从其近似思想方面来浅谈一下自己的理解：帕德近似其实是有理逼近，它是用代数多项式分别作为分子分母（分母不为零）来逼近别的函数。

为何这么做呢？我们知道，虽然泰勒级数取有限项能作为数值逼近的一个很好的近似方式，但是对于某些函数泰勒展开式，去收敛速度比较慢，需要很多项的计算才能达到预定精度。人们就开始寻找可以使用更少的项数的逼近方法。

其中一种尝试就是使用所谓的切比雪夫（Chebyshev）级数（用切比雪夫多项式为基展开）。虽然大多数情况下，切比雪夫级数比泰勒级数要好（可以使用更少的项达到同样或更高计算精度），但由于要先计算储存切比雪夫多项式（n越大，切比雪夫多项式项数也越多），而某些特殊函数的的切比雪夫级数也会有较多的项，所以也让人们开始寻找弥补的方法。

函数逼近问题大多用于数值计算方面，都是使用计算机编程运算，而计算机对于无理运算（乘方开方指数三角对数之类）耗时比有理运算（乘除）要慢得多（这是从非常小时间尺度来说的，人几乎感觉不到），因此这就导致人们尝试思考能否用分式来逼近。正好连分数理论给予计算和精度方面的部分理论支持，让人们看到了有理分式逼近的优秀表现，于是越来越多开始研究有理逼近的了。

怎么理解它的本质呢？事实上，分式的分子分母都是多项式时，相当于一个无穷级数（比如最简单的 1/(1-x)=1+x+x^2+\cdots ）。这就等于把无穷项收敛比较慢的级数转化为有限项多项式除法运算了，这就是它为何能用于逼近的原因之一。

帕德近似（Padé approximant）是有理函数逼近的一种方法，1890 年由法国数学家 Henri Padé 提出，其最早可追溯到 Frobenius 提出级数的有理多项式逼近的思想。当泰勒级数不收敛时，帕德近似往往仍可行。其被广泛应用于在计算机数学和工程中，甚至作为一些高考导数大题的重要技巧之一 。本文简单讨论玻色/费米分布函数的帕德逼近 —— 这在 HEOM 主方程理论中的重要应用。本文内容主要参考了文献

中阶数高于 x^m 的项系数均为 0：

进而给出所有待定系数 q, p 。尽管 q,p 取值并不唯一，但两多项式的比值 P_M(x)/Q_N (x)

2.2 玻色/费米分布函数的帕德逼近

在量子统计中，玻色/费米分布是两种最重要的分布函数。以 + 表示费米， - 表示玻色，则分布函数记作

它们的 Taylor 级数可通过双曲正/余弦函数的级数表达式给出。注意到双曲正/余弦函数也可用特殊函数表示：

从而可建立通项公式，以连分数表示为：

式 (8) 事实上给出玻色/费米分布函数的级数展开，不过需要经过进一步的处理才能写成显式形式。例如玻色分布

而帕德近似所需要逼近的函数正是 \Phi^+(y),\ \Phi^-(y) 。式 (8) 中的求和是有无穷多项的，我们需要以有限项去逼近。常见的有 3 种分解策略：[N-1/N] 、 [N/N] 和 [N+1/N] 型分解。此处以前两种为例。

类似地，对于 [N/N] 型分解：

显然，上面所涉及多项式的根均为负数，它们的确定手续如下。注意到式 (11) 的连分式可以表示为如下矩阵元：

x_j 为纯虚数。由于上述三对角阵的对称性，进一步记

由于 D_M 的正定性，上面等式也就是确定方程

的所有的根。而这是一个本征值问题。所以，更简洁地，可令

综上所述，通过构造特定的实对称矩阵，并求解相应本征值问题，就能确定玻色/费米分布函数的帕德近似的 N 个奇点以及相应留数；然后根据涨落耗散定理，可给出指数衰减的热库关联函数形式。

的取值有关系。此处通过“精确区间”（accurary length）进行定量描述：当 x 落在精确区间内，帕德近似的误差满足

随 N 增大而增大，即项数越多，精度越好；低温模型一般需要较多的项数才能给出较好的拟合。

考虑一开放量子系统，系统-环境相互作用通过哈密顿量

上述热库参数给出热库关联函数大致为：

对于上述 Drude-Lorentz 模型的谱密度函数而言，热库时间关联函数的实部拟合与温度有较大关系。由涨落耗散定理可给出

\beta 表示相对就更小，意味着需要相对更多的项数 N 。比如上面的例子。

有趣的是，虚部拟合与温度无关，且用一个指数衰减函数就能精确拟合。这是因为

为奇函数。对于 Drude-Lorentz 模型，上述积分可由留数定理解析求出：

正是单指数衰减形式。这解释了对虚部的拟合总是精确的。事实上，时间关联函数的指数衰减就对应着谱的 Lorentz 线型——这容易通过 Fourier 变换来理解。也是出于这个原因，Debye 谱密度函数很适合 HEOM。对于其他类型谱密度函数，热库时间关联函数的 exponential decay basis 分解则更加困难一些，但目前也得到了较好的解决

2.5 在 HEOM 中的应用，以及收敛性测试

总而言之，帕德近似和 Matsubara 展开同属于 expanding over poles 的思路，以获得玻色/费米函数的奇点，进而带入涨落-耗散定理，给出热库时间关联函数的指数衰减函数求和形式。相比于收敛缓慢的 Matsubara 展开，帕德近似在数值上的效率大大提升，能通过更少数目的项来获得更好的关联函数逼近。这在 HEOM 数值实用性方面尤为可贵。然而其局限性也是显而易见的，expanding over poles 的策略强烈依赖于谱密度函数的具体形式，只有对应留数满足随着 N 增大而逐渐向 0 收敛才能使用。例如对于 Ohmic 形式的谱密度函数，expanding over poles 的策略就是失败的。对此，可采取 Yan Group 最新发展的 Prony fitting decomposition

基于帕德近似的热库时间关联函数的 HEOM 数值收敛性的更一般讨论可见文献 。总而言之，温度越高、截止频率越低，就越容易收敛。例如参考文献 报道，采取 [1/1] \hyphen \mathrm{PSD} 型谱分解得到由两个指数函数拟合的关联函数，测试电荷转移模型和双激子模型的动力学精度，结果发现增大截止频率和降低温度都将使得收敛性判据（control

本文总结了参考文献 [3]，[4] 报道的玻色/费米函数的帕德近似的正则形式下的推导。可以发现，正则形式推导较为复杂，但最终给出结果却非常简洁（式 17，18 对应的本征值问题）。这是否有物理意义呢，有没有更简单的推导方法？（笔者联想到玻色产生/湮灭算符的有限维形式），但这有待进一步考虑。另外，本文基本重复出了参考文献 [12] 报道的 spin-boson 模型的收敛性测试结果。最后特别感谢科大量子统计动力学研究组的王尧师兄、陈子昊师兄，和苏禹师弟，以及他们提供的 HEOM 代码。

1. 【导数问题】函数逼近的一些方法 

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认真学习之后，相信你对老师怎么出导数题，以及怎么解导数题，会有更清晰的理解。

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为了方便大家查阅，点击下方目录即可跳转至对应文章

第一章：今宵是奠逸的利己主义者一一函数零点问题

第二章 : 最澄徹的空与海—函数放缩问题

3.含参分段讨论单调性

4.含可去间断点的恒成立问题

5.恒成立问题综合分析（实用）

（2）端点效应（必要性探路）

第四章：深弹幕结界梦幻泡影—极值点偏移问题

第五章: 永远的三日天下一一函数数列问题

（1）非求和项直接作差法（实用）

（2）欧拉一麦克劳林公式

（3）保留放缩（实用）

第六章：无忤为宗一高考真题

附录：连分数与帕德逼近

内容比较多，大家可以挑选适合自己的学习，整理不易，希望这些东西能在你学习导数的路上祝你一臂之力。

接下来是正文，本文将会从7个方面来解析高考关于导数的出题。

一、导数概念、几何意义 二、导数的几何意义 三、利用导数研究函数单调性、求极值、最值、零点 四、考查导数的运算公式构造新函数 五、不等式恒成立求参数的取值范围 六、双变量的处理策略 七、不等式的证明

高考导数题的难点在于整张试卷的最后一道大题，通常是以第一问证明题比大小的形式命题；

第二问往往是第一问的引申，通过第一问证明出来的结论，来继续讨论第二问的问题。若是小问较多，则需要循序渐进，初步探讨。

证明题中函数比大小表面看似与导数没有关系，但是却紧密相连，因为面对这种问题，最常采用的办法就是将不等号两边的式子构造函数，然后分别找到各自函数在定义域中的最大最小值，二者相互比较，来判断等式是否成立。

有时候命题人还会通过其他方法来考察考生分析问题的能力，就是在有时候单纯的比较两函数最大最小值时无法证明等式，所以需要调整函数，改变等式左右两边函数，最常见的是通过移项，构造新的函数，再通过上述提到的方法进行证明。在复杂一些的情况便是不等式左右两边同时加减项，这也再证明，由于加减项具体内容难以判别，因此对于考生来说难度较大。

一、导数概念、几何意义

这类问题相对简单，大家只需要把书本内的导数概念熟记即可。

（4）把（x_{1},y_{1})代入切线方程求得切线。

根据切线斜率、切线方程、切点的关系列方程：

3.求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离

（1）设直线方程的一个平行线

（2）将该平行线与曲线连立方程组

（3）求得与曲线相切的直线

（4）求出新设的直线与所给直线之间的距离

4.利用切线放缩法证不等式

三、利用导数研究函数单调性、求极值、最值、零点

设函数 f(x) 在区间（a,b)内可导，

这边建议您判断完单调性的同时简略列一个函数图像，方便后面进一步计算。

理清这些基础知识，其实你就会发现导数与函数之间关系的微妙，导数命题时大致就是依据这些基础知识点而来的。

3、最大值和最小值（将极值与端点值进行比较）

4、零点：零点是导数取0时x的值

四、考查导数的运算公式构造新函数

导数的运算公式可以说是写好导数题的必备技能，如果没有办法记住这些公式，导数题根本无从下手，说什么都没用。

利用导数四则运算构造新函数：

在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助时，我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。

1、移项：对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0（因为导数与0的大小决定函数单调性）

（1）若不等式左边是只含有f‘(x)的式子，可以用和差函数求导法则构造

（2）若不等式左边含有f(x)和f’（x),并且中间量是+，可以用积函数求导法则构造

（3）若不等式左边含有f(x)和f’(x),并且中间量是-，可以用商函数求导法则构造

根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以 x 为主元的新函数。

五、不等式恒成立求参数的取值范围

要诀不等式恒成立求参数的取值范围这一类题型往往与构造新函数，求函数的最值联系在一起。

通过恒等变形把含有变量和参数的式子分别放在不等式的两边，转化为求不含参函数的最值问题，利用导数求改函数的最值，根据要求得所求范围。

构造新函数，利用导数研究函数的单调性，由于导数中含有参数，此时就要对参数的范围进行分类讨论。

例如对于任意x>=x0,f(x)>=0,求参数取值范围，如果验证区间端点值f(x0)=0,那么不等式f(x)>=0转化为f(x)>=f(x0),接下来我们可以先由f(x)单调递增，求得参数取值范围，再验证当参数不在这个范围时不等式不是恒成立就可以了。

上面我就说过判断完极值和单调性之后顺便画图为的就是这个。f(x)>=g(x)恒成立，我们只需要看图，当参数在什么范围内取值时对于任意x，函数f(x)的图像在g(x)图像的上方或者与之相切。

要诀：化多变量为单变量

所要证明的不等式中含有两个x1、x2,我们可以指定其中一个变量x1为主元，x2为常数，构造单变量函数

整体代换，通过换元，化双变量为单变量

整合结构，把结构相同化，构造新函数

要诀：不等式的证明实质上考查的还是利用导数研究函数的单调性或最值，以及不等式的放缩。

通过对不等式的同解变形，如移项，通分，取对数，把不等式转化为左右两边时相同结构的式子，根据相同结构构造新函数。

在构造函数的过程中，涉及lnx以及ex的项，应把lnx单独分离出来，ex与其他函数可以结合，这样便于判断导函数的符号。

（3）适当放缩后再构造

若所构造函数最值不易求解，可将所证明的不等式进行放缩，再重新构造新函数。

若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f(x)和g(x),利用其最值求解。

（5）换元后构造新函数

如果不等式比较复杂，并且涉及到多个变量，我们可以考虑整体换元，把不等式化简，再来证明换元后的不等式，运算就显得相对简单了。

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