求助：高阶导数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-25 05:31 标签： n阶导数公式大全

　　函数的导数仍是的函数，例如，其导数，对这个函数，我们再求导数，得到的就是所谓的的二阶导数．
　　(1)称为它的一阶导数；
　　(2)一阶导数的导数称为它的二阶导数，记为 　　即，，；
　　(3)二阶导数的导数称为它的三阶导数，记为 　　(4)三阶导数的导数称为它的四阶导数，记为 　　依次类推， 阶导数就是阶导数的导数，记为 　　二阶或二阶以上的导数称为高阶导数．

　　根据定义，求高阶导数就是从一阶导数开始逐阶求导．

　　由求导法则可直接推出高阶导数的求导法则．
　　定理：设，在点处具有n阶导数，为常数，则和也在点处有n阶导数，且


　　例3.4.1　设，求，，．


　　例3.4.2　设，求，．


　　(1)　设为4次多项式，
　　　　＝（　　　）．
　　(2)　设为次多项式，其多少阶导数为常数，多少阶导数一定为0？

　　可见，四次多项式的四阶导数为常数，高于四阶的导数为零．
　　(2)由(1)可知，次多项式的阶导数为常数，高于阶的导数为零．
　　(3)函数展开后是多项式，其最高次项为，这是一个15次多项式，所以


　　例3.4.3　设，求．
　　类似可求得的阶导数为．（见教材例7，由同学们自行练习）


　　例3.4.4　设 求证：．
　　证　（诱导公式：），


　　下面的结果，考生可以作为公式记忆．


　　2005年4月有一道选择题：设，则 (　　　)
　　A.-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.0
　　C.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2
　　2004年4月有一道选择题：设，则（　　　）
　　A.8！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.－9！
　　C.－8！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.9！


　　例 3.4.5　已知确定，求．
　　解　这是隐函数求二阶导数．
　　(1)　先求一阶导数．等式两边对求导得 　　解出，得．
　　(2)　求二阶导数．
　　方法1　等式两边对求导得
　　方法2　因为，所以

　　教材上的例10也是隐函数求二阶导数的题，留给同学们自己练习，不妨用两种方法都试试．
　　公式　设函数由参数方程所确定，则


　　例 3.4.6　求摆线方程 所确定函数的二阶导数．

希望在以后的学习中能熟练掌握高阶导数的计算方法，又快又准的拿到高阶导数计算的分数。

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摘 要：求函数的高阶导数常用的就是根据高阶导数的定义的逐阶求导法。本文介绍了除这种基本的求导方法以外，还有多种方法来求函数的高阶导数，以开拓学生的数学思维。

关键词：高阶导数;线性组合;莱布尼茨公式;泰勒级数

[1]朱双荣.经济数学[M].武汉：華中师范大学出版社，2007.

[2]韩新社.高等数学[M].中国科学技术大学出版社，2006.

[3]方晓华.高等数学（理工科用）[M].机械工业出版社，2005.

作者简介：朱双荣（1966— ），湖北武汉人，教授，从事高等数学的教学与研究。

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