初高中衔接是学生进入高一所要面对的重要问题。就数学而言，高中与初中的差异主要体现在：知识内容的剧增、思维方法的突变以及学习内容的断层。对于此，如果学生仍照搬初中的老一套学习模式，就很有可能出现脱节，导致失去了学习数学的主动权。而高中的学习不比初中，高中少有“暴发户”，没有前两年的坚固基础，仅靠最后一年的发奋，是难有突破的。

因此，笔者希望通过这篇文章，简单地归纳一些重要的初高中衔接知识点，并附上一些例题以加深印象，尽可能帮助同学们实现平稳过渡。同时，笔者是一位准高一生，知识水平难免有所不足，如有缺漏之处恳请各位读者指正！

因式分解在高中是计算能力的一个重要体现，而由于前几年初中新课标的颁布，考纲对因式分解的要求大幅降低.现阶段初中阶段分解因式的方法主要有：提公因式法、公式法和二次项系数为1的十字相乘法.在高中我们需要更加完整的因式分解基本方法，它们分别是：

1）提公因式法（不再深入）

2）公式法（继续深入）

3）十字相乘法（继续深入）

5）配方法（继续深入）

6）*待定系数法（简单了解）

对于公式法，我们主要关注要用到的乘法公式，它们分别是（注*号的公式可能在题目中要用到）

2.二次项系数不为1的十字相乘法

把它们以如下方式排列：

这样就把各项系数的范围推广了开来，包含了全体有理数和字母.特别地，为了方便进行十字相乘，在分解时我们通过提取负号等方法保证二次项系数大于0.

分组分解法是针对项数较多的多项式采取的一种分解方法，对学生的观察能力要求较高.当多项式项数多于3时，往往要采用分组分解法.一般地，分组分解法的最终目的是使被分的各组出现公因式或可配方，因而少有单独使用.

广义的配方法是指对一个数学式子进行定向变形的方法.常通过裂项、添项拆项等技巧完成配方，有时也被称为“配凑法”.配方法的应用极广，在这里简单介绍利用配方法添拆项分解因式.

待定系数法是极具技巧和变化的因式分解方法，在不同的适用范围下有着非常多的结论.在这里介绍最常用的一个结论：

将右式展开后比较对应系数就可以求出待定系数 e，f

简析：本题结果也可以通过两次十字相乘分解得出，但待定系数法可以大大简化思考的难度，书写方式也较固定，对于此类问题效果更优.

1.分母有理化和分子有理化

分母有理化和分子有理化的基本原理是利用分式的基本性质，分子分母同时乘有理化因式，从而脱去分母或分子中的根号.

分母有理化和分子有理化是解决分式化简问题的基础和利器，在含根号的题目中善用该技巧可以极大简化问题.

,n为自然数.该结论在数轴上表现为：原点右侧表示自然数的二次根式的点，越往右分布越稠密.(2)通过分子有理化可以将原式的减号变成加号，便于比较大小.

比例的知识最早在小学六年级出现，主要知识如下：

2）组成比例的四个式子，叫做比例的项.两端的两项称为比例的外项，即 A,D ；中间的两项称为比例的内项，即 B,C .
3）比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积.用 \frac{A}{B}=\frac{C}{D} 的形式表示比例时，该性质表现为等号两边交叉相乘的乘积相等.
4）对于两种相关联的量，若这两种量的比值一定，那么称这两种量为“成正比例的量”，它们的关系叫做正比例关系，简称成正比，即 \frac{y}{x}=k ；类似地，对于两种相关联的量，若这两种量的乘积一定，那么这两种量就叫做“成反比例的量”，它们的关系叫做反比例关系，简称成反比，即

在此基础上，我们要引入两个新的比例的性质：

即前项和与后项和之比等于其中任意一对前项和后项之比（后项和不等于0）.

依据等比性质，在一定的条件下，可将任意一个比拆分成多个相等的比，将多个相等的比合并成一个比.

我们对该函数进行适当的变形：

就能将原分子中的字母去掉，使原分式只有分母中含有字母，这种方法称为分离常数法.

通过结论（1）（2）可以对一些特殊的多重根式或被开方数含字母的根式化简.

三.多项式除以多项式的整式除法

对于例10，解法一和解法二分别是常规解法和待定系数法，由分解的结果可知：

这样的算式就是多项式除以多项式

在数的范围内，有数的除法：

类似地，将结论推广到式的范围内，有整式的除法：

在初中阶段，我们已经了解了单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则，现在，我们需要掌握多项式除以多项式的运算方法.

1）利用长除法（竖式除法），将被除式按降幂排列，不足的用0补齐，如图(1).

2）根据被除式最高次项系数，用商式试乘除式，使商式与除式乘积的最高次项与被除式的最高次项相等，用商式与除式的乘积上的对应部分减去乘积，所得结果加上下一次幂，如图（2）.

3）重复步骤2），直至所得结果不能再继续除为止，如图（3）

在推广了整式的除法后，整式的运算就完备地确立了下来.整式的除法还可以用来对一些比较特别的多项式因式分解.

各项次数相等的多项式称为齐次式，最常见的齐次式形式为： Ax^{2}+Bxy+Cy^{2} ,由于齐次式的结构特殊，所以在具体的题目中齐次式往往有着特殊的解法.

对于一个多项式，如果多项式中的字母按任意次序轮换后，原多项式不变，则称该多项式为轮换式.

2.自然数求和公式（注*号的可能一辈子都用不到）

方程和不等式是数学运算最基本的工具，我们在扩展方程与不等式类型的同时，也要注重训练解方程和不等式的熟练程度，培养计算能力.

1.韦达定理与韦达定理的逆定理

韦达定理的逆定理内容：

韦达定理的逆定理的推论：

二、分式方程与根式方程

1.分式方程的基本解法与验根

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程求解，方法主要有去分母法和换元法.

因为分式的分母不能等于0，所以解出的根需要代入最小公倍式或原分式方程的分母中，使最小公倍式或分母为0的根即为增根.

2.简单根式方程的基本解法与验根

解简单根式方程的基本思路是把无理化为有理，方法主要有两边平方法和换元法.

根号下的被开方数具有非负性，当两边平方后，方程某一边的非负性可能因此损失导致负数的情况也被算在内，所以解出的根需要代入原方程检验，代入后使方程两边不相等的根即为增根.

在高中阶段，我们将对不等式进行系统地研究，在研究开始之前，我们要了解不等式的几个基本性质：

1）比较大小的基本事实：

4)加法法则与同向加法法则：

5)乘法法则与同向乘法法则：

a，b 两变量始终出现在不等式中，保持其约束关系.

四、一元二次不等式（组）初步

一元二次不等式的基本解法是数形结合法，具体见图(4)

通过数形结合法，一元二次不等式，一元二次方程全部被统一到二次函数下研究.

特别地，对于 ax^2+bx+c(a\ne 0) 可以被分解成两个因式 A,B 的一元二次不等式，根据不等式的基本性质，有

在处理含参的一元二次不等式时，该方法再配合数轴就要比数形结合法更加直观易分类.在此不做具体探究.

分式不等式的标准形式是 \frac{A}B>0(<0,\le0或\ge0)，非标准分式不等式需要经过通分转化为标准分式不等式.

根据除法的运算法则，标准分式不等式的解法为：

实际上，分式不等式经过转化后就是一元二次不等式或更高次的不等式.

这个结论推广到更高次的函数也成立，也就是说，如果一个 n 次函数可以变形为 n 根式的形式，那么在平面直角坐标系内该函数图象总是按一定顺序穿过 x 轴上的 n 个根.

上述结论就是穿根法的基本原理.当 n 次函数具体到 n 次的不等式时，为了画图的规范，我们保证所有 x 前的系数均为正数.

在进行人为的规定以后，我们可以得出穿根法的两个结论：

1）穿根总是从右上开始逐渐往左穿；

2）奇次根穿过，偶次根弹回.

穿根的同时要注意根据不等号区分空实点.

简析：将各个根标在序轴（省略原点和单位长度的数轴）后，要注意区分奇次根和偶次根，检查能否直接取到数轴上的根也是容易被忽略的细节.

1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值仍为0，负数的绝对值是它的相反数.

特别地， \left|a\right| 表示在数轴上，表示数 a 的点与原点的距离

2）对于含有多重绝对值的方程，可以综合定义和两边平方法从外向内脱绝对值，此时所得解要验根.

3）对于含有多个不包含的绝对值的方程时，可以用零点分段法脱去绝对值.

的几何意义是数轴上到表示-1的点和表示2的点的距离之和为3的点.

3.简单绝对值不等式的解法

平面几何在近几年的教学中一直处于尴尬的地位，首先是初中新课标大幅删减平面几何内容，其次是高考将平面几何从选做题中剔除.但平面几何的内容仍然渗透在考题中，简单拓展初中积累的平面几何知识，形成初步的印象，仍具有较大的意义.

1）内心：三角形三条角平分线的交点（即该三角形内切圆的圆心），用 I 表示

2）外心：三角形三条垂直平分线的交点（即该三角形外接圆的圆心），用 O 表示

3）重心：三角形三条中线的交点，用 G 表示，重心G将任意一条中线分成长度1:2的两段

4）垂心：三角形三条高线的交点，用 H 表示

值得一提的是：与三角形的每一个心有关的三线交于一点均可以通过相似的思路证明.

二、三角形内外角平分线性质定理

内外角平分线的证明思路大致相同，通过做平行线构造相似，配合角平分线证明线段相等

1）相交弦定理：已知交 \odot O 内的点 P 的任意两条弦 AB，CD ，有

2)切割线定理：已知过 \odot O 外的一点 P 的割线 PAB 和切线 PT （切点为T），有

3）割线定理（切割线定理的推论）：已知过 \odot O 外的一点 P 的割线 PAB 和 PCD ，有

将定理（1）（2）（3）合起来，就组成了圆幂定理：

暑假已接近尾声，在回顾初中的同时展望高中，初高中衔接课程的存在必然有其不可忽视的价值，对学生自学能力的培养、思维的提升、视野的开阔都有很大的裨益.感谢您在百忙之中卒读这篇文章，如果您觉得这篇文章还不错，不妨分享给其他同学.

十字 相乘 高中 常用 方程 方法

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因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33

因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。

例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?
如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

即a＝c，△abc为等腰三角形。

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。

例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。

解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）

这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。