设粒子处于一维无限深方势阱中， 对处于第n个定态ψn（x)的粒子，计算坐标、动量的期望值、，以及相应的涨落△x、

设粒子处于一维无限深方势阱中，

对处于第n个定态ψ_n(x)的粒子，计算坐标、动量的期望值、，以及相应的涨落△x、Δp．讨论n→∞的情况，并与经典力学计算结果比较

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提要本文通过对自由粒子系统和一维无限深势阱中粒子系统各种性质 的比较 , 论证计算一维无限深势阱 内粒子的动量分布的两种方法中 , 泡利方法是 正确的 , 朗道方法是不对的 。 并由改进后的朗道方法求出了泡利正确的结果 。 关键

2、词本征函数完备集动量几率分布付立叶变换希耳伯特空 间 中图分类号 041 3 . 1 引言 一维无限深势阱内粒子基态动量概率问题 “ 2 3, 是一个有名的问题 , 有五位诺贝尔物理奖 获得者 : 爱因斯坦 、 泡利 、 汤川秀树 、 朗道及塔努吉都参加过讨论 。 但最后得出两种截然不同的 .、.、 。, 二 ,、, ,卜 一 .一 一 . _ 、,. 一 :_, , ,. _ .、

4、2)是错误的 。 还有人认为式(1) 、 式(2 ) 的矛盾是量子力学基本原理矛盾的反映 。 1983 年 大学物理发表曾锡滨先生的文 章后 , 国内召开的量子力学学术会上不断有人进行讨论 , 笔者也参加过 。 9 4年 7月 大学 物理发表了姜存志先生 、 倪宏慈先生两篇争锋相对观点的文章 【2, 而大学物理以 ” 对此问题作了总结 , 其结论是 “ 不是一个对 , 一个错的问题 , 最多是根据各人的基 本种判断标准 , 哪一种好一点 , 哪一种差一点的问题 ”。 并宣布再不讨论此类问题 。 1998年 7月大学物理又发表陶宗英先生 的文章 , 并再次发表 重申了原来的观点 , 并 再次宣布

5、不发表类似的文章 。 我们认为各打五十大板 , 认为两个都对 , 两个都有错的观点 是错误的 , 我们也重申我们的观点 , 朗道方法及结论式(2) 是错的 , 泡利等的结论 (l )是对 带收稿日期 199 8一11一04 涪 陵师专学报(自然科学版 ) 第1 4卷 的 , 两者的矛盾不反映量子力学基本原理的矛盾 。 将朗道方法改进后 , 能得出泡利的正确 结果 。 2 与量子力学基本原理的比较 将式( 1 )和式(2 ) 的结论与量子力学基本原理相比较 , 可以知道包里的结果(l)是对 的 , 朗道的结果式(2 )是矛盾的 , 是不对的 。 从朗道的结果式(2 ) 可知 , 处于势阱内基态

6、, 或其他量子态动量的取值是在 ( 一 a o , + o o )区 间当守恒 , 动量的绝对值应取确定值 , 现在动量取连续值了 , 而每一个动量取值的概率均 不为零 。 如果认朗道的结论是对的 , 由于势阱内 E = 斋 成立 , 即处于势阱内基态粒子的 能量取值是( 一 a o , + a o )的一切连续值 , 连势阱粒子能量量子化也被否定了 。 3 两种完全不同的体系 我们认为量子力学的基本原理基本上无矛盾 , 至少两种方法的不同结论不能作为基 本原理有矛盾的依据 , 朗道之所以发生错误是利用广义付立叶定理展开阱内粒子波函数 时 , 搞错了希耳伯特空间 , 是把属于不同希耳伯特空间的

ei d P h a (3) , 的波函数利用公式 : (4) 去展开(3) , 是不对的 。 这种展开本身就默认了 , 无限深势阱内的粒了是平面波 , 动量是连 续取值的 。 当然结果一定是不对的 。 一维自由粒子

8、系统及在一维无限深势阱中束缚的粒子系统 , 是两种本质上完全不同 , 但又有一些相似的量子系统 , 下面对两者进行比较 。 3 . 1 一维自由粒子系统 : 哈米顿量为 : fH = 釜 描述它的力学量的完全集 : (H , 、 P 、 I) 其中 P是粒子的动量 , 并有 几 P = 口 , 动量守恒 。 I是粒子的宇称 , 并有H , ,jI = 0 , 宇称守恒 。 守恒量有能量 、 动量 、 宇称 。 (H , , 尸)共同本征函数是平面波 : (5) 第 4 期 朱文熙 : 再谈一维无限深势阱内粒子动量几率分布 小 。 ( x ) = 书纷 e*p、。 佗叮h (6) 其 中粒子坐标

10、 的厄米性已成问 题 , 但如果考虑粒子在阱壁处任何时刻均满足波函数恒为零 : 中(o) = 中( a )三0 的要求 , 则粒子动量由分立谱组成 : n叮h 二 _、 = , n二 1 ,乙, j , ” (8) 即把粒子达到阱壁处具有势能为无限大 , 理解为粒子在该处受到极大的排斥作用 , 粒子不 能达到该处(中( 0 ) = 中( a ) 二0 ) ” 或者按波粒二象性 , 理解为粒子在阱壁上作完全弹性碰 撞 。 能量守恒 , 动量 的大小保持不变 , 哈米顿算符 Hw厄米性仍能保证 。 本征函数的完备集 是 : _ n下 _ n Si n,-一一飞 , x 七L U , aJ a (9

11、) o , a 区归, x e 中 利用欧拉公式 is n。= 令 ei a一。 一 ia 将 (5)化为 : 乙1 中 , = 事 ( 贵一贵一 ) 因之一维无限深势阱中粒子本征函数完全集还可以指数形式写出 : 贵 刚“ 一 , 2 , ” ” (“, 其中 Pn满足 (4) 描述一维无限深势阱中粒子的希耳伯特空间有两个 , 一个由(6 )的波函数为基底构成的记 为人 , 另一个由(6 )式的波函数构成的 , 记为端 2 但应当指出(1 0)表示 的函数集的正交性 必须在对称区间中才行 。 即 x 以 一a , a 。 通过以上分析 , 可以知道一维自由粒子系统与一维无限深势阱中粒子系统从哈

12、米顿 量 , 力学量的完全集 。 及其本征函数的完备集构成的希耳伯特空间都不相同 。 两者的希耳 伯特空间是不同的 , 特别表现在维数不同 , 自由粒子的希耳伯特空间是连续无穷维 , 而势 阱中的束缚粒子的希耳伯特空间是可数无限维 。 应当说后者是前者的子空间 。 它们是本质 上完全不同的两种量子系统 。 涪陵师专学报(社会科学版 )第巧卷 两者之间又有密切联系 , 当势阱宽度变为无限大时 , 即 a o a o 被束缚在势阱内的波 列 , 变为平面波的叠加 , 即是 : 势阱中粒子的希耳伯特空间的基底 : 磕 p一” p n下h n 二 士 因 a斗a O , p 。 = 叮h 八 -一卜U

13、 则 七一 p广璀 赢 e“ ” dq 束缚态粒子的希耳伯特空间现变成了自由粒子的希耳伯特空间 , 可数无限维希耳伯特空 间 , 变成连续无穷维希耳伯特空间 。 两者就一致了 , 但物理问题也发生了本的变化 ,束缚于 势阱中的粒子 , 已变成 自由粒子了 。 其实这样的过渡就是 , 周期函数 , 当周期变成无穷大 时 , 就变成非周期函数 , 相应的付立叶级数变成付立叶积分 。

分布问题是不对的 , 这就默认为无限深势内粒子的动量取( 一 o o , + o Q )的连续性 。 另外 , 在 数学上选择什么样的正交函数完备集来开展某个函数任意性很大 。 在物理上 , 除展开式收 敛要快外

16、, 还进一步要求展开后的表达式 , 有明确的物理意义 。 在量子力学里一般都选择 描述这个力学量完全集的共同本征函数的全体作基底 , 来构成描述这个物理系统的希耳 伯特空间 。 只要是这个物理系统的态矢均可以在它的希耳伯特空间中展开 , 展开后表达式 的物理意义是很明确的 。 例如被束缚在中心力场中的粒子系统 , 如果讨论的是角度 。 、 甲有 关的问题 , 由于它的力学量的完备集是(H 、 U 、 L ) , 其共同的本征函数是球谐函数 , 由它们 第 4 期朱文熙 : 再谈一维无限深势阱 内粒子动量几率分布 构成其希耳伯特空 间 , 关于这类的态矢均在其中展开 , 如果无限深势阱中粒子的束

17、缚志用 球谐函数来展开 , 并认为其中角动量守恒这显然大谬 。 又如一维 自由粒子处于下式 : J2 中、 x,二 佰 5111黑x、。 (o , a ) ( 11) 所描述的波列 (或波包)的量子态中 , 这个态矢应当是自由粒子的平面波构成的希耳 伯特空间琳中的矢态 , 因之其展开系数利用付立叶变换 : ,、 l “ 2 . n下 1 :_ 、 , 沪., 户 . 一 . 甲.

如果在一维无限深势阱中粒子处于量子态 : “ , = 伶 一, 显然这个态矢属于势阱中粒子的希耳伯特空间研 w l 展开系数为 : xo 10 , a (13) 的态矢 , 选择本征涵数(3)来展开 , 其 沥 f ,、 . n二 、 七 n 一

其动量的绝对值为川 = 粤 的 概率 , 。 如果这个问题选择(6 )来展开就不对了 , 因为 (13)这个态矢不是自由粒子的希耳 伯特空间 对中的态矢 。 如果被展开的量子态是由 (9)表达的一维无限深势阱中的束缚态(注意

20、: 它不是 自由 粒子的波列或波包 , 虽然数学表达式与( 1 1)相同 , 但物理含义却变了) 。 它不是属于研f中 的态矢 , 而属于洲w , 或叨 w Z 中的态矢 , 如果用描述 自由粒子的平面波 (6 )来展开它就不对 了 , 应当用浏 w , 或洲 w Z 中的基底来展开 , 即用(9 ) 或者( 1 0)来展开 。 将,写成 : 。p 。 ( 卜 福 S 带 二 乎

21、 n盯七 二 士 , 土 号表示动量的方向相反 。 (巧)式两个本征态前面的系数苍 集付 立叶级 数的系数 , 其模方为去 , 表示处于(9 )描述的量子态的粒子其动量分别取 十卫立互与一 竺 aa 的概率各为去 , 这就是泡利方法的结果 。 正确 的作法 我们认为求解一维无限深势阱粒子动量概率分布问题 , 有两种作法 , 一种是泡利的方 法 , 在其自身的希耳伯特空间展开如文献 3 中 , 倪宏慈先生作的哪样 , 另一种方法也可以用 朗道方法 , 但必须全部地利用付立叶积分的正反变换公式 , 即在 自由粒子的希耳伯特空间可 展开 , 再利用 6函数的抽样性质 , 反回到无限深势阱的希耳伯特空

专贵 【一 p / ” “ “ ” , 专 贵一带一 l 即 ,( )被分解为势阱内的两个方向相反 , 动量为 P 。 的波的叠力 口 。 其概率分另。为 : 合 。 第 4 期朱文熙 : 再谈一维无限深势 阱内粒子

24、动量几率分布 6 结论 通过以上分析知道泡利方法实质上是把洲W l 或脚W Z 中的态矢(9) 在 自身的希耳伯特 空间中展开 , 展开后其系数的模方是动量n P的概率 。 用朗道的方法去处理形如 (9 )的自由 粒子波列是对的 , 但用此方法去处理形如(9 )的势阱中束缚态则是不对的 。 因它们属于两 个不同的希耳伯特空间研w , 和洲w Z , 这样展开的结果会造成理论上的混乱 , 势阱中粒子的 动量本征态原是对应分立谱的动量本征值 , 经朗道方法展开后 , 势阱中的粒子的动量本征 态却由动量本征值为连续谱的平面波来构成 , 势阱中粒子的动量也变成为连续谱了 。 至于文献 3 中谈到一维无

25、限深势阱中粒子动量概率率分布的实验证实问题 , 目前确 实没有 。 但摹拟性的实验事实却是有 的 。 微观粒子有波粒二象性 , 把阱中的粒子理解为势 阱中的波是完全可以的 。 这样电磁波在谐振腔中的行为 , 以及激光在激光器的两个反射面 之间来回反射的行为 , 都可以作为无限深势阱粒子行为的一种摹拟 。 众所周知 , 由谐振腔 或激光器射出的电磁波单色性都是极好 , 这不是势阱中粒子的动量不是连续谱的 , 而是分 立谱的佐证吗? 总之 , 在一维无限深势阱中粒子的动量几率分布的两种处理方法中 , 我们认为泡利方法是 正确的 , 朗道方法是不对的 。 对朗道方法改进后 , 能得出与泡利方法的结果