行列式的性质很多，许多同学在记忆行列式性质时是死记硬背，结果事倍功半。

同济教材上对于行列式的诸多性质大多都是一句话略过，即“这个性质可用数学归纳法证明，由于证明的表述较繁琐，我们略去其证明”。

本文将会从独特的、新颖的角度证明行列式的有关性质。相信看完本文的同学不仅能够提升解决抽象类证明题的能力，而且还能快速、高效地记忆和运用行列式的有关性质。

在代数余子式方面，主要有两条性质。

第一条性质：行列式的值等于行列式任一行（或任一列）的元素与该元素对应的代数余子式的点积。用数学公式如下表示：

对于上述性质的证明，小编采用一种即抽象但又富有想象力的方法进行证明。下面是寻找证明方法的过程。

接下来，只需要证明以下三点就可以得到结论，即：

第一点的证明很简单，其证明过程如下：

第二点的证明有一定的难度，其证明比较抽象，大家一定要细细体会。下面是证明过程：

第三点的证明是最难的，但同时也是最需要技巧的。首先把S和T中相同项的系数分别表示出来，如下所示：

接下来就是第三点证明中最需要技巧的一步了。如何把某一项在S中的系数化简成在T中的系数？请认真看下面的推理过程：

对于上方两处标红的地方，大家一定要细细体会，这两处非常考验大家的抽象思维能力！

至此，代数余子式的第一条性质成功得到证明！

代数余子式的第二条性质是：一行（或一列）与另一行（或另一列）的代数余子式的点积为零。用如下数学公式表示：

第二条性质的证明同样可以采用第一条性质的思路去证明，需要证明如下几点：

小编略加解释第2点，假设S中有六项a,b,c,d,e,f，那么对于其中任意一项，比如c，其它五项{a,b,d,e,f}中有且仅有一项与c相同。

至于第二条性质的具体证明，限于篇幅，小编在此从略。大家可以参照第一条性质的证明思路去自行证明吧！不过，对于S中的任意一项，寻找相同项可能对不少同学来说是一个难点，小编建议大家从四阶行列式中去发现规律，就能类推到n阶行列式中关于相同项的寻找了。

在对代数余子式的两条性质进行解释后，行列式其它性质的证明就如同探囊取物一般容易了！限于篇幅，小编将不对下述性质进行证明。

行列式初等变换1：两行（或两列）互换位置，行列式的值反号。

行列式初等变化2：某行（或某列）与非零常数k相乘，则新行列式的值为原行列式的值的k倍。

行列式初等变换3：某行（或某列）的k倍（k不为零）加至另一行（另一列），行列式的值不变。

图1显示了行列式的三种初等变换所用到的关键公式或行列式的性质。

图1.行列式初等变换证明依据

性质1：行列式与其转置行列式的值相等。

性质2：任意一行或一列的元素全为0，则行列式的值为0。

性质3：任意两行或两列对应元素成比例，则行列式的值为0。

性质4：某一行或某一列的n个元素均可以表示成两个数之和，则该行列式的值等于两个子行列式之和。下面的公式表示性质4：

最后总结一点，大家一定要认真看看小编在代数余子式性质方面的证明，这种方法是一种分割的思想，就是将一个问题分割成多个子问题，如果多个子问题都能得到证明，那么原命题就能得证！