哈哈，是那位选手的回答，就是epsilon-delta语言。至于你说洛必达和泰勒，只是常用方法。最简单的，如果极限里形式不能求导呢？这两个方法都不能用，但依然有极限。极限和这两个关系不大。至于经常看到有人说什么洛必达是泰勒的特殊情况，估计是他们把0/0型的想太多了，以为啥都0/0，忘了世界上还有一种∞/∞。有人说只要把分子分母写成倒数的形式就可以化成0/0了，就可以用泰勒了。但想法是美好的，现实是残酷的。不要脑杀，lim(x→0)xlnx教你做人。

前置知识极限导数与高阶导数下面简单介绍下极限与导数的概念极限\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac 1x=0表示当x无限趋近于无穷大时\frac 1x无限接近于0\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac 1x=\infty表示当x无限趋近于0时\frac 1x无限接近于无穷大百度百科 - 极限 （数学术语）维基百科 - 极限导数导数,又名微商,是微积分中的重要基础概念.当函数y=f(x)的自变量x在一点x_0上产生一个增量\Delta x时,函数输出值的增量\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)与自变量增量\Delta x的比值在\Delta x趋于0时的极限a如果存在,a即为在x_0处的导数,记作f'(x_0)或\frac d{dx} f(x_0).\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(图片摘自维基百科)百度百科 - 导数维基百科 - 导数微分中值定理罗尔定理如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导f(a)=f(b)那么存在f'(\xi)=0,\xi \in(a,b)几何意义:如果光滑的曲线\tau: y=f(x)(x\in [a,b])的两个端点A,B等高,即其连线AB水平,则在\tau上必有一点C(\xi,f(\xi))(\xi \in(a,b)),\tau在C点的切线是水平的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,也简称均值定理罗尔定理的扩展如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导那么存在f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\xi \in(a,b) 证明:设直线AB:y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)作新的函数\displaystyle \varphi(x)=f(x)-\left[ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right]\varphi(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,\displaystyle \varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}且\varphi(a)=0,\varphi(b)=0. \varphi(x)(x\in [a,b])符合罗尔定理的条件,所以\exist \xi \in (a,b)使得\displaystyle \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0柯西中值定理柯西中值定理,也叫拓展中值定理如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导g'(x)\neq 0(\forall x \in (a,b))则\exist \xi \in (a,b),使得:\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} 证明:由拉格朗日定理,在条件g'(x)\neq 0下,g(b)-g(a)=g'(\eta)(b-a)\neq 0,\eta \in (a,b)作函数\displaystyle F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))易证F(x)在[a,b]上满足洛尔定理条件,从而存在\xi \in(a,b)使得F'(\xi)=0,即\displaystyle f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)由于g'(\xi)\neq 0,得到\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}泰勒展开泰勒公式若函数f(x)在包含x_0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有n+1阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\\ &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{aligned} 其中\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi \in (x_0,x)当n\to \infty时,R_n(x)\to 0,可忽略不计,可以得到函数的另一种表现形式(即用无穷级数表示) 证明:设$x_0x$的情况类似),设函数\displaystyle F(t)=f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^iG(t)=(x-t)^{n+1}F(t)在G(t)在[x_0,x]上连续,在(x_0,x)上可导,且\displaystyle F(x)=0,G(x)=0 \\~\\ \begin{aligned} F'(t) &=-\sum_{i=0}^n \left[ \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i \right]'\\ &=-f(t)-\sum_{i=1}^n \left[ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i - \frac{f^{(i)}(t)} {(i-1)!}(x-t)^{i-1} \right]\\ &=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \end{aligned} \\ G'(t)=-(n+1)(x-t)^n \\~\\ F(x_0)=f(x)-\left[ f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^2 \right]\\ G(x_0)=(x-x_0)^{n+1} 并且在(x_0,x)上G'(t)\neq 0,所以F(t)和G(t)在[x_0,x]上满足柯西中值定理从而存在\xi \in (x_0,x),使得\displaystyle \frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}也就是:\displaystyle \frac{f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i}{(x-x_0)^> {n+1}}=\frac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n}{-(n+1)(x-\xi)^n}=\frac{f^{(n> +1)}(\xi)}{(n+1)!}所以:\displaystyle f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}这常称为f(x)在点x_0的n阶泰勒公式当n=0时,上述公式就是拉格朗日中值公式,故泰勒定理就是拉格朗日中值定理的推广常用函数的泰勒展开e^x(e^x)'=e^x,当x_0取0时,\displaystyle e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\sin x\sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\cdot \frac{\pi}2),当x_0取0时,\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\cos x\cos^{(n)}(x)=\cos(x+n\cdot \frac{\pi}2),当x_0取0时,\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\ln (1+x)\ln^{(n)} (1+x)=(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n},当x_0取0时,\displaystyle x-\frac {x^2}2+\frac {x^3}3-\cdots+\frac {(-1)^{n+1}}n x^{n}-\cdots\ln(1-x)\ln^{(n)} (1-x)=-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n},当x_0取0时,\displaystyle -x-\frac {x^2}2-\frac {x^3}3-\cdots-\frac {x^{n}}n-\cdots\frac 1{1-x}(\frac 1{1-x})^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}},当x_0取0时,\displaystyle 1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1洛必达法则假设函数f(x)和g(x)满足下列条件:f(x),g(x)都在a点的某去心邻域\mathring{U}(a)上可导,且g'(x)\neq 0(\forall x \in \mathring{U}(a))当x\to a时f(x)\to 0,g(x)\to 0(或f(x)\to \infty,g(x)\to \infty)\displaystyle lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}存在(也可以是\infty)则\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} 证明:由于\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}与f(x),g(x)在a点的取值无关,我们可以设f(a)=0,g(a)=0,则f(x),g(x)在a的某一邻域内连续设x\in \mathring{U}(a),由定理的条件1,f(x)和g(x)在[a,x](或[x,a])上满足柯西中值定理的条件,从而存在\xi \in(a,x)(或(x,a)),使得\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}当x\to a时\xi \to a,所以\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}在条件1,2下,只要\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=A\text{或}\infty,则\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}必存在,且就等于A\text{或}\infty所以为了确定\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}的值,只要把分子、分母分别求导再取极限,在这个极限存在(或是\infty)的情况下,就可以确定原来未定式的值(或是\infty)这种确定未定式的值得方法称为洛必达法则使用洛必达法则时必须注意:\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}必须是\frac 00型或\frac \infty\infty型的\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}存在(或是\infty),\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}不存在时需要用其他方法判断这个极限是否存在 错误示例:求\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac x{1+\sin x}当x\to 0时,1+\sin x\to 1,\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac x{1+sin x}=\frac 01=0套用洛必达法则,就会导致:\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac x{1+\sin x}=\lim_{x\to 0} \frac 1{\cos x}=1例1:求\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}这是\frac 00型未定式,使用洛必达法则,有\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}还是\frac 00型,再次使用洛必达法则\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{6x}=\frac 16例2:求\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x}这是\frac \infty\infty型未定式接连使用洛必达法则n次,得\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x}=\cdots=\lim_{x\to +\infty} \frac{n!}{e^x}=0