学习阶段：大学物理。前置知识：静电场高斯定理、静电场环路定理、静电场与导体。1. 电介质及其分类如上一章所述，电介质可以视为没有任何自由载流子的理想绝缘体。电介质中的带电粒子被原子、分子紧密束缚着，即使在外电场作用下，这些带电粒子也只能在分子的尺度内运动。因此，电介质产生的附加电场，一般不足以抵消外加电场，和导体的效果不同。1.1 电偶极子与电矩为了研究电介质的微观性质，我们先引入两个概念。设有两个电荷分别带等量异号电荷 -q 和 +q ，称其为电偶极子。设负电荷指向正电荷的位置矢量为 \vec{l} ，定义矢量 \vec{p}=q\vec{l} 为该电偶极子的电偶极矩/电矩。电偶极子在匀强电场中，只可能转动，不可能平动。如下图所示：电偶极子与电矩1.2 电介质的分类电介质分为两种：无极分子电介质和有极分子电介质。无极分子的正负电荷的中心重合，分子对外不显极性，如氢气 \text{H}_2 、氧气 \text{O}_2 、氯气 \text{Cl}_2 等；有极分子的正负电荷的中心不重合，分子对外显极性，如水 \text{H}_2\text{O} 、氯化氢 \text{HCl} 、二氧化硫 \text{SO}_2 等。如下图所示：无极分子与有机分子2. 静电场中的电介质2.1 两类电介质的统一表现两类电介质，在没有外加电场的时候，内部都不产生附加电场。无极分子本身就没有极性；而有极分子杂乱无章地排列，在宏观角度不显极性。两类电介质，在有外加电场的时候，内部都会产生附加电场。无极分子的正负电荷会被扯开一段距离，电场力和分子内作用力互相拮抗，称为位移极化；有极分子在宏观上会一定程度地出现取向，电场力和附近分子的反作用力互相拮抗，称为转向极化。无极分子和有极分子的情况分别如下图所示：无极分子产生附加电场有极分子产生附加电场因此，两类电介质在宏观上的表现是类似的，以后我们可以统一起来研究。2.2 极化强度与极化电荷为了定量描述电介质内部的极化程度，我们引入一个矢量：极化强度\vec{P}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\sum\vec{p}_i}{\Delta V} 单位为 \rm C/m^2 . 其中 \Delta V 表示电介质的某一体元， \sum\vec{p}_i 表示该体元内各个分子的电矩之和。注意，在宏观上 \Delta V 要足够小，以精确描述电介质内部某一点的极化程度；而在微观上 \Delta V 要足够大，以避免 \vec{P} 的值容易受个别电矩影响。由于阿伏伽德罗常数 \text{N}_\text{A}\approx6.02\times10^{23}\text{mol}^{-1} 的巨大，这在相当高的精确度上是做得到的。实验证明，对于各向同性（各个方向上性质相同，我们也只研究这种情况）的电介质，当外加电场不太强时，电介质内每一点的极化强度 \vec{P} 与该点的总场强 \vec{E} 成正比，有\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E} 其中 \chi_e 称为电极化率，无量纲。当介质为各向同性的均匀/线性介质时， \chi_e 是个常数，只由介质种类决定；当介质不均匀时，不同位置的 \chi_e 不同。【希腊字母 \chi 读作“kai开”。】对于一个处在外加电场中的电介质，其内部出现了一定的极化现象。我们想研究它产生的附加电场，就要研究电介质宏观上出现的极化电荷。这种电荷受电介质紧紧束缚，与导体的自由电荷不同，因此又称为束缚电荷。极化电荷和极化强度有什么关系呢？我们先研究介质表面极化电荷和极化强度的关系，如下图所示：介质表面极化电荷与极化强度的关系在介质表面作一宏观小微观大的斜圆柱，圆柱的一个底面在介质表面上且平行于介质表面，另一个底面在介质内部，设圆柱底面面积为 \Delta S ，外法向量为 \vec{n} ，圆柱斜高为 \Delta l 且平行于极化强度 \vec{P} ， \vec{P} 与 \vec{n} 的夹角为 \theta . 由图中左下的辅助图知，该斜圆柱的体积为 \Delta V=\Delta S\Delta l\cos\theta ，故其含有的电矩大小为 p=P\Delta V=P\Delta S\Delta l\cos\theta . 另外，该斜圆柱整体呈电中性，故其上的电荷可视为电偶极子，两个底面分别带等量异号电荷 \pm q ，故 p=q\Delta l ，联立得到\sigma'=\frac{q}{\Delta S}=P\cos\theta=\vec{P}\cdot\vec{e}_n
其中 \sigma' 表示介质表面极化电荷面密度， \vec{e}_n 表示介质表面单位外法向量。这就是介质表面极化电荷和极化强度的定量关系。然后再研究介质内部极化电荷和极化强度的关系，如下图所示：介质内部极化电荷与极化强度的关系画一个任意的闭曲面 S ，研究 S 内的极化电荷总量 \sum_{S内} q' 。把介质内的分子视为电偶极子，当分子完全处在 S 内部或外部时，对于 \sum_{S内} q'没有贡献，只有恰好穿过 S 的分子对该量有贡献。由于分子足够小，可把穿过 S 的分子在 S 外的电荷视为 S 上的极化面电荷，在 S 内的电荷计入 \sum_{S内} q' . S 上的极化电荷面密度满足 \sigma'=\vec{P}\cdot \vec{e}_n . 取一微小的面积 \Delta S ，则该面积上的极化电荷量为\sigma'\Delta S=\vec{P}\cdot\vec{e}_n\Delta S=\vec{P}\cdot\Delta\vec{S} 其对应的 S 内的极化电荷量即为 \Delta q'=-\vec{P}\cdot\Delta\vec{S} ，在 S 上做曲面积分即可求得\sum_{S内} q'=-\unicode{8751}_S\vec{P}\cdot d\vec{S} 这就是介质内部极化电荷和极化强度的定量关系。其微分形式为 \rho'=-\nabla\cdot\vec{P} ，即极化强度的负散度为极化电荷体密度。下图例子也符合上述结论：极化强度散度为正，体内电荷为负2.3 外加电场与附加电场、总电场的关系我们先研究最简单的情况：各向同性的均匀介质，在不太强的外加电场下，产生怎样的附加电场与总电场？做一个简单的模型，如下图所示：各向同性的均匀介质在不太强的外加电场下一个方形电介质放在外加电场 \vec{E}_0 中，左右两侧表面产生极化电荷，面密度为 \pm\sigma' . 忽略边缘效应，视左右两侧为无限大均匀带电平板，则极化电荷产生的附加电场的大小为E'=\frac{\sigma'}{\varepsilon_0} 【推导见第1章静电场高斯定理最后的例子③，这里有左右两块板，所以是2倍。】极化电荷面密度 \sigma' 由极化强度 \vec{P} 决定，有 \sigma'=P . 因为附加电场的方向与极化强度的方向相反，故 \vec{E'}=-\frac{\vec{P}}{\varepsilon_0} ；极化强度 \vec{P} 由总场强 \vec{E} 决定，有 \vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E} ；总场强 \vec{E} 由外加电场 \vec{E}_0 和附加电场 \vec{E'} 决定，有 \vec{E}=\vec{E}_0+\vec{E'} . 联立以上三式 \vec{E}=\vec{E}_0-\frac{\chi_e\varepsilon_0\vec{E}}{\varepsilon_0} ，得到\vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{1+\chi_e},\quad \vec{E'}=-\frac{\chi_e\vec{E}_0}{1+\chi_e} 也就是说，在这种情况下，总电场是外加电场的 \frac{1}{1+\chi_e} 倍，附加电场一定程度上削弱了原电场。我们记 1+\chi_e=\varepsilon_r 为该介质的相对介电常数（relative permittivity），则\vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{\varepsilon_r} 这就得到了外加电场和总电场的定量关系。实际上，这个关系也适用于非均匀介质，只不过非均匀介质的 \varepsilon_r 不是一个常数，与空间位置有关。2.4 均匀电介质的极化电荷体密度当外加电场不太强时 \vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E},\quad \vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{\varepsilon_r} ，在均匀电介质中 \chi_e\varepsilon_0 和 \varepsilon_r 是常数，故 \vec{P} 正比于总电场 \vec{E} ， \vec{E} 正比于外加电场 \vec E_0 ，那么 \vec{P} 正比于 \vec E_0 . 因此\rho'=0\Leftrightarrow\nabla\cdot\vec P=0 \Leftrightarrow\nabla\cdot\vec E_0=0 \Leftrightarrow q=0 即均匀电介质的极化电荷体密度为0，当且仅当均匀电介质内没有自由电荷。3. 电介质中的静电场高斯定理在有电介质的情况下，研究一下静电场高斯定理。在空间中任画一闭曲面 S ，则由静电场高斯定理得\unicode{8751}_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\sum_{S内}q+\sum_{S内}q'\right) 其中 \sum_{S内}q 是 S 内的自由电荷总和，而 \sum_{S内}q' 是 S 内的极化电荷总和。根据极化电荷和极化强度的定量关系，可以得到\unicode{8751}_S\varepsilon_0\vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum_{S内}q+\sum_{S内}q'= \sum_{S内}q-\unicode{8751}_S\vec{P}\cdot d\vec{S} \unicode{8751}_S(\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot d\vec{S}=\sum_{S内}q 定义电位移矢量/电感应强度 \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} ，那么静电场高斯定律就化为如下美观的形式：\unicode{8751}_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum_{S内}q 微分形式是 \nabla\cdot\vec{D}=\rho . 电位移矢量 \vec{D} 是为了简化问题而引入的一个辅助量，本身没有具体的物理意义。引入了 \vec{D} 后，静电场高斯定理就不显式地包含极化电荷这一项。对于各向同性的介质，在不太强的外加电场下，有\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon_0\vec{E}+\chi_e\varepsilon_0\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} 定义 \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r 为该介质的绝对介电常数/介电常数，则\vec{D}=\varepsilon\vec{E} 4. 思考4.1 E与D，B与H在磁场中，也有磁感应强度 \vec{B} 和磁场强度 \vec{H} ，它们和电场中的这些量有什么关系呢？实际上， \vec{H} 最初和 \vec{E} 的定义类似，人们假设存在“磁荷”，然后定义磁场强度为试验磁荷受到的力除以其“带磁量”。然而“磁荷”目前是不存在的，这种定义方法就失去了实验支持。现在， \vec{D} 和 \vec{H} 两个物理量都只作为辅助量，没有具体的物理意义。用电荷受力定义的电场强度 \vec{E} 与电介质有关，而电位移矢量 \vec{D} 与电介质无关，只与场源电荷有关；用电流受力定义的磁感应强度 \vec{B} 与磁介质有关，而磁场强度 \vec{H} 与磁介质无关，只与磁源有关。这两个量恰好因为电场和磁场的不对称性（不存在磁荷、磁流），产生了这个奇妙的差别。从理解上来说， \vec{D} 找的是自由电荷不变时的守恒量。如下图所示：E突变，D不变在匀强电场中放置一表面垂直于电场的电介质，电场线中断，电介质内部电场跃变变弱（图左上），同时电介质出现了极化（图左下）。 \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon_0\vec E_0 就是把这两个情况综合起来， \vec{D} 在电介质内外整体连续（图右）。实际上，当电场与电介质表面斜交的时候， \vec D 在介质表面垂直的分量连续，本文的第5节有论述。4.2 相对介电常数与绝对介电常数在没有电介质的真空时， \vec{D}=\varepsilon_o\vec{E} ，由静电场高斯定理得\varepsilon_0\unicode{8751}_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum_{S内}q 也就是说， S 内的自由电荷决定了 S 的电通量，比例系数为 \varepsilon_0 . 因此 \varepsilon_0 称为真空介电常数。在整个空间充满电介质时， \vec{D}=\varepsilon\vec{E} ，由静电场高斯定理得\varepsilon\unicode{8751}_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum_{S内}q 也就是说， S 内的自由电荷同样决定了 S 的电通量，比例系数为 \varepsilon ，与真空时的情况无关，是“绝对”的。因此 \varepsilon 称为该介值的绝对介电常数。相应地，如2.3节所述，相对介电常数描述的是：相对于真空而言，电介质能改变原电场的比例，与真空时的情况有关。因此是“相对”的。4.3 电介质与导体如果用研究电介质的方法来研究导体，由于导体内的总场强恒有 \vec{E}=0=\frac{\vec{E}_0}{\varepsilon_r} ，可视为 \varepsilon_r 为正无穷大。当然，由于导体含有大量载流子，而电介质的载流子可忽略不计，它们两者本质上的电学性质是完全不同的。比如说，导体可以承载很大的电流，而电介质的电流可忽略不计。5. 电介质交界面处的电场关系考虑电场与介质交界面斜交的情况，作特定的高斯面和环路，如下图所示：电场与介质交界面斜交5.1 垂直分量让高斯面趋近于无限薄，则高斯面的通量只由左右两块平面的通量所决定。因为高斯面内无自由电荷，故\unicode{8751}_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=(\vec{D}_{2n}-\vec{D}_{1n})S=0,\quad \vec{D}_{1n}=\vec{D}_{2n} 这里 \vec{D}_{1n} 表示穿出介质1的电通量在交界面上的垂直分量，\vec{D}_{2n} 表示穿入介质2的电通量在交界面上的垂直分量。下同， t 表示平行分量。设两种介质的介电常数分别为 \varepsilon_1 和 \varepsilon_2 ，且 \varepsilon_1\neq\varepsilon_2 ，则\varepsilon_1\vec{E}_{1n}=\varepsilon_2\vec{E}_{2n},\quad \vec{E}_{1n}\neq\vec{E}_{2n} 也就是说，介电常数不同时， \vec{D} 在交界面的垂直分量连续， \vec{E} 在交界面的垂直分量不连续。5.2 平行分量让环路的宽度趋近于无限窄，则环路的环量只由左右两条边的环量所决定。根据静电场环路定理，有\oint_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=\vec{E}_{1t}l-\vec{E}_{2t}l=0,\quad \vec{E}_{1t}=\vec{E}_{2t} \frac{\vec{D}_{1t}}{\varepsilon_1}=\frac{\vec{D}_{2t}}{\varepsilon_2},\quad \vec{D}_{1t}\neq\vec{D}_{2t} 也就是说，介电常数不同时， \vec{E} 在交界面的平行分量连续， \vec{D} 在交界面的平行分量不连续。5.3 角度关系研究一下场强与法线的夹角，如下图所示：介质交界面的角度关系显然有\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{E_{1t}}{E_{1n}}\div\frac{E_{2t}}{E_{2n}}=\frac{E_{2n}}{E_{1n}}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} 总结两个等量异号电荷构成电偶极子，电矩 \vec{p}=q\vec{l} ，方向由负电荷指向正电荷。无极分子电介质和有极分子电介质在宏观上的性质是统一的。极化强度 \vec{P}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\sum\vec{p}_i}{\Delta V} . （以下只讨论各向同性的电介质）在场强不太强时，极化强度与总场强的线性关系 \vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E} ，其中 \chi_e 是该介质的电极化率。把电介质放在外加电场中，如果电介质是均匀/线性的，其内部没有极化电荷，只有表面有极化电荷；如果电介质不均匀，不仅表面有极化电荷，内部也有极化电荷。电介质表面的极化电荷与极化强度的关系 \sigma'=\vec{P}\cdot\vec{e}_n 电介质内部的极化电荷与极化强度的关系：积分形式 \sum_{S内}q'=-\unicode{8751}_S\vec{P}\cdot d\vec{S} ，微分形式 \rho'=-\nabla\cdot\vec{P} . 在场强不太强时，总场强与外加电场的关系 \vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{\varepsilon_r} ，其中 \varepsilon_r=1+\chi_e 是该介质的相对介电常数。电介质中的静电场高斯定理 \unicode{8751}_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum_{S内}q ，其中 \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} 是电位移矢量/电感应强度， \sum_{S内}q 是闭曲面 S 内的总自由电荷。在场强不太强时， \vec{D}=\varepsilon\vec{E} ，其中 \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r 是该介质的绝对介电常数/介电常数。电介质交界面处的电场关系： \vec{D} 垂直分量相等， \vec{E} 平行分量相等。