摘要：以例题讲思路，简单总结了下积佬的各方法技巧。本文并不属于纯基础讲解，需要有一定的基础知识。文章末尾处新增本文的pdf文档！一、利用基本公式例1.1：求不定积分 \int \sin x\sin2 x\sin3x\,\mathrm{d}x解：\begin{align*} \int \sin x\sin2 x\sin3x\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}\int(\cos x-\cos3x)\sin3x\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int \cos x\sin3x\,\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\cos3x\sin3x\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{4}\int(\sin2x+\sin4x)\,\mathrm{d}x-\frac{1}{4}\int\sin6x\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{8}\cos2x-\frac{1}{16}\cos4x+\frac{1}{24}\cos6x+C \end{align*} 练习1.2：计算： \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin^3x}{\tan\frac{3x}{2}}\,\mathrm{d}x . 解：注意到\begin{align*} \frac{1}{\tan\frac{3x}{2}} &=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\cdot\frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{3x}{2}}\xlongequal{\text{半角公式}}\frac{1+\cos x}{\sin x}\cdot\frac{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}}{\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}}\\ &\xlongequal{\text{积化和差}}\frac{1+\cos x}{\sin x}\cdot\frac{\sin2x-\sin x}{\sin2x+\sin x}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\cdot\frac{2\cos x-1}{2\cos x+1} \end{align*} 于是\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin^3x}{\tan\frac{3x}{2}}\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos^2x)(1+\cos x)\frac{2\cos x-1}{2\cos x+1}\,\mathrm{d}x\\ &\xlongequal{\text{部分分式}}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left[-\cos^3x+\frac{3}{2}\cos x-\frac{3}{4(2\cos x+1)}-\frac{1}{4}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}(3-2\ln2)}{8} \end{align*} 更多类似题目参考：积分级数欣赏(5) 解析--神琦冰河欧拉公式： e^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x\Longleftrightarrow \begin{cases}\cos x=\frac{e^{x\mathrm{i}}+e^{-x\mathrm{i}}}{2}&\\ \sin x=\frac{e^{x\mathrm{i}}-e^{-x\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\end{cases} 例1.3：求不定积分 \int e^x\sin x\,\mathrm{d}x 解：由欧拉公式\begin{align*} \int e^x\sin x\,\mathrm{d}x &=\int e^x\frac{e^{x\mathrm{i}}-e^{-x\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2\mathrm{i}}\int \big(e^{x(1+\mathrm{i})}-e^{x(1-\mathrm{i})}\big)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2\mathrm{i}(\mathrm{i}+1)}e^{x(1+\mathrm{i})}-\frac{1}{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}e^{x(1-\mathrm{i})}+C\\ &=e^x\bigg(\frac{(1-\mathrm{i})e^{\mathrm{i}x}-(1+\mathrm{i})e^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}\bigg)+C\\ &=\frac{1}{2}e^x\bigg(\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}-\mathrm{i}\big(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}\big)}{2\mathrm{i}}\bigg)+C\\ &=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C \end{align*} 二、分段函数的不定积分特征：这类题目的特征很明显，带绝对值的；带取整符号的；max,min函数对于\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C 仅仅只是一种记法, 不能认为 \frac{1}{x} 在 (-\infty,+\infty) 存在原函数.例2.1：求不定积分 \int e^{|x|}\,\mathrm{d}x解： \[\int e^{|x|}\,\mathrm{d}x=\Biggl\{\begin{array}{@{}cl}e^x+C_1\,,&x\geqslant0\\-e^{-x}+C_2\,,&x<0 \end{array}\]
由于函数满足连续，所以 \lim_{x\to0^+}(e^x+C_1)=\lim_{x\to0^-}(-e^{-x}+C_2) 故\[1+C_1=-1+C_2\Longrightarrow C_2=C_1+2\]，因此，\[\int e^{|x|}\,\mathrm{d}x=\Biggl\{\begin{array}{@{}cl}e^x+C\,,&x\geqslant0\\-e^{-x}+2+C\,,&x<0 \end{array}\]
例2.2：计算不定积分 \int\lfloor x\rfloor|\sin\pi x|\,\mathrm{d}x\;(x\geqslant0) , 其中 \lfloor x\rfloor 为取整函数三、换元法的技巧3.1 第一类换元法（凑微分）技巧大致有：组合积分法、添与拆、特殊凑配 \mathrm{d}\big(ax\pm\tfrac{b}{x}\big)、指数锁(阴间凑配)例3.1.1：求不定积分:
\int\frac{x+\sin x\cos x}{(\cos x-x\sin x)^2}\,\mathrm{d}x .解： \begin{align*} \int\frac{x+\sin x\cos x}{(\cos x-x\sin x)^2}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{x\sec^2x+\tan x}{(1-x\tan x)^2}\,\mathrm{d}x=-\int\frac{\mathrm{d}(1-x\tan x)}{(1-x\tan x)^2}\\ &=\frac{1}{1-x\tan x}+C=\frac{\cos x}{\cos x-x\sin x}+C \end{align*} 更多类似题目参考：https://tieba.baidu.com/p/4889396727?pn=1组合积分法：(1)：分子=A分母+B分母' 解出 A,B ；(2)：根据平方差、立方差这类公式构造；例3.1.2：求不定积分 \int\frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x 解： \begin{align*}\int\frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{x+\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}(x+\sqrt{1-x^2})\\ &=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{1-x^2}|+C \end{align*} 例3.1.3：求不定积分 \int\frac{\sin x}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x 解：应用待定系数法，将 \sin x 改写为\begin{align*} \sin x&=A(\sqrt{2}+\sin x+\cos x)+B(\sqrt{2}+\sin x+\cos x)'+C\\ &=(A+C)+(A-B)\sin x+(A+B)\cos x \end{align*} 解得 A=\frac{1}{2} ，B=-\frac{1}{2} ， C=-\frac{1}{\sqrt{2}} . 故得\begin{align*} \int\frac{\sin x}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}\int\,\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(\sqrt{2}+\sin x+\cos x)}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sqrt{2}+\sin x+\cos x|-\frac{1}{2}\tan\bigg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\bigg)+C \end{align*} 添与拆的技巧例3.1.4：求不定积分： \int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^6}
解：\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^6}
&=\frac{1}{2}\int\frac{(1-x^2+x^4)+x^2+(1-x^4)}{(1+x^2)(1-x^2+x^4)} \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}+\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^6}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1-x^2}{1-x^2+x^4}\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{6}\int \frac{1}{1+(x^3)^2}\mathrm{d}(x^3)-\frac{1}{2}\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{6}\arctan x^3-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x})^2-3}\\ &=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{6}\arctan x^3-\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x^2-\sqrt{3}x+1}{x^2+\sqrt{3}x+1}\right|+C \end{align*}注：这样的凑配并不是个例，需要多留心多观察特殊凑配：\mathrm{d}\Big(ax\pm\frac{b}{x}\Big) : 存在的问题：是否需要讨论x>0,x=0,x<0?例3.1.5：求不定积分:
\int\frac{1}{1+x^4}\,\mathrm{d}x .解： \begin{align*} \int\frac{1}{1+x^4}\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}\int\frac{x^2+1}{1+x^4}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{x^2-1}{1+x^4}\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\mathrm{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\mathrm{d}\left(x+\frac{1}{x}\right)\\ &=\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\frac{x^2-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right|+C \end{align*} 注：\int\frac{1}{1+x^6}\,\mathrm{d}x ， \int\frac{1}{1+x^8}\,\mathrm{d}x ， \int\frac{x^2\mathrm{d}x}{(x^4+1)^2} ，\int\sqrt{\tan x}\,\mathrm{d}x 同样可凑配 \mathrm{d}\Big(ax\pm\frac{b}{x}\Big)练习3.1.6：求不定积分： \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x+x^{-1})^2-12}} .解：一方面，\begin{align*} \int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\sqrt{(x+x^{-1})^2-12}}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{1}{\sqrt{(x+x^{-1})^2-12}}\,\mathrm{d}\Big(x+\frac{1}{x}\Big)\\ &\xlongequal{x+\frac{1}{x}=u}\int\frac{1}{\sqrt{u^2-12}}\,\mathrm{d}u\\ &=\ln|u+\sqrt{u^2-12}|+C \end{align*} 另一方面，\begin{align*} \int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{(x+x^{-1})^2-12}}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{1}{\sqrt{(x-x^{-1})^2-8}}\,\mathrm{d}\Big(x-\frac{1}{x}\Big)\\ &\xlongequal{x-\frac{1}{x}=v}\int\frac{1}{\sqrt{v^2-8}}\,\mathrm{d}v\\ &=\ln|v+\sqrt{v^2-10}|+C \end{align*} 所以\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x+x^{-1})^2-12}}=\frac{1}{2}\big(\ln|u+\sqrt{u^2-12}|+\ln|v+\sqrt{v^2-8}|\big)+C 其中， u=x+\frac{1}{x},v=x-\frac{1}{x} 指数锁：虚调子：锁在于，原本在分子分母均应出现的指数项合并于分母。所以我们不妨称其为指数锁。我们不妨称这类为阴间凑配例3.1.7：求不定积分： \int\frac{f'(x)+f(x)g'(x)}{f(x)\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}\,\mathrm{d}x .解：注意到 \left(c+f(x)e^{g(x)}\right)'=e^{g(x)}\left[f'(x)+f(x)g'(x)\right] \begin{align*}\int\frac{f'(x)+f(x)g'(x)}{f(x)\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}\,\mathrm{d}x&=\int\frac{{\color{red}e^{g(x)}}\left[f'(x)+f(x)g'(x)\right]}{f(x){\color{red}e^{g(x)}}\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}\,\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}{f(x)e^{g(x)}\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}\\ &=\frac{1}{c}\int\left[\frac{1}{f(x)e^{g(x)}}-\frac{1}{c+f(x)e^{g(x)}}\right]\,\mathrm{d}\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]\\ &=\frac{1}{c}\left\{\int\frac{\mathrm{d}\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}{f(x)e^{g(x)}}-\int\frac{\mathrm{d}\left[c+f(x)e^{g(x)}\right]}{c+f(x)e^{g(x)}}\right\}\\ &=\frac{1}{c}\left[\ln\big|f(x)e^{g(x)}\big|-\ln\big|c+f(x)e^{g(x)}\big|\right]+C \end{align*} 例3.1.8：求不定积分： \int\frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}\,\mathrm{d}x 解：分母有 e^x，而分子没有。这说明可能有个 e^{ax} 被分子分母约掉了。尝试先把分母分母的 e^x 提出来，试试求导能不能凑。\begin{align*} \int\frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{xe^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{1+e^{-x}(x+2)^2}}\,\mathrm{d}x\\ &=-2\int\frac{\mathrm{d}\left((x+2)e^{-\frac{x}{2}}\right)}{\sqrt{1+e^{-x}(x+2)^2}}\\ &=-2\ln\left((x+2)e^{-\frac{x}{2}}+\sqrt{1+e^{-x}(x+2)^2}\right)+C \end{align*} 进一步可参考虚调子大佬的回答 例3.1.9：(JWCMC,2019)计算： \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x+1-x^2}{(1+x\sin x)\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x 解： 假设我们已经猜到这个不定积分是有初等原函数的！注意到\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x+x)=\cos x+1.
尝试求导\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{x+\sin x}{x\sin x+1}=\frac{\cos x(\cos x+1-x^2)}{(x\sin x+1)^2} 令 y:=\frac{x+\sin x}{x\sin x+1} , 则\begin{align*} I&:=\int\frac{\cos x+1-x^2}{(1+x\sin x)\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\int\frac{x\sin x+1}{\cos x\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}y\\ &\xlongequal{\text{观察}}\int\frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x^2)(1-\sin^2x)}{(x\sin x+1)^2}}}\,\mathrm{d}y. \end{align*} 希望 (1-x^2)(1-\sin^2x)=A(x+\sin x)^2+B(x\sin x+1)^2 . 注意到(1-x^2)(1-\sin^2x)=1-\sin^2x-x^2+x^2\sin^2x (x+\sin x)^2=x^2+2x\sin x+\sin^2x (x\sin x+1)^2=1+2x\sin x+x^2\sin^2x 观察可知(1-x^2)(1-\sin^2x)=(x\sin x+1)^2-(x+\sin x)^2. 故\begin{align*} I&=\int\frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x^2)(1-\sin^2x)}{(x\sin x+1)^2}}}\,\mathrm{d}y=\int\frac{1}{\sqrt{\frac{(x\sin x+1)^2-(x+\sin x)^2}{(x\sin x+1)^2}}}\,\mathrm{d}y\\ &=\int\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}=\arcsin y+C. \end{align*} 因此,I_1:=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x+1-x^2}{(1+x\sin x)\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=2\arcsin\bigg(\frac{4+\pi\sqrt{2}}{\pi+4\sqrt{2}}\bigg). 有兴趣的读者可以参考虚调子大佬的文章3.2 第二类换元法方法：三角换元/双曲换元、倒代换、欧拉代换、万能代换、双元法例3.2.1：求不定积分:
\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}} .解： \begin{align*}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}&=\int\frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt[3]{(x+1)^3(x-1)^4}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^2-1}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\mathrm{d}x\\ &\xlongequal[x=\frac{u^3+1}{u^3-1}]{\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}}\int\frac{u}{\biggl(\cfrac{u^3+1}{u^3-1}\biggl)^2-1}\cdot\frac{-6u^2}{(u^3-1)^2}\mathrm{d}u\\ &=-\frac{3}{2}\int \mathrm{d}u=-\frac{3}{2}u+C\\ &=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C \end{align*}注：一般情况，哪个复杂令哪个为 t 最小公倍数例3.2.2：求不定积分:
\int\frac{x^{1/7}+x^{1/2}}{x^{8/7}+x^{1/14}}\,\mathrm{d}x
.解： 1/7,1/2,8/7,1/14 分母 7,2,14 最小公倍数14，故令 t=x^{1/14}\Rightarrow \mathrm{d}x=14t^{13}\mathrm{d}t\begin{align*} \int\frac{x^{1/7}+x^{1/2}}{x^{8/7}+x^{1/14}}\,\mathrm{d}x &\xlongequal{t=x^{1/14}}\int\frac{t^2+t^7}{t^{16}+t}\cdot 14t^{13}\mathrm{d}t=14\int\frac{t^{14}(1+t^{5})}{t^{15}+1}\mathrm{d}t\\ &\xlongequal{\text{立方和}}14\int\frac{t^{14}}{t^{10}-t^5+1}\mathrm{d}t\\ &\xlongequal{u=t^5}\frac{14}{5}\int\frac{u^2}{u^2-u+1}\mathrm{d}t\\ &=\frac{14}{5}\int\frac{u^2-u+1+\frac{1}{2}(2u-1)-\frac{1}{2}}{u^2-u+1}\mathrm{d}t\\ &=\frac{14}{5}\int \mathrm{d}t+\frac{7}{5}\int\frac{\mathrm{d}(u^2-u+1)}{u^2-u+1}-\frac{7}{5}\int\frac{1}{u^2-u+1}\mathrm{d}u\\ &=\frac{14}{5}u+\frac{7}{5}\ln|u^2-u+1|+\frac{7}{5}\int\frac{1}{\big(u-\frac{1}{2}\big)^2+\frac{3}{4}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{14}{5}u+\frac{7}{5}\ln|u^2-u+1|+\frac{14\sqrt{3}}{15}\arctan\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)+C\\ &=\frac{14}{5}x^{5/14}+\frac{7}{5}\ln|x^{5/7}-x^{5/14}+1|+\frac{14\sqrt{3}}{15}\arctan\left(\frac{2x^{5/14}-1}{\sqrt{3}}\right)+C \end{align*}给出隐函数方程，求不定积分例3.2.3：设 y=y(x) 是由方程 (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) 所确定的隐函数, 求积分 \int\frac{1}{y(x^2+y^2+a^2)}\,\mathrm{d}x 解：令 y=tx , 代入所给的方程可得 x=\sqrt{2a}\frac{\sqrt{1-t^2}}{1+t^2}, 则y=\sqrt{2a}\frac{t\sqrt{1-t^2}}{1+t^2}\,,\;\mathrm{d}x=\sqrt{2a}\frac{t^3-3t}{(1+t^2)^2\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t 注意到 x^2+y^2+a^2=a^2\frac{3-t^2}{1+t^2} , 有\int\frac{1}{y(x^2+y^2+a^2)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2}\int\frac{\,\mathrm{d}t}{t^2-1}=\frac{1}{2a^2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{2a^2}\ln\left|\frac{x-y}{x+y}\right|+C 例3.2.4：设 y(x-y)^2=x , 求积分 \int\frac{1}{x-3y}\,\mathrm{d}x.解：令 \begin{cases}x-y=u\\\frac{x}{y}=v\end{cases} 即 u^2=v 解得 \begin{cases}x=\frac{uv}{v-1}=\frac{u^3}{u^2-1}\\y=\frac{u}{v-1}=\frac{u}{u^2-1}\end{cases}, \mathrm{d}x=\frac{u^4-3u^2}{(u^2-1)^2}\mathrm{d}u 所以\begin{align*}\int\frac{1}{x-3y}\,\mathrm{d}x=\int\frac{u}{u^2-1}\,\mathrm{d}u &=\frac{1}{2}\ln\left|u^2-1\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left|(x-y)^2-1\right|+C \end{align*} 倒代换：我们并不能局限于令 t=\frac{1}{x} ，根据具体的题目具体代换. 严谨的做法应讨论下 x 的正负例3.2.5：求不定积分:
\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}} .解：\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x-x^2}}-\int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}其中，\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x-x^2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\frac{5}{4}-(x+\frac{1}{2})^2}}=\arcsin\frac{2x+1}{\sqrt{5}}+C\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}&=\int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1+(x+1)-(x+1)^2}}\\ &\xlongequal{1+x=\frac{1}{t}}-\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{t^2+t-1}}=-\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}}}\\ &=-\ln|(t+\tfrac{1}{2})+\sqrt{t^2+t-1}|+C\\ &=-\ln\bigg|\frac{3+x+2\sqrt{1-x-x^2}}{2(1+x)}\bigg|+C \end{align*}从而\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}=\arcsin\frac{2x+1}{\sqrt{5}}+\ln\bigg|\frac{3+x+2\sqrt{1-x-x^2}}{2(1+x)}\bigg|+C例3.2.6：求不定积分:
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-1}} .解：\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-1}} &=\int\frac{1}{x^3\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\,\mathrm{d}\left(-\frac{1}{2x^2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\\ &=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+c \end{align*} 三角换元/双曲换元练习3.2.7：求不定积分： 计算不定积分 \int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}}\,\mathrm{d}x (其中根号 \sqrt{\;\;} 有 n 重)解：令 x=2\cos t , 则\begin{align*} \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} &=\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+2\cos t}}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+2\cos(\tfrac{t}{2})}}\\ &=\cdots=2\cos\bigg(\frac{t}{2^n}\bigg) \end{align*} 从而有\begin{align*} I&=-4\int\sin t\cos\bigg(\frac{t}{2^n}\bigg)\,\mathrm{d}t\\ &\xlongequal{\text{积化和差}}-2\int\left[\sin\bigg(\frac{2^n+1}{2^n}t\bigg)-\sin\bigg(\frac{2^n-1}{2^n}t\bigg)\right]\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{2^{n+1}}{2^n+1}\cos\left(\frac{2^n+1}{2^n}\arccos\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\right)-\frac{2^{n+1}}{2^n-1}\cos\left(\frac{2^n-1}{2^n}\arccos\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\right)+C \end{align*} 欧拉代换 ：形如R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) 的不定积分Euler第一替换：若 a>0 ，则令 \sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\sqrt{a}x+t Euler第二替换：若 c>0 ，则令 \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c} ，我们有 ax^2+bx+c=x^2t^2+2xt\sqrt{c}+c\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2} Euler第三替换：在 ax^2+bx+c 有两个实根的情形； ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)
可作替换 \sqrt{ax^2+bx+c}=(x-\alpha)t . 此时有 a(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)^2t^2 ，以及
a(x-\beta)=(x-\alpha)t^2\Rightarrow x=\frac{\alpha\beta-\alpha t^2}{a-t^2} 例3.2.8：求不定积分:
\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}} .解：（by 予一人）利用 \text{Euler} 代换，置 \sqrt{1-x-x^2}=xz-1, 则\begin{align*}z=\frac{1+\sqrt{1-x-x^2}}{x},x=\frac{2z-1}{z^2+1}, {\rm d}x=\frac{2(1+z-z^2)}{(z^2+1)^2}{\rm d}z, \end{align*}于是\begin{align*} \int\frac{x{\rm d}x}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}&=2\int\frac{2z-1}{z(z^2+1)(z+2)}{\rm d}z\\ &=2\int\left(\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{2(z+2)}-\frac{1}{2z}\right){\rm d}z\\ &=2\arctan z+\ln|z+2|-\ln|z|+C\\ &=2\arctan z+\ln\left|\frac{z+2}{z}\right|+C. \end{align*}例3.2.9：求不定积分:
\int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\,\mathrm{d}x .解：令 \sqrt{1+x+x^2}=tx+1 练习3.2.10：求不定积分: \int\sqrt{e^{2x}+4e^x-1}\,\mathrm{d}x 解：令 \sqrt{e^{2x}+4e^x-1}=e^x+t , 则 t=\sqrt{e^{2x}+4e^x-1}-e^x\Rightarrow x=\ln\frac{t^2+1}{4-2t}\begin{align*} \int\sqrt{e^{2x}+4e^x-1}\,\mathrm{d}x &=\int(e^x+t)\,\mathrm{d}x=\int e^x\,\mathrm{d}x+\int t\,\mathrm{d}x\\ &=e^x+\int t\left(\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1}{2-t}\right)\,\mathrm{d}t\\ &=e^x+\int\left(2-\frac{2}{t^2+1}-1+\frac{2}{2-t}\right)\,\mathrm{d}t\\ &=e^x+t-2\arctan t-2\ln(2-t)+C \end{align*} 练习3.2.11：求不定积分： \int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+2)\sqrt{3x^2-2x+5}} 解答源自：周民强《数学分析习题演练第一册（第二版）》, P347万能代换：令 u=\tan\frac{x}{2} , x\in(-\pi,\pi) ，则 \mathrm{d}x=\frac{2}{1+u^2}\mathrm{d}u \sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\tan x=\frac{2u}{1-u^2} 例3.2.12：求不定积分 \int\frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x 双元法：虚调子大佬原创(没看懂，暂时不写)详细虚调子的文章：利用含参变量积分的思路：含参的不定积分详细虚调子的文章：四、分部积分中的技巧分部积分：反对幂三指。可以先观察考虑被积函数内的某一项或者整体求导出来是什么？积分出来又是什么？哪一项求导/积分更容易？怎么才更容易化为更容易求解的？含x^n多次循环可以考虑：表格法（计算傅里叶系数可能用到）例4.1：求不定积分 \int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{x^4\cos^3x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2x}\right)\,\mathrm{d}x 解：观察分母 x^2\cos^2x ，联想到 \frac{f}{g} 的求导，而 (x\cos x)'=\cos x-x\sin x ；而 e^{x\sin+\cos x} 比较复杂，猜测需要凑或者分部，而 (x\sin x+\cos x)'=x\cos x \begin{align*} I&=\int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{x^4\cos^3x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2x}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\int e^{x\sin x+\cos x}x^2\cos x\,\mathrm{d}x+\int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{\cos x-x\sin x}{x^2\cos^2x}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\int x\,\mathrm{d}\left(e^{x\sin x+\cos x}\right)+\int e^{x\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}\left(-\frac{1}{x\cos x}\right)\\ &=xe^{x\sin x+\cos x}-\int e^{x\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x\\ &\phantom{=\,}-\frac{1}{x\cos x}e^{x\sin x+\cos x}+\int\frac{1}{x\cos x}x\cos xe^{x\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x\\ &=xe^{x\sin x+\cos x}-\frac{e^{x\sin x+\cos x}}{x\cos x}+C \end{align*} 表格法：考试时的实际应用一般最多是求傅里叶系数时用五、有理式函数的积分技巧有理式的拆分技巧：(1) 多项式的除法；(2) 直接拆然后比较系数；(3) 留数法有理式函数的积分技巧：奥斯特罗格拉茨基方法；Risch 算法比较系数法：直接拆然后比较系数例3.1.5：求不定积分 \int\frac{\mathrm{d}x}{(2+\cos x)\sin x} .解：比较系数法\begin{align*} \frac{1}{(2+\cos x)\sin x} &=\frac{A+B\cos x}{\sin x}+\frac{C\sin x}{2+\cos x}\\ &=\frac{(A+2B)\cos x+(2A+B\cos^2x+C\sin^2x)}{(2+\cos x)\sin x} \end{align*} 比较系数, 得\begin{array}{r@{\,=\,}l} A+2B&0\,,\\ 2A+B\cos^2x+C\sin^2x&1 \end{array}\quad\Longrightarrow\quad\bigg\{\begin{array}{@{}l} A=2/3,\\B=C=-1/3 \end{array} 于是\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{(2+\cos x)\sin x} &=\int\bigg(\frac{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cos x}{\sin x}+\frac{-\frac{1}{3}\sin x}{2+\cos x}\bigg)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{2}{3}\int\frac{1}{\sin x}\,\mathrm{d}x-\frac{1}{3}\int\frac{\cos x}{\sin x}\,\mathrm{d}x-\frac{1}{3}\int\frac{\sin x}{2+\cos x}\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac{2}{3}\ln(\cot x+\csc x)-\frac{1}{3}\ln\sin x+\frac{1}{3}\ln(2+\cos x)+C \end{align*} 多项式的除法：利用留数的定义拆有理式例5.1：求f(x)=\frac{x^2+5x}{(x-1)(x^2+1)}的最简分式解：设 f(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} 不难得到\begin{align*} A&=\lim_{x\to1}(x-1)f(x)=\frac{x^2+5x}{\cancel{(x-1)}(x^2+1)}\biggl|_{x=1}=3\\ Bi+C&=\lim_{x\to\mathrm{i}}(x^2+1)f(x)=\frac{x^2+5x}{(x-1)\cancel{(x^2+1)}}\biggl|_{x=\mathrm{i}}=-2\mathrm{i}+3 \end{align*} 例5.2：求不定积分 \int\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x .解：设 f(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1} 设x为x^2-x+1的一个根. \begin{align*} A&=\lim_{x\to-1}(x+1)f(x)=\frac{1}{\cancel{(x+1)}(x^2-x+1)}\biggl|_{x=-1}=\frac{1}{3}\\ Bx+C&=\frac{1}{(x+1)\cancel{(x^2-x+1)}}=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)}=\frac{x-2}{x^2-x-2}\xlongequal[x^2-x=-1]{}\frac{1}{3}(2-x) \end{align*} 于是\begin{align*} \int\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{3}\int\frac{2-x}{x^2-x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\ln(1+x)-\frac{1}{6}\int\frac{(2x-1)-3}{x^2-x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\ln(1+x)-\frac{1}{6}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\big(x-\frac{1}{2}\big)^2+\frac{3}{4}}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\ln(1+x)-\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \end{align*} 注：进一步可阅读《微积分进阶——讲稿(crop)》楼红卫，P130奥斯特罗格拉茨基方法例5.3：求不定积分 \int\frac{x\mathrm{d}x}{(x-1)^2(x+1)^3} .解：奥斯特罗格拉茨基方法\begin{align*} Q(x)&=(x-1)^2(x+1)^3\\ Q_1(x)&=(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\\ Q_2(x)&=(x-1)(x+1)x^2-1 \end{align*} 设 \frac{x}{(x-1)^2(x+1)^3}=\left(\frac{Ax^2+Bx+C}{x^3+x^2-x-1}\right)'+\frac{Dx+E}{x^2-1} ，则x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(A^2+Bx+C)(3x-1)+(Dx+E)(x-1)(x+1)^2 比较系数, 得\begin{array}{c|r@{\,=\,}l} x^4&D&0\,,\\ x^3&-A+D+E&0\,,\\ x^2&A-2B-D+E&0\,,\\ x^1&-2A-3C+B-D-E&1\,,\\ x^0&-B+C-E&0\,. \end{array}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} A=-\tfrac{1}{8},\\ B=-\tfrac{1}{8},\\ C=-\tfrac{1}{4},\\ D=0,\\ E=-\tfrac{1}{8} \end{cases} 于是\begin{align*} \int\frac{x\mathrm{d}x}{(x-1)^2(x+1)^3} &=-\frac{x^2+x+2}{8(x-1)(x+1)^2}-\frac{1}{8}\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-1}\\ &=-\frac{x^2+x+2}{8(x-1)(x+1)^2}+\frac{1}{16}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C \end{align*} 注：进一步可详解参考《微积分教程》菲赫金哥尔茨第二卷，P276六、非初等表达要知道对于绝大多数的不定积分是没有初等表达式的！因此，若不是有兴趣的读者(积佬)，可以暂时性放弃。判断某个不定积分是不是有初等表达，通常我们可以借助软件，手机上可以使用Wolfram Alpha，电脑上可以使用Mathematica，Matlab...来判别！而不是借助某些定理，如刘维尔定理，切比雪夫定理。注：绝大多数的不定积分非初等可以用Wolfram Alpha来判别，但一些阴间题有初等原函数mathematica却不能算是因為它沒有完全植入symbolic integration的一些算法。若用其他有內置該算法的CAS，例如Axiom，就可以輕鬆得到原函數。可以Google: Axiom sandbox例6.1：求不定积分 \int\ln\sin x\,\mathrm{d}x 解：\begin{align*} \int\ln\sin x\,\mathrm{d}x &\xlongequal{\text{分部积分}}x\ln\sin x-\int x\frac{\cos x}{\sin x}\,\mathrm{d}x\\ &\xlongequal{\text{欧拉公式}}x\ln\sin x-\int x\frac{\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2}}{\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}}\,\mathrm{d}x\\ &=x\ln\sin x-\int \mathrm{i}x\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}\,\mathrm{d}x\\ &=x\ln\sin x-\int \mathrm{i}x\,\mathrm{d}x-\int\frac{2\mathrm{i}xe^{-\mathrm{i}x}}{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}\,\mathrm{d}x\\ &=x\ln\sin x-\frac{1}{2}\mathrm{i}x^2+2\mathrm{i}\int\frac{x}{1-e^{2\mathrm{i}x}}\,\mathrm{d}x\\ &=x\ln\sin x-\frac{1}{2}\mathrm{i}x^2+2\mathrm{i}\int x\sum_{n=0}^{\infty}e^{2\mathrm{i}nx}\,\mathrm{d}x\\ &=x\ln\sin x+\frac{1}{2}\mathrm{i}x^2+2\mathrm{i}\sum_{n=1}^{\infty}\int xe^{2\mathrm{i}nx}\,\mathrm{d}x\\ &\xlongequal{\text{分部积分}}x\ln\sin x+\frac{1}{2}\mathrm{i}x^2-x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2\mathrm{i}nx}}{n}+\frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2\mathrm{i}nx}}{n^2}\\ &=x\ln\sin x+\frac{1}{2}\mathrm{i}x^2-x\ln(1-e^{2\mathrm{i}nx})+\frac{\mathrm{i}}{2}\mathrm{Li}_2(e^{2\mathrm{i}nx}) \end{align*}其中，\mathrm{Li}_{2}(x) 为二重对数函数. 2021年8月25日，更新了本文文档的初稿参考文献[1] 周民强. 数学分析习题演练[M]. 科学出版社, 2006.[2] 薛春华, 徐森林. 数学分析精选习题全解.上册[M] 数学分析精选习题全解．上册. 清华大学出版社, 2009.[3] 陈兆斗. 大学生数学竞赛习题精讲[M]. 清华大学出版社, 2011.[4] 楼红卫. 微积分进阶[M]. 科学出版社, 2009.[5] 金玉明. 积分的方法与技巧[M]. 中国科学技术大学出版社, 2017.[6] pisco125：积分竞赛第三季Qn31https://tieba.baidu.com/p/4951191193?pn=3

常用积分法汇总楼主问的是运算技巧（心算技巧），也就是碰见什么样的类型应该往哪里想、解题套路。基于此，宝刀君将常见积分法进行了分类，然后以例题讲解的形式说下各个题型应该怎么操作。【注1】：帖子内容有些长，全部阅读完预计20分钟，建议大家耐心一些看，有纸和笔的小伙伴最好尝试着做下，这样便于比较技巧方法是否有帮助~【注2】：以下内容来源于宇哥课堂上所讲内容的整理，在此谢谢宇哥考研团队！【注3】：后期若在学习中有新的经验总结，我会及时整理！备注于2017年6月16日
（一）凑微分法凑微分法在考研里面也叫第一类换元法，但是叫凑微分其实更能说明本质特征，因为它不是真正意义上的换元。常见的公式表之类的，我就不贴了，这里仅仅提供一些凑微分法解题过程中总结的常用公式（课本没有），这样做题时碰见了，可以立马写出来，节省时间（如果对三角函数凑微分推不出来的，我可以附带推导过程）掌握了上面的凑微分公示表，那么基本的题目都可以处理。下面说一些稍微复杂的，如下面这道题： 简单的题目，你可以试探性的凑微分，这种复杂的，你拿到题，瞬间感觉无从下手。这里给大家介绍一个常用的做题技巧：对被积函数中的复杂项进行试探性的求导！为什么这样做呢？因为你对复杂项求导后，一般会发现被积函数表达式中含有求导后的项，这样就可以进行约分。比如对于这个题，复杂部分就是分母了，尤其是分母中的第二项，我们尝试着对这个主要矛盾进行求导：现在的问题是：求导后得到的，只是原式的一部分，并不是全部！因此，这时候就需要凑了，即上下同时乘以（除以）相同的因式，用恒等变形的办法以达到凑微分的目的。所以，本题的完整操作步骤如下： 总结一下学好凑微分的技巧：1 背熟常见的凑微分公示表，灵活运用；2 对被积函数中的复杂项（主要矛盾）进行试探性的求导！如果求导后不是被积函数表达式中某些量的倍数，可以考虑分子分母同时乘以（除以）相同的因式，用恒等变形来达到凑微分的目的。
（二）换元法（考研考试的主体）换元法的引出，是在凑微分法（第一类换元法）失效时出现的，数学上当一个积分很复杂，又无法用凑微分的形式做出来时，就需要考虑采用换元法了，即换自变量。
换元法的解题套路主要有3个：1 三角代换2 倒代换 3 复杂项的整体直接代换下面详细解释下这三个：1--三角代换：一般被积函数有根号的，出现平方和或者平方差时，采用三角代换。这一点估计大多数学生都有这种感觉，都能掌握，在此不做啰嗦。三角代换书上给了好多常见的处理思路，如图：倒代换：一般出现分式，且分子分母次数不一致，分子次数低、分母次数高时，考虑使用倒代换。关于这个倒代换，很多在这块没有达成一致，因为大部分人对这个“倒”的理解是用1/t代替x,也有人对这个“倒”的理解是用新的变量求出不定积分后，再将新变量还原成原来的变量，即“倒回去了”，这是一种广义的理解。因为换元法的三个解题套路的最后一步都是要还原回去呀！这里为表述方便，作者自创性的提出新的名词：正代换和倒代换。
倒代换在这里的意思是：最常见的就是换成n=1的情形了。正代换在这里的意思是因为有些时候用正代换更好处理，比如下面这个题：可以看出对上题，用正代换处理起来更方便一些。复杂项的整体直接代换：这是一个不太容易想得到的技巧，但是考研的辅导书中的习题解答上经常出现。
哲学是所有学科之首，哲学理念告诉我们，遇到问题时，应该抓住解决问题的主要矛盾，换元积分法中的复杂项整体代换体现的就是这个思想。 什么意思呢？举几个例子就明白了： 比如说碰见这样一个题：
拿到手后感觉无从下手啊！怎么办？做复杂项的整体代换！谁是复杂项？当然是根号那个式子了！于是就有如下的解题步骤：再举一个例子：又如：
先判断谁是复杂项？复杂项是分母的根式，做整体复杂项的代换。就令分母为t，试试看：这种思路还是很巧妙地，如果其他方法都没有头绪时，可以考虑使用此方法。
（三）分部积分法关于分部积分法，技巧或者说学生经常疑惑的地方就是两个：1 学生知道“反对幂三指”这个口诀，但是具体应用时总是将时间浪费在这个排序上，太耗时了，也就是说：想找个简易的判断谁当U，谁当V的办法。2 学生已经判断出U和V了，但是接下来的积分过程比较慢，想要个快速展开分部积分表达式的方法。首先我们要想清楚的是：分部积分应用在哪些场景呢？ 换句话说，在什么情况下，我们会考虑到使用分部积分？主要有两个原因：1 被积函数表达式出现了不同类型函数的乘积；2 在1的基础上，求udv的积分困难，但是求vdu的积分好求时。基于以上两点，我们的数学系前辈们发明了分部积分。我们先弄明白了分部积分的诞生来源，接下来需要考虑的是，考研真题或者说平时做题过程中，都会遇到哪些类型的函数进行相乘呢？ A.如何快速判断出U和V？基本上常见的就是这几种类型，或者是这几个混搭，大学里老师在教这块时，经常会告诉大家一个口诀，叫做：“反对幂三指”，也有的叫：“反对幂指三”。意思是说，当这几个类型的函数相乘时，取U的顺序就按这个来，谁排在前面，就选谁当做U。比如说：反三角函数和对数相乘求积分，一般要设反三角为U，对数为V，这样再积分才容易计算。 根据分部积分的推导过程，宝刀君用通俗易懂的话来解释下： 这个U和V就好像是两个人一起干活，一个干求导，一个干积分，现在的目标是积分求出他们两乘积的原函数，你是主人，要协调好这两个人，选出那个易于求导的U和还易于积分的V，让他们干自己容易干的活。诺，你看，现在的情况是出现了dv（对v求导）困难了，而对U求导比较简单（du），因此才出现了分部积分公式。就拿上面的那3个类型进行说明吧，比如对于第一种类型，多项式和其他类型相乘时，我们选谁当做U呢？当然是选择求导简单的当做U了，而多项式和三角函数、指数函数相乘时，很明显对于多项式更容易求导，因此我们选择多项式做为U。 对于第二种类型，指数函数和三角函数相乘，这两个求导和积分都差不多，选这个当做U或者当做V，都不是什么困难的事，这就是口诀为什么有 “反对幂三指”和“反对幂指三” 两个版本的原因。对于第三种类型，多项式和对数或者反三角在一块，你这时候就要留意了，因为对于多项式来讲，对它求导或者积分都不是什么困难的事，但是对于反三角函数来说，对它求积分好像确实是有点困难，反倒是对反三角求导比较简单一些。因此，在类型3中，我们往往将对数和反三角函数作为U。总结一下：当我们碰到一个被积函数为两个不同类型的相乘时，下意识要使用分部积分了，此时你可以不用背口诀，你就简单的想，我让谁去求导且剩下的那个人干积分还不是很困难，那我就选谁当做U。 B.如何快速展开分部积分表达式？大家耐心一些，先举三个例子，看明白就知道怎么快速展开了：可以看出，这个表格的第一行是写容易求导的人，对U不断地求导，第二行是写容易积分的人，对V不断地做积分，那么，根据表如何写出下来的表达式呢？ 口诀就是：“以U为起点，左上右下，错位相乘，正负相间，最后一项写积分”。有同学会问：我求导到啥时候？正负号如何规定的？用这个表怎么写展开式呢？对于本题来讲，第一行要对多项式求导至0,。正负号是这样规定的，规定第一项为正，接下来是负号，就这样按顺序写就行。表格的最后一项是积分，被积函数是U的最后一项和V的最后一项的乘积。按顺序写完后，依次写下去整理即可。再看第二个例子：由于三角函数在求两次导后，会出现原型，因此，这类一般第一行“求导至循环”。最后，再来第三个例子：对于反三角函数或者对数函数做U求导，一般只求一次导，即求导至反三角符号和对数符号消失为止。通过以上3个例子的介绍，相信大家对这个分部积分的推广公式如何使用应该有了一定的印象，宝刀君本不想列上这个推广公式的正式写法，但是为表严谨，还是写出来：总结一下：对于两个不同的函数乘在一起做积分，我们就要权衡好谁来求导简单一些，谁做积分更容易一些，然后用分部积分的推广公式来展开。大家可以不用死记硬背分部积分那么长的推广公式，你就记住一点：我对第一行求导，对第二行做相应的积分，求导到什么程度呢？多项式一般是求导到0，三角函数一般是求导至循环，反三角和对数是求导至符号消失，最后利用口诀：“以U为起点，左上右下，错位相乘，正负相间，最后一项写积分”的原则，就可以快速、正确的写出分部积分的表达式！
（四）有理函数积分法这个积分方法不难理解，但难的是因式分解后的系数计算量，凡是涉及到大型考试的，基本上共同的特点就是计算量大！这里介绍一个因式分解后快速计算系数的方法：恒等式特殊值代入法。举两个例子，大家可以体会下：先举个简单的例子：如果用恒等式特殊值代入法，那么这个题就可以快速求出A、B、C参数值。比如，我么可以对***式分别代入：这个相比刚才的算法，计算量少了好多。也许有人会问， 你这种方法的理论依据是什么？其实就是恒等式，因为在恒等式中变量x以任何值代入，等号两边均应相等，因此给X以适当的值，可以得到关于因式分解参数的更为简便的条件。再举一例，相信大家对此的感触就更深了。因此结果为：总结一下：以上几个方法就是在不定积分领域出现的积分方法，各有各的特征，大家拿到题后，对号入座，哪个合适用哪个。当然，这只是不定积分的积分法，如果扩展到定积分里面，这四个方法照用（只不过在换元法中要注意变量的正负号问题，这个后期再展开讲），另外，定积分的积分法中 对定积分的性质得掌握要求更多一些，比如：
以上内容呢，就是常见的积分法汇总。最后，总结一下这篇帖子里主要讲解的积分技巧：1、凑微分法中：碰见复杂的，尝试对复杂项进行求导，再进一步用恒等变形的思路处理被积表达式，往往有意外的收获~2、换元法中：根据抓住问题的主要矛盾的思想，对复杂项考虑整体代换；3、分部积分法：U和V如何取舍？如何快速展开？（快速展开这个技巧会非常受益，哈哈，谁用谁知道哦~）4、有理函数积分法：因式分解后，如何快速求解各个系数？（利用恒等式的思想代入特殊值）宇哥所讲的“换元法中对复杂项进行整体代换”、以及“”有理函数积分法中利用恒等式的思想求解系数“令人耳目一新，如果学习复变函数的同学，其实也知道系数也可以用留数法进行求解。而分部积分法的列表格展开，和宝刀君大一学习高数时，高数老师讲的如出一辙。好啦，以上那个就是现阶段整理的（打了这么多字，贴了这么多图，好辛苦呀），后期如果学习过程中还有新的学习体会，宝刀君（欢迎大家关注我的微信公号：BDJ0501）还会再回来更新，如果您觉得这篇帖子对您学习或者考试有帮助，麻烦伸出可爱的手指头点个赞，鼓励我继续创作，谢谢啦！