为什么平稳随机过程的自相关函数数会随着延迟时间增加而减小？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-25 02:20 标签： 平稳随机过程的自相关函数

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时间序列是指同一个体在不同时点上的观测数据。根据时间序列的随机过程特性平稳序列非平稳序列时间序列的最大特点是通常存在自相关，即不同期的观测值之间存在相关性。为了度量这种相关性，引入以下概念：k阶自协方差定义： 时间序列
\{y_t\} 的k阶自协方差为\gamma_k \equiv Cov(y_t,y_{t+k}) = E[(y_t - \mu)(y_{t+k} - \mu)] 其中， \mu \equiv E(y)
为总体均值。 \gamma_k
反映了同一变量（y）相隔 k 期之间的自相关程度。显然，当 k=0 时， \gamma_0 \equiv Var(y) 。对
\gamma_k 的估计值为样本自协方差\hat \gamma_k \equiv \frac{1}{T - k} \sum_{t = 1}^{T - k}(y_t - \overline y)(y_{t + k} - \overline y) 其中， \overline y \equiv \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^T y_t
为样本均值。在上式中，由于间隔 k 期，故求和范围为
t = 1,\dots,(T - k) ;其中求和的最后一项为
(y_{T - k} - \overline y)(y_T - \overline y) 。然而，自协方差首变量单位影响。为此，考虑将其标准化。k阶自相关系数定义：时间序列
\{y_t\}
的k阶自相关系数为\rho_k \equiv Corr(y_t,y_{t+k}) \equiv \frac{Cov(y_t,y_{t+k})}{Var(y_t)} 自相关系数 \rho_k
将自协方差 \gamma_k 标准化为介于 [-1,1] 之间的量。显然，对于严格平稳过程， \rho_k 不依赖于具体时间，而仅仅滞后阶数 k 的函数，称为“自相关函数”。将 (k,\rho_k) 画成图，即为“自相关图”。由于自相关函数关于原点对称 (\rho_k = p_{-k}) ，故一般只画自相关图的正半边。 \rho_k 的估计值为样本自相关系数：样本自相关系数\hat \rho_k \equiv \hat \gamma_k / \hat \gamma_0 其中， \hat \gamma_0 \equiv \frac{1}{T - 1} \sum_{t=1}^T (y_t - \overline y)^2 为样本方差。协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。\begin{align} Cov(X,Y) &= E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &= E[XY] - 2E[Y]E[X] + E[X]E[Y] \\ &= E[XY] - E[X]E[Y] \end{align}

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