知识点1 正数和负数的概念

(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

(2) 像－3、－1.5、-1/2、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。

(3) 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

(1) 为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5也可以写作＋3、＋1.5。

(2) 对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a一定是负数吗？答案是 不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？

我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了 正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点1 有理数的有关概念

有理数：整数和分数统称为有理数。

注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

(3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。

知识点2 有理数的分类

(1) 按整数、分数的关系分类：

(2) 按正数、负数与0的关系分类：

注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。

数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云：

数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形少数是难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！

数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。

1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包含三层含义：

(1) 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；

(2) 数轴有三要素—— 原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；

(3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

(1) 画一条直线（一般画成水平的直线）。

(2) 在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

(3) 确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

(4) 选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……

(1) 原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

(2) 确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；

3.数轴上的点与有理数的关系：

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

4.利用数轴比较有理数的大小：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

(1) 相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如，4与－4互为相反数。

(2) 相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数。

任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

0是唯一一个相反数等于本身的数。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

若a与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）

若a+b=0（或a=-b），则a与b互为相反数。

4.求一个数的相反数的方法：（见书）

(1) 在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

(2) 在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。

知识点5 绝对值的概念

1.绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“丨a丨”

2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

知识点6 有理数大小的比较

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

利用数轴，在数轴右边的数永远大于左边的数。

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

相加的两个有理数有以下几种情况：

（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；

（4）一个是正数，一个是0；

（5）一个是负数，一个是0；

知识点2 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

知识点3 有理数加法的运算定律

（1）加法交换律：a+b=b+a。

知识点4 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。

知识点5 有理数的加减混合运算

1.有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法

(1) 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

(2) 运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

知识点1 有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

乘积是1的两个数互为倒数。

由于a×1/a(a≠0) ，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是1/a。若a、b互为倒数，则ab＝1。

知识点3有理数乘法法则的推广

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。

知识点4 有理数乘法的运算定律

（1）乘法交换律：ab=ba。

知识点5 有理数除法法则

(1) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

知识点6 有理数的乘除混合运算

知识点7 有理数的四则混合运算

先乘除，后加减，如果有括号，就先算括号里面的。同级运算中，要按照从左到右的顺序。

知识点1 有理数乘方的意义

知识点2 有理数乘方运算的性质

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。0的任何次幂都是0。

知识点3 有理数混合运算的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

知识点5 研究近似数的意义

在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。

出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千米；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。

四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。

方法技巧2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。

方法技巧3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

第一章 有理数单元测试卷

一、精心填一填，你准成（每题3分，共30分）

1．水库水位上升3米记作+3米，那么下降了2米记作_____米．

2．在5，－，0，－2，中正数有______个，整数有_____个．

3．－│－7│的相反数为____，相反数等于本身的数为_______．

5．某商品袋上标明净重1000±10克，这说明这种食品每袋合格重量为______．

9．2002年，我国城市居民每人每日油脂消费量，由1992年的37克增加到44克，脂肪供能比达到35%，比世界卫生组织推荐的上限还要多5个百分点，则世界卫生组织推荐的脂肪供能比的上限为________．

10．按规律写数，－，，－，…第6个数是______．

二、细心选一选，你准行（每题3分，共30分）

11．绝对值等于它的相反数的数是（ ）

A．负数 B．正数 D．非正数 D．非负数

12．把－，－1，0用“>”号连接起来是（ ）

13．如果│x+y│=│x│+│y│，那么x，y的符号关系是（ ）

A．符号相同 B．符号相同或它们有一个为0

C．符号相同或它们中至少有一个为0 D．符号相反

15．下列各式计算正确的个数为（ ）

①－1－1=－2 ②－（－2）3=8 ③（－1）+（－3）=5 ④（－）÷4×=－

16．a，b在数轴位置如图1－1所示，则│a│与│b│关系是（ ）

17．如果0<a<1，则a2，a，的由大到小排序正确的是（ ）

18．某市一块面积为1986亩的商业用地竞拍中以60万元/亩的价格成交，用科学记数法表示这块地总价为（ ）

20．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g不超过40g付邮费1.60元，依此类推，每增加20g增加邮费0.80元（信的质量在100g以内），如果每人所寄信的质量为72.5g，那么应付邮费（ ）

三、用心做一做，马到成功（共60分）

21．计算题（每题4分，共16分）．

（1）（－8）÷[（－）×（－）÷（－2）]; （2）（－36）×（－+－）;

（3）（－）2÷（－）2÷│－6│2×（－）2

（4）│－1│+│－│+│－│+……+││

22．（6分）在一次食品安检中，抽查某企业10袋奶粉，每袋取出100克，检测每100克奶粉蛋白质含量与规定每100克含量（蛋白质）比较，不足为负，超过为正，记录如下：（注：规定每100g奶粉蛋白质含量为15g）

（1）求平均每100克奶粉含蛋白质为多少？

（2）每100克奶粉含蛋白质不少于14克为合格，求合格率为多少？

23．（6分）由数轴回答下列问题（如图1－2所示）

（1）A，B，C，D，E各表示什么数？（2）用“<”把这些数连接起来．

24．（8分）（1）用简便方法计算3.125－2－（3.75－6）

（2）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求x2+x+cdx2009值．

（2）如图1－3所示是一名计算机D盘属性图的一部分，从中可以求出该硬盘D的容量为多少字节？合多少GB？（字节用科学记数法表示，保留三位有效数字）

26．（6分）阅读理解题

（1－－）÷（－）+（－2）÷

解答：原式=（1－－）×（－）+（－2）× ①

=×（－）+（－）×（－）+（－）×（－）+（－2）× ②

（1）①中运用了_____法则；②中运用了______律．

（3）指出－32－12（－）÷（－2）运算顺序，写出每步结果．

27．（10分）阅读下列材料，解答问题

材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳：①印花税：按成交金额0.1%计算；②过户费：按成交金额的0.1%计算；③佣金：按不高于成交金额的0.3%计算（本题按0.3%计算），不足5元按5元计算．

某投资者以每股5.00元的价格在沪市A股中买入股票“金杯汽车”1000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利多少？

8．倒数，负倒数 9．30% 10．－

21．解：（1）原式=－8÷[（－）×（－）×（－）]

（2）其中－3，－4，－5，－1.5为不合格

26．解：（1）乘法法则，分配律

（2）原式=－2+1－－=－3

（3）第1步计算小括号内的－=－

第2步计算－32=－9

第3步计算12×（－）÷（－2）

这里应从左至右运算，或将除法转化为乘法

12×（－）×（－），结果为1

第4步计算－9－1，结果为－10．

27．解：直接成本：5×（元）

总收入5.50×（元）

所以这次交易共盈利：5500－.50（元）

来源丨网络 欢迎收藏及转发至朋友圈

版权归属原作者所有，如有侵权请联系我们