两个多项式的最大公因式a-b的差乘m+n的和减-m--n的差乘b-a提公因式时公因式是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-01 00:12 标签： 两个多项式的最大公因式

中考数学专题系列四十六：初中数学因式分解应该按怎样的思路解答

初中数学多项式的因式分解，教材上就讲了两种方法：提取公因式法和运用公式法，为了适应高中数学的要求，一般还会补充两个方法：十字相乘法和分组分解法，拆项、添项一般就作为了解，不作为重点加以补充了。多项式的因式分解正好是整式乘法的一个逆向思维过程，所以孩子们接受比较困难，如果单独用某一个方法，孩子们还比较易于接受，但如果用到两个或两个以上的方法时，孩子们就会出现提取公因式不全面、分解不彻底等错误，所以，学完所有的因式分解方法后，都会来一个综合性的专题训练，并且根据初中因式分解的特点编了一个关于思路的顺口溜“公因式先提，二方三完十，超三分组没问题，分解要彻底”。

一、解读顺口溜。每做一个因式分解题，都要先看多项式有几项，再看有无公因式，如果有公因式，则先提公因式（公因式先提），若没有公因式，如果是两项，则用平方差公式，如果是三项，则用完全平方公式或十字相乘法（二方三完十，“方”代表平方差，“完”代表完全平方公式，“十”代表十字相乘）；如果多项式超过三项，则一定要分组（超三分组没问题）；上述思维过程是循环式的，最后结果一定保证所有的因式都不能分解为止（分解要彻底）。特例，若多项式不能提取公因式，又符合两项或三项，但是又不能用平方差或完全平方公式，我把这样的式子称为“烂摊子”，这时需把原式打乱重新整理后，再按“公因式先提，二方三完十，超三分组没问题，分解要彻底”的思路进行因式分解。下面通过练习题强化上述思维过程。

分析：（1）有两项9m(a-b)和4n(b-a)，其中4n(b-a)变成-4n(a-b)后，两项有公因式(a-b)，提取公因式(a-b)得9m(a-b)+4n(b-a)=9m(a-b)-4n(a-b)=(a-b)（9m-4n）（公因式先提）。式子9m-4n是新得到的，再按上述思维过程思考一遍，发现既不能提取公因式，也不能运用平方差公式，说明分解彻底了。

（3）有三项－3x、18x和－27x ，三项有公因式-3x ，提取公因式-3x 得－3x＋18x－27x=-3x（x-6x+9）（公因式先提），式子x-6x+9是新得到的，再按上述思维过程思考一遍，发现x-6x+9能运用完全平方公式分解，x-6x+9=（x-3）（三完十），其中的x-3不能再分解了，说明分解彻底了。即－3x＋18x－27x=-3x（x-6x+9）=-3x（x-3）。此处易错点也是分解不彻底。

（4）有两项（m＋n）和－4mn，两项没有公因式，因为两项，考虑平方差公式，可以运用平方差公式分解，于是（m＋n）－4mn=(m＋n+2mn)（m＋n-2mn）（二方）。式子m＋n+2mn和m＋n-2mn都是新得到的，再按上述思维过程思考一遍，发现m＋n+2mn和m＋n-2mn都能运用完全平方公式分解，m＋n+2mn=（m+n），m＋n-2mn=（m-n）（三完十），其中的m+n和m-n都不能再分解了，说明分解彻底了。即（m＋n）－4mn=(m＋n+2mn)（m＋n-2mn）=（m+n）（m-n）。此处孩子们不习惯把m＋n看成一个整体。

（5）有三项4(x＋y)、4(x＋y)和1，三项没有公因式，所以考虑完全平方公式，可以运用完全平方公式分解，于是4(x＋y)＋4(x＋y)＋1=[2（x＋y）+1]=（2x＋2y+1）（三完十），新得到的式子2x＋2y+1不能再分解了，说明分解彻底了。

（6）有四项，所以分组（超三分组没问题），x+xy-xy-y=（x+xy）-（xy+y），其中x+xy有两项，能提公因式x，x+xy=x（x+y）；xy+y有两项，能提公因式y，xy+y=y（x+y）；所以原式=x（x+y）-y（x+y），新得到的式子x（x+y）-y（x+y）仍按“公因式先提，二方三完十，超三分组没问题，分解要彻底”的思维过程进行思考，有两项，有公因式x+y可提，得原式=（x+y）（x-y），新得到的式子x-y又能运用平方差公式分解，x-y=（x+y）（x-y），而x+y和x-y都不能再分解了，说明分解彻底了。所以x+xy-xy-y=（x+xy）-（xy+y）=x（x+y）-y（x+y）=（x+y）（x-y）=（x+y）（x+y）（x-y）=（x+y）（x-y）。

（7）有两项（x－1）（x＋4）和－36，没有公因式，考虑平方差公式，不能用，此时可宣布（x－1）（x＋4）－36是“烂摊子”，所以打乱重新整理，得到（x－1）（x＋4）－36=x+3x-40，再看x+3x-40，没有公因式，三项又不能用完全平方公式，所以考虑十字相乘法，可以的，x+3x-40=（x+8）（x-5）（三完十）,新得到的式子x+8和x-5不能再分解了，说明分解彻底了。所以（x－1）（x＋4）－36=x+3x-40=（x+8）（x-5）。

通过上面七个题目的练习，大家明确了因式分解的解题思路了吗？以后将要学习的分式、一元二次方程、二次函数等都要用到因式分解，所以因式分解也是一个非常重要的内容。

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