自然数1~5次方前n项和の通项公式+证明①

自然数1~5次方前n项和の通项公式+证明②

√自然数 k 次方前n项和通项公式③

心急的小伙伴，可以直接跳过下文"*"号打头的句子。

*哇哦，距离上一篇文章发布过了好久啊！
*因为之前研究时计算量太庞大而懈怠了，把这个系列搁置了好久。
*上个星期回来知乎一康——关注人数这么多了？(对我来说很多了)
*所以决定把这个坑填一下吧！

• *由于计算 k=6,7,8 的情况时使用前两篇文章的方法非常吃力，所以这篇文章不再采取前两篇文章的方法，从零开始定义一切，更简单的计算出自然数 k 次方前n项和通项公式。
• (本文中所有 k,n 均属于正整数)
• 设自然数 k 次方前n项和通项公式表示为 \sum_{i=1}^{n}{i^k}，这里先把通项公式放出来：

• 哇哦！太吓人了，不急，我们慢慢来：

移项化简后得到粗加工的通项公式：

其实 \varphi_k(i) 就是前两篇文章提到的"弥补函数"。

• 花一段很长的时间，去探究一个自己感兴趣的问题，是个很奇妙的过程。
• 虽然知道自然数k次方前n项和和伯努利数有关，但到头来还是不知道伯努利数是个啥qwq。
• 本文所提及的所有公式与证明过程均出自笔者，没有参照其他网站的证明过程(一是找不到,二是懒)。

• 当然也许本文的证明过程没有多少的技术含量，也不一定回是最优解。笔者会定时回来修改证明过程以让其尽可能达到最优化。
• 这个系列也告一段落了。什么时候笔者又遇到了感兴趣的问题，下一篇文章也会适时到来 ╮( ￣▽￣ )╭ 。

如果你喜欢我的文章，记得点赞关注常来哦。

我是卿璃姊，最喜欢胡思乱想了。

2022年11月15日发(作者：安全漫画)

二进制数转换成十进制数

二进制的1101转化成十进制

转化成十进制要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方

相反用十进制的13除以2每除一下将余数就记在旁边

最后按余数从下向上排列就可得到1101

用2辗转相除至结果为1

将余数和最后的1从下向上倒序写就是结果

从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...位

第n位的数（0或1）乘以2的n次方

得到的结果相加就是答案

二进制=十进制107．

由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权

系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。

本人有个更直接的方法，例如二进制数1000110转成十进制数可以看

数字中共有三个1即第二位一个，第三位一个，第七位一个，然后十

1的位数减一。如此计算只需要牢记2的前十次方即可在此本人为大家陈述

在这里仅为您提供前16次方，若需要更多请自己查询。

编辑本段十进制数转换为二进制数

十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以

先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。

1.十进制整数转换为二进制整数

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做

法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又

会得到一个商和余数，如此进行，直到商为一时为止，然后把先得到的余

数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，

2．十进制小数转换为二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做

法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘

余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直

到积中的整数部分为零，或者整数部分为1，此时0或1为二进制的最后一

位。或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数

的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

（该版课程的内容更新及订正均已停止）

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第六章二进制、八进制、十六进制

6.1为什么需要八进制和十六进制?

6.2二、八、十六进制数转换到十进制数

6.2.1二进制数转换为十进制数

6.2.2八进制数转换为十进制数

6.2.3八进制数的表达方法

6.2.4八进制数在转义符中的使用

6.2.5十六进制数转换成十进制数

6.2.6十六进制数的表达方法

6.2.7十六进制数在转义符中的使用

6.3十进制数转换到二、八、十六进制数

6.3.110进制数转换为2进制数

6.4二、十六进制数互相转换

6.5原码、反码、补码

6.6通过调试查看变量的值

这是一节“前不着村后不着店”的课。不同进制之间的转换纯粹是数学上的计算。不过，你不必担心会有么复杂，无非

生活中其实很多地方的计数方法都多少有点不同进制的影子。

比如我们最常用的10进制，其实起源于人有10个指头。如果我们的祖先始终没有摆脱手脚不分的境况，我想我们现在

一定是在使用20进制。

至于二进制……没有袜子称为0只袜子，有一只袜子称为1只袜子，但若有两袜子，则我们常说的是：1双袜子。

生活中还有：七进制，比如星期。十六进制，比如小时或“一打”，六十进制，比如分钟或角度……

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6.1为什么需要八进制和十六进制?

编程中，我们常用的还是10进制……必竟C/C++是高级语言。

不过，由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。

但，二进制数太长了。比如int类型占用4个字节，32位。比如100，用int类型的二进制数表达将是：

面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。因此，C,C++没有提供在代码直接写二进制数的方法。

用16进制或8进制可以解决这个问题。因为，进制越大，数的表达长度也就越短。不过，为什么偏偏是16或8进制，

而不其它的，诸如9或20进制呢？

2、8、16，分别是2的1次方，3次方，4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制

缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。在下面的关于进制转换的课程中，你可以发现这一点。

6.2二、八、十六进制数转换到十进制数

6.2.1二进制数转换为十进制数

二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……

所以，设有一个二进制数：，转换为10进制为：

0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：

6.2.2八进制数转换为十进制数

八进制数采用0～7这八数来表达一个数。

八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……

所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：

1507换算成十进制。

同样，我们也可以用横式直接计算：

结果是，八进制数1507转换成十进制数为839

6.2.3八进制数的表达方法

C,C++语言中，如何表达一个八进制数呢？如果这个数是876,我们可以断定它不是八进制数，因为八进制数中不可能出

7以上的阿拉伯数字。但如果这个数是123、是567，或，那么它是八进制数还是10进制数，都有可能。

所以,C,C++规定，一个数如果要指明它采用八进制，必须在它前面加上一个0，如：123是十进制，但0123则表示采用

八进制。这就是八进制数在C、C++中的表达方法。

由于C和C++都没有提供二进制数的表达方法，所以，这里所学的八进制是我们学习的，CtC++语言的数值表达的第二种

现在，对于同样一个数，比如是100，我们在代码中可以用平常的10进制表达，例如在变量初始化时：

inta=0144;//0144是八进制的100；一个10进制数如何转成8进制，我们后面会学到。

千万记住，用八进制表达时，你不能少了最前的那个0。否则计算机会通通当成10进制。不过，有一个地方使用八进制

数时，却不能使用加0，那就是我们前面学的用于表达字符的“转义符”表达法。

6.2.4八进制数在转义符中的使用

我们学过用一个转义符''加上一个特殊字母来表示某个字符的方法，如：'n'表示换行(line)，而't'表示Tab字符，

'''则表示单引号。今天我们又学习了一种使用转义符的方法：转义符''后面接一个八进制数，用于表示ASCII码等于该

比如，查一下第5章中的ASCII码表，我们找到问号字符（?)的ASCII值是63，那么我们可以把它转换为八进值：

77，然后用'77'来表示'?'。由于是八进制，所以本应写成'077'，但因为C,C++规定不允许使用斜杠加10进制数来表

示字符，所以这里的0可以不写。

事实上我们很少在实际编程中非要用转义符加八进制数来表示一个字符，所以，6.2.4小节的内容，大家仅仅了解就行。

6.2.5十六进制数转换成十进制数

2进制，用两个阿拉伯数字：0、1；

8进制，用八个阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7；

10进制，用十个阿拉伯数字：0到9；

16进制，用十六个阿拉伯数字……等等，阿拉伯人或说是印度人，只发明了10个数字啊？

16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，

13，14，15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……

所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数X（X大于等于0，并且X小于等于15，即：F）表示的大小为X*16

假设有一个十六进数2AF5,那么如何换算成10进制呢？

(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)

现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

假设有人问你，十进数1234为什么是一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式：

6.2.6十六进制数的表达方法

如果不使用特殊的书写形式，16进制数也会和10进制相混。随便一个数：9876，就看不出它是16进制或10进制。

C，C++规定，16进制数必须以0x开头。比如0x1表示一个16进制数。而1则表示一个十进制。另外如：0xff,0xFF,0X102A,

等等。其中的x也也不区分大小写。(注意：0x中的0是数字0，而不是字母O)

至此，我们学完了所有进制：10进制，8进制，16进制数的表达方式。最后一点很重要，C/C++中，10进制数有正负之

分，比如12表示正12，而-12表示负12，；但8进制和16进制只能用达无符号的正整数，如果你在代码中里：-078，或

者写：-0xF2,C,C++并不把它当成一个负数。

6.2.7十六进制数在转义符中的使用

转义符也可以接一个16进制数来表示一个字符。如在6.2.4小节中说的'?'字符，可以有以下表达方式：

'?'//直接输入字符

'77'//用八进制，此时可以省略开头的0

同样，这一小节只用于了解。除了空字符用八进制数'0'表示以外，我们很少用后两种方法表示一个字符。

6.3十进制数转换到二、八、十六进制数

6.3.110进制数转换为2进制数

给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？

10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：

把要转换的数，除以2，得到商和余数，

将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。

要转换的数是6，6÷2，得到商是3，余数是0。（不要告诉我你不会计算6÷3！）

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是3，还不是0，所以继续除以2。

那就：3÷2,得到商是1,余数是1。

“将商继续除以2，直到商为0……”

现在商是1，还不是0，所以继续除以2。

那就：1÷2,得到商是0，余数是1（拿笔纸算一下，1÷2是不是商0余1!）

“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

好极！现在商已经是0。

我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！

6转换成二进制，结果是110。

把上面的一段改成用表格来表示，则为：

（在计算机中，÷用/来表示）

如果是在考试时，我们要画这样表还是有点费时间，所更常见的换算过程是使用下图的连除：

请大家对照图，表，及文字说明，并且自已拿笔计算一遍如何将6转换为二进制数。

说了半天，我们的转换结果对吗？二进制数110是6吗？你已经学会如何将二进制数转换成10进制数了，所以请现在就

计算一下110换成10进制是否就是6。

非常开心，10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成8。

来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。

0

120转换为8进制，结果为：170。

非常非常开心，10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成16。

同样是120，转换成16进制则为：

120转换为16进制，结果为：78。

请拿笔纸，采用（图：1）的形式，演算上面两个表的过程。

6.4二、十六进制数互相转换

二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直

接就能转换为十六进制数，反之亦然。

我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。

首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？

然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位

的权值为23＝8，然后依次是22＝4，21＝2，20＝1。

记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

下面列出四位二进制数xxxx所有可能的值（中间略过部分）

仅4位的2进制数快速计算方法十进制值十六进值

二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)：

反过来，当我们看到FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？

看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8+4+2+1，所

以四位全为1：1111。

看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8+2+1,即：1011。

所以,FD转换为二进制数，为：

由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然

比如，十进制数1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以

16，得到16进制数:

然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式：。

同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制

转换成16进制，然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数：

我们按四位一组转换为16进制：6DE5AF1B

6.5原码、反码、补码

结束了各种进制的转换，我们来谈谈另一个话题：原码、反码、补码。

我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。

我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。

不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。

比如，假设有一int类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为：

5转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。

现在想知道，-5在计算机中如何表示？

在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。

什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。

原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。

反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。

取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0;0变1）

比如：将每一位取反，得。

反码是相互的，所以也可称：

补码：反码加1称为补码。

也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。

所以，-5在计算机中表达为：。转换为十六进制：0xFFFFFFFB。

再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。

假设这也是一个int类型，那么：

可见，－1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为：0xFFFFFF。

一切都是纸上说的……说－1在计算机里表达为0xFFFFFF，我能不能亲眼看一看呢？当然可以。利用C++Builder的调

试功能，我们可以看到每个变量的16进制值。

6.6通过调试查看变量的值

下面我们来动手完成一个小小的实验，通过调试，观察变量的值。

我们在代码中声明两个int变量，并分别初始化为５和-５。然后我们通过ＣＢ提供的调试手段，可以查看到程序运行

时，这两个变量的十进制值和十六进制值。

首先新建一个控制台工程。加入以下黑体部分（就一行）：

没有我们熟悉的的那一行：

所以，如果全速运行这个程序，将只是ＤＯＳ窗口一闪而过。不过今天我们将通过设置断点，来使用程序在我们需要的

设置断点：最常用的调试方法之一，使用程序在运行时，暂停在某一代码位置，

在ＣＢ里，设置断点的方法是在某一行代码上按Ｆ５或在行首栏内单击鼠标。

在上图中，我们在return0;这一行上设置断点。断点所在行将被ＣＢ以红色显示。

接着,运行程序(F9),程序将在断点处停下来。

(请注意两张图的不同，前面的图是运行之前，后面这张是运行中，左边的箭头表示运行运行到哪一行)

当程序停在断点的时，我们可以观察当前代码片段内，可见的变量。观察变量的方法很多种，这里我们学习使用Debug

Inspector(调试期检视)，来全面观察一个变量。

以下是调出观察某一变量的DebugInspector窗口的方法：

先确保代码窗口是活动窗口。(用鼠标点一下代码窗口)

按下Ctrl键，然后将鼠标挪到变量aaaa上面，你会发现代码中的aaaa变蓝，并且出现下划线，效果如网页中的超链

接，而鼠标也变成了小手状：

点击鼠标，将出现变量aaaa的检视窗口：

(笔者使用的操作系统为WindowsXP,窗口的外观与Win9X有所不同)

从该窗口，我可以看到：

int:变量的数据类型

0012FF88:变量的内存地址，请参看5.2变量与内存地址；地址总是使用十六进制表达

5：这是变量的值，即aaaa=5;

0x:同样是变量的值，但采用16进制表示。因为是int类型，所以占用4字节。

现在，我们用同样的方法来观察变量bbbb,它的值为-5,负数在计算机中使用补码表示。

正如我们所想，-5的补码为：0xFFFFFFFB。

再按一次F9，程序将从断点继续运行，然后结束。

来看看我们主要学了什么：

1)我们学会了如何将二、八、十六进制数转换为十进制数。

三种转换方法是一样的，都是使用乘法。

2)我们学会了如何将十进制数转换为二、八、十六进制数。

方法也都一样，采用除法。

3)我们学会了如何快速的地互换二进制数和十六进制数。

要诀就在于对二进制数按四位一组地转换成十六进制数。

在学习十六进制数后，我们会在很多地方采用十六进制数来替代二进制数。

4)我们学习了原码、反码、补码。

把原码的0变1，1变0，就得到反码。要得到补码，则先得反码，然后加1。

以前我们只知道正整数在计算机里是如何表达，现在我们还知道负数在计算机里使用其绝对值的补码表达。

比如，－5在计算机中如何表达？回答是：5的补码。

5)最后我们在上机实验中，这会了如何设置断点，如何调出DebugInspector窗口观察变量。

以后我们会学到更多的调试方法。

聂三也同学，你好，关于该计算公式如何推导以及（1 x）5次方=x乘以 ，工作人员会在4个工作日回复，一经查实，本站将立刻删除涉嫌侵权内容。