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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第4章 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设， ，若存在函数，使得对任意均有 或，则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：或；性质2：或；性质3：，为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）设的 原函数为，可导，则有换元公式：第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，则 分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积。

2、分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！(1)思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。解：(2)思路:根据不。

3、定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：(3)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：(4)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：(5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：(6)思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)思路:分项积分。解：(8)思路:分项积分。解：(9)思路:？看到，直接积分。解：(10)思路:裂项。

4、分项积分。解：(11)解：(12)思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然。解：(13)思路:应用三角恒等式“”。解：(14)思路:被积函数 ，积分没困难。解：(15)思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解：(16)思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：(17)思路:不难，关键知道“”。解：(18)思路:同上题方法，应用“”，分项积分。解：(19)思路:注意到被积函数 ，应用公式(5)即可。解：(20)思路:注意到被积函数 ，则积分易得。解：2、设，求。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：即可。。

5、解：等式两边对求导数得：3、设的导函数为，求的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，所以的原函数全体为：。4、证明函数和都是的原函数知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：，而5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：，；又点在曲线上，适。

6、合方程，有，所以曲线的方程为6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是，问：（1） 在秒后物体离开出发点的距离是多少？（2） 物体走完米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：，则由速度和位移的关系可得：，又因为物体是由静止开始运动的，。(1) 秒后物体离开出发点的距离为:米；(2)令秒。习题4-21、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解：2、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练。

7、习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！（1）思路:凑微分。解：(2)思路:凑微分。解：(3)思路:凑微分。解：(4)思路:凑微分。解：(5)思路:凑微分。解：(6)思路:如果你能看到，凑出易解。解：(7)思路:凑微分。解：(8)思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。解：(9)思路:本题关键是能够看到 是什么，是什么呢？就是！这有一定难度！解：(10)思路:凑微分。解：方法一：倍角公式。。

8、方法二：将被积函数凑出的函数和的导数。方法三： 三角公式，然后凑微分。(11)思路:凑微分：。解：(12)思路:凑微分。解：(13)思路:由凑微分易解。解：(14)思路:凑微分。解：(15)思路:凑微分。解：(16)思路:凑微分。解：(17)思路:经过两步凑微分即可。解：(18) 思路:分项后分别凑微分即可。解：(19) 思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：(20)思路:分项后分别凑微分即可。解：(21)思路:分项后分别凑微分即可。解：(22)思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：(23)思路:凑微分。解：(24)思路:降幂后分项凑微分。解：(25)思路:积化和差后分项凑微分。解：(26)思路:。

9、积化和差后分项凑微分。解：(27)思路:凑微分。解：(28)思路:凑微分。解：(29)思路:凑微分。解：(30)思路:凑微分。解：(31)思路:被积函数中间变量为，故须在微分中凑出，即被积函数中凑出，解：(32)思路:解：(33)解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 ，则凑微分易得。方法二：思路:分项后凑微分方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 ，裂项后凑微分。(34)解：方法一: 思路：分项后凑积分。方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。令，则。(35)解：方法一: 思路：分项后凑积分。方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。令，则。3、求下列不定积分。知识点：（真正。

10、的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。(1)思路:令，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。解：令，则。（或）（万能公式，又时，）(2)思路:令，三角换元。解：令，则。 （时，）(3) 思路:令，三角换元。解：令，则。(4)思路:令，三角换元。解：令，则。(5)思路:先令，进行第一次换元；然后令，进行第二次换元。解：，令得。

11、：，令，则，（与课本后答案不同）(6)思路:三角换元，关键配方要正确。解：，令，则。4、求一个函数,满足，且。思路:求出的不定积分，由条件确定出常数 的值即可。解：令，又，可知，5、设，求证：，并求。思路:由目标式子可以看出应将被积函数 分开成，进而写成：，分项积分即可。证明：习题4-31、 求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 （1）思路:被积函数的形式看作，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数优先纳入到微分号下，凑微分后仍为。解：（2）思路：同上题。解：（3）思路：同上。

12、题。解：(4)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(5)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(6)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(7)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(8)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(9)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(10)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(11)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(12)思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。(13)思路：严格按照“反、对、幂、三、。

13、指”顺序凑微分即可。解：(14)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(15)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(16)思路： 将积分表达式写成，将看作一个整体变量积分即可。解： (17) 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(18)思路：先将降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(19)思路：分项后对第一个积分分部积分。解：(20)思路：首先换元，后分部积分。解：令，则(21)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(22)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

14、。解：方法一：方法二：(23)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：令，则所以原积分。(24)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：注：该题中的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）。(25)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：注： 该题也可以化为 再利用分部积分法计算。(26)思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。解：2、 用列表法求下列不定积分。知识点：仍是分部积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。(1)思路：严格按照“反、对、幂、。

15、三、指”顺序凑微分即可。解：(2)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：。(3)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(4)思路：分项后分部积分即可。解：(5)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(6)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：3、已知是的原函数，求。知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。思路分析：积分 中出现了，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你是的原函数，应该知道解：又4、已知，求。知识点：仍然是分部积分法的练习。思路分析：积分中出现了)，应马上知道积分应使用分部积分。 解：又5、设，；证明。

16、：。知识点：仍然是分部积分法的练习。思路分析：要证明的目标表达式中出现了，和 提示我们如何在被积函数的表达式中变出 和 呢？这里涉及到三角函数中的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里可变为。证明：6、设为单调连续函数，为其反函数，且 ，求：。知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。思路分析：要明白这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。解：又又习题4-41、 求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习。思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具。

17、体分析。(1)思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：(2) 思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：而令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：(3)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：，令等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：(4)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：，解此方程组得：。(5)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：，令等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：。(6)思路：将被。

18、积函数裂项后分项积分。解：；令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：(7)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得： 解此方程组得：而(8)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：又由分部积分法可知：(9)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：而(10)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：；解之得：。(11)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：(12)思路：将被积函数裂项后分项积。

19、分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：，解之得：(13)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：注：由导数的性质可证本题的另一种解法：注：由导数的性质可证。(14)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：又注：本题再推到过程中用到如下性质：（本性质可由分部积分法导出。）若记 ，其中为正整数，则必有：2、 求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。(1)思路：分子分母同除以变为后凑微分。解：(2)思路：万能代换！解：令，则注：另一种。

20、解法是：(3)思路：万能代换！解：令，则(4)思路：利用变换！（万能代换也可，但较繁！） 解：令，则(5)思路：万能代换！解：令，则(6)思路：万能代换！解：令，则而(7)思路一：万能代换！解：令，则而，令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：思路二：利用代换！解：令，则令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得:注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！(8)思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换和万能代换！解：对积分，令，则令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：对积分，令(9)思路：变无理式为有理式，变量替换。解。

21、：令则 (10)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令(11)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令(12)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令(13)思路：变无理式为有理式，三角换元。解：令(14)思路：将被积函数 变形为后，三角换元。解：令则；注： 另一种解法，分项后凑微分。(15)思路：换元。解：令，则总习题四1、设的一个原函数是，则 (A) (B) -2 (C) -4 (D) 4知识点：原函数的定义考察。思路分析：略。解：(B)。2、设，则 。知识点：原函数的定义性质考察。思路分析：对条件两边求导数后解出后代入到要求的表达式中，积分即可。解：对式子两边求导数得：3、设，且，求。。

22、知识点：函数的定义考察。思路分析：求出后解得，积分即可。解：又4、设为的原函数，当时，有，且， 试求。知识点：原函数的定义性质考察。思路分析：注意到，先求出，再求 即可。解：即又又又。5、求下列不定积分。知识点：求不定积分的综合考察。思路分析：具体问题具体分析。 (1)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令，则(2)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令，则。(3)思路：将被积函数 变为后换元或凑微分。解：令，则。(4)思路：凑微分。解：(5)思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。解：方法一：令，则方法二：令再令，则(6)思路：倒代换！解：令，则(7)思路：大凡被积函数的分子分母。

23、皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式，然后分项分别积分即可。解：(8) 思路：分项积分后对前一积分采用分部积分，后一积分不动。解：6、求不定积分： 知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。解：而7、设，求证：，并求。知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。思路分析：由要证明的目标式子可知，应将分解成，进而写成，分部积分后即可得到。证明：8、思路：化无理式为有理式，三交换元。解：。

24、令，则。9、设不定积分，若，则有。思路：，提示我们将被积函数的分子分母同乘以后再积分。解：又选。10、求下列不定积分:知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。思路分析：基本思路将被积函数化为有理式。 (1)、思路：先进行倒代换，在进行三角换元 。解：令，则。令，则。(2)、思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令，则注： (3)、思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令，则(4)、思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令，则(5)、思路：进行三角换元，化无理式为有理式。解：令，则11、求下列不定积分:知识点：较复杂的分部积分法的考察。思路分析：基本思路严格按照“反、对、幂、三、指”。

25、顺序凑微分。(1)、思路：分部积分。解： (2)、思路：分部积分。解：(3)、思路：分部积分。解：(4)、思路：分项后分部积分。解：(5)、思路：分部积分后 倒代换。解：对于积分应用倒代换，令，则，(6)、思路：将被积函数变形后分部积分。解：12、求不定积分:为自然数。知识点：较复杂的分部积分法的考察。思路分析：基本思路严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分，推一个递推关系式。解：13、求不定积分:知识点：较复杂的分部积分法的考察。思路分析：基本思路严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分，分项后分别积分。解：14、求下列不定积分:知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分。思路分析：。

26、基本思路有理式分项、无理式化为有理式。(1)、思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式，然后积分。解：(2)、思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式，然后积分。解：对采用倒代换，令，则。而(3)、思路：将被积函数分项后分部积分。解：(4)、思路：将被积函数裂项分项后积分。解：(5)、思路：将被积函数分项后积分。解：令，等式右边通分后比较等式两边分子上的同次幂项的系数得：；解之得：(6)、思路:化无理式为有理式，第二类换元法。该题中欲同时去掉，应令。解：令，则(7)、思路:分母有理化，换元。解：对于积分，令，则对于积分，令，则(8)、思路：换元倒代换。解：令，则（解题过程中涉及。

27、到开方，不妨设，若小于零，不影响最后结果的形式。也就是：不论正负，结果都一样。）(9)、解答详见习题4-4第2题的（15）题。(10)、思路:“一路”换元。解：令，则令则15、求下列不定积分:知识点：求解较复杂的三角函数有理式的不定积分。思路分析：基本思路三角代换等，具体问题具体分析。(1)、思路:万能代换。解：令，则(2)、 思路:万能代换。解：令，则(3)、思路:将被积函数的分子1变换一下，。解：(4)、思路:注意到，而，此题易解。解：(5)、思路:将被积函数积化和差。解：注：另一种解法是：(6)、思路:注意到被积函数的分子，分母，易解。解：(7)、思路:万能代换。解：令，则，代入得：(8。

28、)、思路:非常典型的解题思路-将被积函数的分子表示成分母和分母的导数的线性组合的形式。解：16、求知识点：被积函数表现为一个分段函数，则不定积分也表现为一个分段函数。思路分析：基本思路讨论。解：当时，；而当时，；当时，； 当时，当时，当时，由的连续性可知：设17、设求思路: 变量替换。解：令，则18、设定义在上，,又在连续，为的第一类间断点，问在内是否存在原函数？为什么？ 知识点：考察对原函数定义的理解。思路分析：反证法。解证：假设为的一个原函数，考察在点的导数，而在点连续，这与为的第一类间断点矛盾！课外典型例题与习题解答1、思路分析：此题属于有理函数的积分，且分母的次数大于分子的次数，可使用。

29、倒代换。下面的解答采用另一种方法，仔细体会，你会收获不小！解：2、思路分析：此题属于有理函数的积分，且分子的次数大于分母的次数。经典的解法-将被积函数写成一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：3、思路分析：经典思路-若被积函数为弦函数的奇数次幂，则取其一次凑微分，余下部分化为余函数的形式积分即可。解：4、思路分析：经典思路-若被积函数为弦函数的偶数次幂，则将被积函数降幂，然后分项积分即可。解：5、思路分析：经典思路-大凡被积函数表现为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数等五大类基本初等函数中的某两类的乘积的形式，则使用分部积分法求解！且按照“反、对、幂、三、指”的顺序，顺。

30、序排后者优先纳入到微分号下凑微分。其中“反、对、幂、三、指”依次代表“反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数”五类函数。解：6、思路分析： 凑微分。解： 。7、思路分析： 凑微分。 解：注：第一类换元法，6、7小题均为中间变量较复杂的情形，这需要大家对第3章求导数过程比较熟悉，请大家好好体会！8、解： 方法一：凑微分。注意到被积函数中有，而，这同样需要大家对经常出现的求导过程比较熟悉。方法二：分部积分法。先分项，再用分部积分法，注意到。9、思路：凑微分。三角函数，且。解：10、设计算（2000年数学二、三）思路：先求出，再根据分部积分法计算。解： 令，则带入原式得： ，故 具体求解过程见习题4-3，1（24）。11、 （94年数学二）思路： 分部积分法。解： 12、 （98年数学二）思路： 分部积分法。解： 13、已知，求。思路：先求，再积分求。解：13、 （01年数学一）思路：综合题。解：14、设是连续函数的一个原函数，是指的充要条件是，则下列说法正确的是 。（05年数学二）（A ）是偶函数是奇函数； （B） 是奇函数是偶函数；（C）是周期函数是周期函数；（D）是单调函数是单调函数；思路：，用排除法。解： 对（B） 令，则为其一个原函数，但非奇非偶。（C） 令，其周期为，不是周期函数。（D）令，单增函数。但不是单调函数。故答案为 A。【精品文档】第 42 页。

有理分式不定积分两个多项式的商P(x)/Q(x)称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式P(x)与分母多项式Q(x)之间无公因式，当分子多项式P(x)的次数小与分母多项式Q(x)，称有理式为真分式，否则称为假分式.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度。参考：/link?url=9xPCjCdTokzjQzctkUfAq7sjy-n4vNpKpoPlBp7iYP4oVPA9xlCp4JDxKb-/link?url=IxwHKzUNY6cCV_05pj3WK2dDVVQ5v-UxuQPbuJZr2BAmBOZf_GhGKAAkdq9NnXcnRGFB4ImeD1pmW5uoOXqd51Yxk4zQDUvzzT_wbbMwfwu因式分解提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.口诀：找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶.例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)例如：a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2.（3）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形.2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑.3.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.[编辑本段]竞赛用到的方法⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法.比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.同样,这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3b

《高等数学》课程思政优秀教学设计

物理科学与技术学院  武利平

课程名称：大学数学C(高等数学I-1)

授课对象：物理相关专业一年级本科生

教学方式： 教师精讲+学生参与式学习

(1)通过回顾我国古代数学家刘徽的“割圆术”，增强学生的民族自豪感和文化自信。

(2)通过创设“白洋淀水域面积”问题情境，增强学生爱护和保护生态环境的意识。

(3)通过探讨定积分在航天方面的应用及相关科技前沿发展动态问题，激发学生的爱国情怀，培养学生勇于探索的科学精神。

(1) 学生能够利用“大化小、常代变、近似和、取极限”四个步骤，归纳出定积分的概念。

(2) 学生能够利用定积分的概念完成相关题目的计算。

(1) 通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学抽象能力和辨证思维能力。

(2) 通过分析解决实际案例问题，培养学生的数学建模能力。

知识基础：学生已经学习了不定积分及其计算方法。

能力基础：学生具备了初步利用数学知识分析解决问题的能力。

学生特征：学生渴望去探索积分理论在实际问题及物理专业问题中的应用。

利用“大化小、常代变、近似和、取极限”四个步骤，归纳出定积分的概念。

定积分的概念，“无限逼近”思想的形成过程及理解。

4.对重点、难点的处理

通过创设问题情景引入新课，激发学生的学习兴趣，引导学生通过“割圆术”回顾从 “多边形面积”无限逼近“圆面积”的方法，并结合PPT动画展示“小矩形面积和”无限接近“曲边梯形面积”的过程，化抽象理解为直观演示，使抽象概念形象化。

【课前】学生利用学习通预习老师发布的线上教学资源，完成线上测试，反馈认知难点。

【课中】教师精讲+学生参与式学习

(1) 温故知新，完成前测

请同学分享“割圆术”及其蕴含的数学思想和方法。

[思政元素] 通过回顾我国古代数学家刘徽的“割圆术”，增强学生的民族自豪感和文化自信。

(2) 创设情境，引入新课

通过引入“计算白洋淀水域面积”问题，创设问题情境,激发学生的学习兴趣。

[思政元素] 通过创设“白洋淀水域面积”问题情境，增强学生爱护和保护生态环境的意识。

引例 1. 设在上非负,连续，由直线x = a, x = b, y = 0 曲线所围成的图形，称为曲边梯形。如何求曲边梯形的面积？

任取分点，将分成个小区间，每个小区间长度依次记为；

② 常代变：，则小曲边梯形面积 ；

③ 近似和：曲边梯形面积 ；

④ 取极限：记，曲边梯形面积 .

[思政元素] 通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学抽象能力和辨证思维能力。

引例 2. 设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔[]上t的连续函数，且，如何计算在这段时间内物体所经过的路程？

[翻转微课堂] 学生类比求曲边梯形面积的方法，讲解求解变速直线运动的路程的方法。分组讨论两个引例的共同点，归纳总结定积分的概念。

设函数在区间上连续，任一分法

将区间等分成个小区间，记，；

在每个小区间上任取一点,作和式：

如果时，上述和式无限趋近于常数，即，那么称该常数为函数在区间上的定积分，称该函数在区间上可积，记为：

[教师精讲] 教师讲解定积分的概念及其几何意义和物理意义。

（4）解决问题，培养能力

[分组讨论] 学生分组讨论，探讨求解平面图形面积的不同方法。

问题 2：发射火箭需要计算克服地球引力所作的功，设火箭的质量为 m ，将火箭垂直地向上发射到离地面高H 时，需作多少功? 并由此计算初速度至少为多少时，方可使火箭脱离地球的引力范围。

[分析] 将质量为m的火箭垂直地向上发射到离地面高H 时，需要计算克服地球引力所作的功，本质上属于变力沿直线做功问题。

[分组讨论] 学生分组讨论，探讨解决问题的方案，并派出小组代表对所设计的解决方案进行展示，培养学生分析解决问题的能力和团队协作能力。

[思政元素] 通过探讨定积分在航天方面的应用及相关科技前沿发展动态问题，激发学生的爱国情怀，培养学生勇于探索的科学精神。

(5) 归纳小结，布置作业

• 习题5-1：1题，2题，4题，7题。

• 寻找定积分在生活中的应用案例。

• 预习任务：微积分基本公式

  利用学习通、雨课堂等教育信息化平台，结合讲授法、类比分析法、探究学习法、启发式教学法、讨论式教学法等多种教学方法，引导学生参与到课堂教学中，突出学生的课堂中心地位。

  [翻转微课堂] 学生类比求曲边梯形面积的方法，讲解求解变速直线运动的路程的方法。

  [随机提问] 问题驱动教学，引导学生参与到教学全过程。

  [分组讨论] 学生分组讨论，探讨解决问题的不同方法。

  [案例分析] 探讨解决问题的不同方案，并派出小组代表对所设计的解决方案进行展示，培养学生分析解决问题的能力和团队协作能力。

  4.课程思政理念及分析

  本课程的授课学生为物理相关专业一年级本科生，基于学生的专业培养方案和高等数学课程的特色及优势，紧紧围绕“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这个根本问题，以“滴灌育人”和“融通育人”为路径，切实发挥教师队伍“主力军”、课程建设“主战场”、课堂教学“主渠道”作用，系统地构建高等数学课程思政的教学大纲，重塑“高等数学+”教学内容体系，从“家国情怀、数学素养、科学精神、人生哲理、理想信念”五个维度，探索课程思政的融合策略、教学设计方案、评价体系等，将“课程思政”工作贯穿于教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，使高等数学课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。

  本节课程所讲授的定积分的概念，是高等数学教学中的重点和难点内容。根据学情分析进行教学设计，组织教学活动，选择教学方法，课堂学生学习兴趣浓厚，教学效果良好。

  1. 创设问题情境：通过“白洋淀水域面积”创设问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极主动探索曲边梯形面积的计算方法。

  多环节课程思政融入，润物无声：通过回顾我国古代数学家刘徽的“割圆术”，增强学生的民族自豪感和文化自信；通过“白洋淀水域面积”问题，增强学生爱护和保护生态环境的意识；通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学抽象能力和辨证思维能力；通过探讨定积分在航天方面的应用及相关科技前沿发展动态问题，激发学生的爱国情怀，培养学生勤于思考、勇于探索的科学精神。

  3.分组讨论，探究学习：学生分组讨论，探讨解决问题的方案，并派出小组代表对所设计的解决方案进行展示，提升学生的数学素养，培养学生分析解决问题的能力和团队协作能力。

  4.培养学生初步的数学建模能力：与航天领域的应用案例相结合，通过数学建模将实际问题转化为数学问题，应用所学知识予以解决。

  改进提高：在教学过程中，教师有些环节没有大胆的交给学生，充分发挥学生的学习主动性。今后教学中应因材施教，给学生提供更多的参与到教学中来的机会。

[课程思政优秀教学设计]