2、函数在区间上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在上变化，且

(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。

假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有

另一方面， 函数的导数为

这表明： 函数是在上的一个原函数， 故有：

对这一定理给出几点注解：

1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。

求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。

2、应注意代换的条件，避免出错。

(1)、在单值且连续；

3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。

且变换函数 在上单值，在上连续，

且变换函数在上单值， 在上连续，

在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。

换元公式也可以反过来， 即

一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。

二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

1、若在上连续且为偶函数，则

2、若在上连续且为奇函数，则

证明：由定积分对区间的可加性有

【例4】若在上连续， 证明：

并由此式计算定积分 

这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。