基尔霍夫节点电流定律电压问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-03 03:44 标签： 基尔霍夫节点电流定律

物理学笔记（6）：基尔霍夫定律的“盲点”

  曾经有位初三的小朋友来问我电路问题。这位小朋友物理基础似乎不错（至少初中物理基础），这诱使我产生了做个“小试验”（不是“实验”！）的冲动，于是乎故作神秘告诉他：我现在传你一个一劳永逸的“秘术”，但你到上大学之前，只能在草稿纸上演算，万不可轻易示人。如果你不听我的，考试扣分别怪我哦！——估计许多朋友已经猜到：所谓“秘术”，不过就是电路拓扑的基尔霍夫定律（KCL & KVL）罢了——我以为，就直流电路的情况而言，一位数理基础良好的初中生完全可以掌握它。

  不出所料，小朋友掌握的情况还不错，即使这个两个定律在他上大学前所遇到的电路求解问题中并不实用——除了一些简单的电桥电路外，在初高中阶段使用KCL和KVL，甚至还有点儿“脱了裤子放屁”（谁叫我这么无聊呢！），就算他有点儿“无用的收获”吧。

其实，真正的收获是我的，虽然微乎其微：由于他们在初中阶段遇到的电路都是“理想电路”（即考虑内阻或内压降为零的“理想电源”），在解算过程中，我不经意地意识到了基尔霍夫定律一个非常隐蔽的“盲点”。之所以隐蔽，是因为我们在使用基尔霍夫定律是主要面对的是“实际电路”，这使得该“盲点”被自然地规避了。换句话说，在实际问题中，无论你有没有意识到这个“盲点”，一般不影响电路的求解——要不然怎么说我很无聊呢？

  我们现在使用的基尔霍夫定律是古斯塔夫·基尔霍夫（ Gustav Kirchhoff）于1845年提出的，它一般被表述为两个定律：基尔霍夫第一定律，也叫电流定律（KCL）；基尔霍夫第二定律，也叫电压定律（KVL）。

对一个占据空间体积的V闭合曲面（高斯面）S，由电荷守恒定律易知：S内单位时间减少的电荷等于单位时间从边界 $\partial V$ 流出的电荷，即

由此可得到电荷守恒的数学表达式——电流连续性方程，取其微分形式为：

电荷守恒定律在稳恒条件下可充分导出电路学中的基尔霍夫第一定律：任一节点处的各电流的代数和等于零，即

也就是说，KCL本质上是电荷守恒定律在电路中的反映。

KVL则是能量转化与守恒定律在电路中的反映。根据静电场（有势而无旋）的安培环路定理，结合部分电路的欧姆定律的积分形式（也就是初中物理教的欧姆定律）I=U/R，可以很容易得到基尔霍夫第二定律：对任一闭合回路，各支路上的电压代数和等于零，即

KCL和KVL究其本质，都是对称或守恒，且是一种动态的守恒：前者“有进有出”，后者“有升有降”。就其守恒本质和在稳恒电路的应用，初中生是可以掌握的。

我们有必要保持审慎：物理学中不存在“放之四海而皆准的真理”。关于基尔霍夫定律的适用条件，一般文献（教材）给出类似这样的说法：原则上它可以用来解算任何复杂电路（当然在推广到交流的情形时，应引入含时电荷密度和元件电感的修正）。

我一般比较警惕有“全称量词”（ $\forall$ ）与“必然模态”（ $\square$ ）的论断表述，比如周衍柏先生的《理论力学教程》中的表述（p326）：哈密顿原理是和牛顿运动定律等价的原理......甚至牛顿运动定律也可认为是哈密顿原理的必然结果——我就持保留意见，至少“牛三”应视为基本的实验定律。

那么基尔霍夫定律的“盲点”在哪儿？

——基尔霍夫定律不适用于存在零电阻回路的电路。比如下图：

若并联的两个电源为零内阻的理想电源，则电路存在一个零电阻回路（虚线箭头所示）。此时，除非两个电源输出的路端电压（理想电源，路端电压=电源电动势）相等，基尔霍夫定律不适用。

感谢各位老师补充指正！

其实所谓基尔霍夫定律的“盲点”，或者说零点阻回路，正是理想电路模型的“奇点”——我时常强调“奇点意识”，在这里却把它“忽略”了，实在不应该！

这个纯属臆造的“电路”，是否类似于“克里特人”或者那位脾气古怪的“理发师”呢？？？

根据部分电路的欧姆定律

R=0这个“奇点”是十分明显的，在实际情况中，即R足够小（小到在实验中可以忽略），它的物理意义一般理解为元件的“短路”（若U足够大则意味着“击穿”）。

而在通常的电路分析中，理想电路模型无法给出自由电荷的微观运动图像。基尔霍夫定律在零电阻回路的失效，其实是理想电路模型在“奇点”失效了——微观图像则需要依赖其他模型近似给出，比如在经典情况下，金属电子论给出的电流微观表达式（当然固体物理中还有其他模型近似）

如果在导线的两端加上电位差，导线中就会产生电场，也就是说，将有一个力开始作用于电子。倘若电子可以自由运动，那么它的加速度将等于a=F/m=eE/m，此时它的速度将不断地增大。结果是，电流将随时间和增长。这种景象可以在所谓理想导体中观察到。在这个意义上，普通的金属都不是理想导体。一般说来，在一个稳定的电位差作用下将产生一个稳定的电流，也就是说，导体中的电子以某个不变的平均速度运动。产生这种情况的原因之一是，电子与物质中的杂质不断碰撞。开始时，电子被加速，但通过某个平均自由程距离以后，电子与杂质相碰撞并失掉它的平移运动的大部分能量。然后，它又开始重新加速，如此等等。其结果是，电子以某个平均速度朝着电场引起的力的方向运动，因而出现某个平均电流。这个结论与观察结果一致，即纯材料的导电性能优于有杂质的同类材料。

当我们把一个固有理论（定律、公式或模型）推演到“奇点”附近时，“风险”极大，务必慎之又慎，慎之又慎，当引以为戒！

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本课程的思政案例是依托电路中基本定律-基尔霍夫定律而设计完成的。

基尔霍夫定律是电路的基本定律，可以分析复杂电路。本章节的课程设计步骤如下：

追根溯源：电气技术飞速发展，电路越来越复杂，欧姆定律已无法解决。1845年，德国物理科学家基尔霍夫提出两个定律-基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，解决复杂电路分析电压和电流问题。推动电气技术的继续发展。

乔治·西蒙·欧姆和古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫的人生背景和主要成就，介绍时要注重引导学生努力学习，树立远大理想，忠于职守，服务人民，成为担当民族复兴大任的时代新人。

第二步 名词解释：给出电路的基本概念，支路、结点和回路

第三步 举例应用：给出具体问题，在解决问题过程中讲解基尔霍夫电流和电压定律内容，并进行应用分析和计算例题。

本案例实现思政元素和课程内容的有机融合，利用课堂引导学生砖研专业热爱专业。

装 订 装 订 线 电工电子系列课程实验报告 课程名称：电工及电子技术基础实验B 实验日期： 年 月 日 实验题目： 基尔霍夫定律和叠加原理的验证 学院 系 专业 班 姓名 学号 实验台号 成绩 实验目的 1.验证基尔霍夫定律和叠加原理。 2.学习电压表、电流表、万用表等常用仪器、仪表的使用。 3.熟悉multisim仿真环境。 实验仪器设备 名称 名称 型号及参数说明 数量 双路直流稳压电源 +10V、+6、-6V 切换 一台 直流电压表 量程 0/20/200V 一台 直流电流表 量程 0/200mA/2A 一台 实验电路 直流电路基本定律及分析 一块 注意事项 1.需要更改线路时，先断开电源以避免带电操作。 2.要等待测量表中数据的稳定后读数，记录数据时应标出正负号。 3.在启动实验台的电源之前，应将直流稳压电源、恒流源的输出旋钮置于零位,实验时再 缓缓增、减输出。直流稳压电源的输出不允许短路。 实验内容及步骤 (一)验证基尔霍夫定律 步骤。。。。 1、基尔霍夫定律验证实验仿真测量图（原电路） 粘贴一张 粘贴一张multisim中的电流、电压测量图（图中需有姓名及学号） 图中需注明各电流、电压，如I1，U1，U2 表2.1基尔霍夫电流定律 I1/mA I2/mA I3/mA 验证结点B:∑I=0 16.001 -2.667 在误差允许的范围内，任意支路的电流和电压等于电路中各个有源元件单独作用的代数和。 验证了基尔霍夫电流定律。 5.714+14.286-20=0 4.286+10-14.286=0 在误差允许的范围内，任何一个回路中，沿同一方向，电压的代数和为零，验证了基尔霍夫电压定律。 (二)验证叠加原理 图2.3叠加原理实验电路图 1、叠加原理验证实验仿真测量图（原电路） 粘贴一张 0.00％ E2单独作用 -3.810 -3.809 0.03％ -1.943 -1.943 0.00％ 计算及验证叠加原理： 5.714=9.524-3.810 2.914=4.857-1.943 任意支路的电流和电压等于电路中各个有源元件单独作用的代数和。 在误差允许的范围内，证明了叠加原理的正确性。 叠加原理验证实验仿真测量图（设计电路或改参数后的电路） 粘贴一张 粘贴一张multisim中的测量图（图中需有姓

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