数字图像处理关于傅里叶变换的小记
- 数字图像处理关于傅里叶变换的小记
- 复数形式的傅里叶级数的证明
- 傅立叶变换与傅立叶逆变换
傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何周期函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他的现在被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。
傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶在这个领域的贡献是，他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦函数之后的形式，每一个正弦项和/或余弦都乘以不同的系数，无论函数多么复杂，只要它是周期性的，并且满足一些适度的数学条件，都可以用这样的和来表示。即任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。甚至非周期函数（但该曲线的面积是有限的情况下）也可用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。
傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化
左边为原始图像，中间为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大，右边为傅立叶逆变换得到的图像。
以一个面积为1的三角形为例，底边不断收缩，当底边a->0时，高->∞
卷积的求法（利用傅立叶变换）
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。
象一个白色的圆盘，有一条沿着半径的黑线，圆盘以角速度[公式]旋转。
你以一定的周期拍照，就是采样。
你拍照的频率恰好为圆盘自转频率两倍的时候，你的照片里黑线的位置，永远是下一张和上一张呈180度，看不出圆盘原来到底是顺时针转的还是逆时针转的。
给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数：
1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中 A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成
设 c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三 角函数 是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有
利用积化和差的三角公式容易证明
其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ， 而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个 函数系在长为 的区间上具有正交性。
的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到
又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到
因此得到欧拉-傅里叶公式：
自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积 分。
以上是在f(x) 已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为2Π的函数f(x)在区间[-Π,+Π]上可积和绝对可积（如果f(x)是有界函数，则假定它是可积的。这时它一定是绝对可积的；如果f(x)是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数
，从而作出三角级数
我们称这级数是f(x)关于三角函数系 的傅里叶级数，而ak,bk称为f(x)的傅里叶系数，记为
