余切函数是谁的导数原点为什么无限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-29 03:11 标签： 余切函数是谁的导数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于中的的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷的极限和微分方程的解，将其定义扩展到系。它包含六种基本函数：、、、、、。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

　　如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言：

注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

　　除了上述六个常见的，还有一些不常见的三角函数：

　　六个三角函数也可以依据为1为原点的来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有和辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都了。根据，

单位圆的是：x^2+y^2=1 　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是，而顺时针的度量是。设一个过的线，同 x轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x和 y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ= y/1 和 cosθ= x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 　　对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的：对于任何角度 θ和任何k。 　　周期函数的叫做这个函数的“”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四个三角函数的定义

　　在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k+ 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k+ 1/2)π 有垂直。这是因为在 θ 从左侧接进 (k+ 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k+ 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

　　另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O的单位圆来定义，类似于历史上使用的定义。特别 是，对于这个圆的AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ是 AC（半弦），这是印度的介入的定义。cosθ 是水平距离 OC，versin θ=1-cosθ是CD。tanθ是通过 A的的AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段 AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

　　只使用几何和的性质，可以证明正弦的是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用的理论来证明下列恒等式对于所有x都成立：

　　这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在中），因为的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和便可以单独从级数定义来确立。 　　其他级数可见于：

　　注：Un是n次上/下数， 　　Bn是n次，

　　依据单位圆定义，我们可以做三个（）来表示正弦、余弦、正切的值。 　　如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴的交点，过S点做圆O的切线l。 　　那么向量MP对应的就是α的，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或）与l的交点为T，则向量ST对应的就是。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 　　借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，值为负，值为负。 　　1．定义 　　锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 　　（sin）等于对边比斜边； 　　余弦（cos）等于邻边比斜边； 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边, 　　余切等于邻边比对边 　　...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。

　　在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数、等等。

　　正弦：第一，二象限为正，第三，四象限为负 　　余弦：第一，四象限为正，第二，三象限为负 　　正切：第一，三象限为正，第二，四象限为负

　　1、：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为的半径) 　　2、第一：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC 　　3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

　　如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2

　　三角函数的，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos 　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x). 　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得 　　其他几个用类似方法可得。

　　中三角函数的表示(由泰勒级数易得)： y=-y'';y=y''''，有通解Q，可证明 　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数－－，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

　　（1）对于z为实数y来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。 　　（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的。 　　（3）在复数域内不能再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1。 　　（4）sinz、cosz分别为，，且以2π为周期。 　　(5) 棣莫佛(De Moivre)定理　设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1)

　　三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。

　　其中R是三角形的外接圆半径。 　　它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过 A, B和 C三点的圆的的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

　　这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。 　　如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。

　　例：一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积，取长>高>宽），满储水量为10082.44(dm)^3，立体为1903.17dm，问：如何施工才能达到设计要求？ 　　解：设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意： 　　X⑴+X⑵+X⑶=70.5 　　X⑴·X⑵·X⑶=10082.44 　　θ=90°。 　　把有关值代入盛金公式④，得： 　　X⑴=12.4(dm)；X⑵=34.6(dm)；X⑶=23.5(dm)。 　　经检验，结果正确。 　　因为取长>高>宽， 　　所以，应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工。

　　本节知识在段考中是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。

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