指数函数的这个连分数展开式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-28 07:10 标签： 指数函数的展开式

过去，总有人问，自然对数的底e（以下简称自然常数e）究竟是怎么来的？怎么计算它的近似值？误差又该如何控制？又是怎么知道它是无理数的？

多年过去，身边的学子换了一波又一波，但问题依然是上面的老问题。为了相对清晰的介绍自然常数e，老刘头觉得有必要仅从初等数学视角阐释它的相关问题，因为这样一来可以避免长篇大论谈数学史，二来可以让中学生看得懂。

从数学的视角看，e与一个数列有直接关系，这个数列的通项就是

两个自然的问题是：它是否收敛？如果收敛，收敛到哪儿？这两个问题其实就是极限的\color{red}{存在}问题和\color{red}{计算}问题。

实际上，自然常数e的故事，就是该数列的故事，因此，下文都是围绕着这个数列展开。

我们先回答第一个问题，数列\{a_n\}的极限是否存在，然后考虑计算问题，因为一旦极限不存在，第二个问题也就灰飞湮灭，如果前两个问题解决了，我们再考虑后两个问题，也就是这个极限值是有理数还是无理数，以及，如果它是无理数，我们再考虑它的近似计算带来的误差问题，这也是本文写作的脉络。

考察数列极限极限存在性问题的常见准则有迫敛、单调有界、柯西审敛等。迫敛准则要求找到一大一小两个收敛到同一个极限的数列来夹逼原数列，在尝试后不难发现，很难找到这样的两个数列来迫敛它，可以尝试考察它的单调性及有界性，当然，也可以尝试用柯西准则考察。事实上，迫敛准则更多地用于极限的计算问题，也就是说，主要用于计算已知极限存在的数列或函数的极限。

下面我们将通过考察该数列的单调性和有界性来判断它的敛散性，一旦它是单调数列，并且还有界的话，我们就可以断言该数列必然收敛于某一个特定的实数，即当n \to \infty时，a_n \to a。

至此，我们隐约感觉到该数列很可能是严格单调增加的数列，但我们不能说：“显然”它是一个递增数列。因为数学需要的是严格的证明，何况该数列的单调性并不是那么显然。

我们先通过二项式定理展开该数列的通项，

将上式中n替换为n+1，得到a_{n+1}的通项，

1）分母多项相乘时，缩放到两项相乘，以\underline{便于\underline{裂项}}，是常用的缩放技巧；

在考察\{a_n\}的有界性时，我们得出了不等式

由极限的不等式性质知，

当n \to \infty时，对不等式两边取极限，

即数列\{a_n\}和\{b_n\}的极限相等，要想计算数列\{a_n\}的极限a，只需要计算数列\{b_n\}的极限b。前面我们已经知道b \in(0,3)，由于数列\{b_n\}严格单调增加，因此，n越大，得到的值越接近b。

n取以下一组数据时，所得b的近似值（我在计算时保留了20位小数）如下表所示：

在保留20位小数的情况下，当n取到25后，所得b的值将不再变化。即使在保留100位小数的情况下，n取到50也足够用了，下表是老刘头在保留100位小数的前提下将n分别取到50、100、1000得到的近似值。

以上的计算表明，这个b的值可以近似的取2.。

2）虽然n越大，得到的结果越接近a的真实值，但通常情况下n取到10就已足够用。

3^\circ e的误差控制——如何获取一个未知数的误差

通过在第2^\circ部分的计算我们知道，随着n的增大，所得结果越来越靠近a的真实值，而且，这个真实值有可能是个无理数。这样一来，一个自然而然的问题是，每次计算结果和真实值相比，误差是多少？更进一步，如果这个数列的极限a是无理数，那么我们该如何控制一个小数点后无穷无尽且用不重复的数的误差呢？

答案自然是回到那个尚不知道具体数值的极限值b本身，同时，还得把通过前n项计算的结果表示出来。我们用b_n表示前n项的计算结果（即近似值），用b_{n+m}(m \to \infty)表示未知具体数值的极限值b本身，有了这个简洁的记号，就能得到误差的计算公式：

两边取极限（注意极限变量是m，与n无关），得

式(4)就是自然常数的误差控制公式。怎么理解这个公式？以n取到16为例，

上面的计算结果保留了20位小数，精度已经很高了，但是，如果没有前述推导的误差控制公式（4），就无从知晓这个结果2.距离b的实际值的误差有多大。有了这个公式，我们就可以计算误差范围：

这表明，尽管b的实际值并不知道，但通过数列\{b_n\} 取n=16计算得到的结果与这个未知的实际值的误差小于2.9872\times10^{-15}，换言之，这个结果的前14位数据都是准确的，从第15位开始有误差，或者说，误差小于10^{-14}。

4^\circ e的性质——b是有理数还是无理数？

关于无理数，很多人可能在认识上存在两个误区：一是认为小数点很多位未见重复就觉得它是无理数，二是认为判断一个数究竟是无理数还是有理数很容易。实际上，尽管和无理数相比，有理数在数量上几乎可以忽略不计（中学生朋友在进入大学后，会在一门叫做《实变函数》的课程中学习相关理论），但多数时候判断一个数究竟是有理数还是无理数并不容易，这是因为任意一个实数都可以用收敛的有理数列（称为柯西列）来定义，这里所讲的数列，有两个特征，一是有无穷多项，二是有序。这就涉及极限的计算，众所周知，很多极限都是很难求出来的，一个著名的例子就是欧拉常数，数学界至今都不知道它是有理数还是无理数，另一个众所周知的例子就是大名鼎鼎的、与自然常数e齐名的圆周率\pi，数学界直到18世纪才确定它是无理数。

在第一期推文中，我们已经给出了\sqrt{2}是无理数的证明过程。今天，我们依然用类似的办法来考察b是有理数还是无理数，思路都是先假定它是有理数，看能否推出矛盾，推出矛盾就可以证明它是无理数，反之则不能说明它是无理数。

由前述计算知，e \in (2,3)为小数，故而可设

这就证明了b为无理数。

至此，我们可以换个字母来表示b这个无理数，那就用大数学家欧拉姓氏Euler的首字母吧，这就是自然常数e的来历、近似计算、误差控制和是否为有理数的判断。

  • 为避免先入为主引入符号e，写作路径从a到b再到e，证明也是一样，拒绝先入为主；
  • 为围绕主线，本文既没有谈论相关的数学史，也没有讨论e无处不在的身影。

本期推文，我们没有提到什么泰勒公式，没有提到级数理论，没有提到什么连分数理论，没有提到什么实数的完备性理论，甚至连\varepsilon -N都没有提，只是用一些最最基本的极限理论（单调有界必有极限定理和数列极限的一个不等式性质）详细阐释了自然常数e的来历、计算、误差控制和是否属于有理数的判断，因此也十分适合中学生朋友们阅读。

最简单的说，指数函数按恒定速率翻倍。例如细菌培养时细菌总数（近似的）每三个小时翻倍，和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数。特别是复利，事实上就是它导致了雅各布·伯努利在1683年介入了现在叫做 e 的数：

后来约翰·伯努利在1697年研究了指数函数的微积分。

设 1 份借贷有 x 利率，逐月复利话，则每月增加当前值的 x/12 倍，每月总值都要乘以 (1+x/12)，一年的总值为 (1+x/12)，逐日复利的话，就是 (1+x/365)。设年中时段数可为无限，则有如下最初由欧拉提出的指数函数定义：

指数函数有基本的指数恒等式，

这是它写为 e 的原因。

在雅各布·伯努利之前，约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，直到1742年William Jones才发表了现在的幂指数概念。按后世的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数 (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。

指数函数（蓝色），幂级数的前n+1项的和（红色）。

指数函数e可以用各种等价的方式定义。特别是它可以定义为幂级数：

在这些定义中，n!表示n的阶乘，而x可以是任何实数、复数、和巴拿赫代数的元素。

可证明当 n 趋于无穷大时上述二定义等价。这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明，参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。

y = b对各种底数b的图像，分别为绿色的10、红色的e、蓝色的2和青色的1/2。

可得出它有幂运算的“指数定律”：

它们对所有实数x与y都是有效的。

因为在指数函数的定义中 x 是实数，可以使用自然对数，把更一般的指数函数，即正实数的实数幂函数定义为

定义于所有的b > 0，和所有的实数x。它叫做“底数为b的指数函数”。从而拓展了通过方根和方根运算定义的正有理数有理数幂函数：

而方根运算可通过自然对数和指数函数来表示

介入数e的根本动机，特别是在微积分中，是通过指数函数和对数来进行导数和积分运算。 一般指数函数 y = b 有极限形式的导数:

最右端的极限无关于变量 x：它依赖于底数 b 而是常量。根据求导的链式法则：

当这个底数是e时，这个常量等于1，因此有:

指数函数在数学和科学中的重要性主要源于它的导数的性质。特别是

就是说，e是它自己的导数。这可以用泰勒级数证明：

对于常数K的形如Ke的函数是唯一有这个性质的函数（这得出自皮卡-林德洛夫定理）。其他等价说法有：

函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。

函数在x的增长速率等于在这个函数在x上的值。

exp是泛函导数的不动点。

事实上，很多不同的方程引发指数函数，包括薛定谔方程和拉普拉斯方程和简单谐波运动的方程。

对于有其他底数的指数函数：

所以任何指数函数都是它自己导数的常数倍。

如果一个变量的增长或衰减速率是与它的大小成比例的，比如在无限制情况下的人口增长、复利和放射性衰变，则这个变量可以写为常数倍的时间的指数函数。

进一步的，对任何可微函数f(x)，我们可以通过链式法则找到：

通过欧拉连分数公式得到e的连分数：

e的广义连分数收敛更快速:

指数函数e可以定义为(1 + z/n)在n趋于无穷时的极限。在本动画中，z=iπ/3而n选取从1增到100的各种值。(1 + z/n)的计算显示为在复平面上n次乘法的组合效果。随着n变大，这些点趋近于复平面单位圆，覆及π/3弧度的角度。

如同在实数情况下，在复平面的指数函数可以用多种等价方式定义。比如幂级数形式的:

这里的a和b是实数值。参见欧拉公式，这个公式把指数函数和三角函数与双曲函数联系起来了。

在考虑定义在复平面上的函数的时候，指数函数拥有重要的性质

它是周期的全纯函数。我们看到除了多项式的所有初等函数都以某种方式起源于指数函数。

扩展自然对数到复平面上的多值函数ln(z)，我们可以接着定义更一般性的指数函数：

对于所有复数z和w，这也是多值函数，即使是在z为实数的情况下。前面关于正实数情况下的指数乘积规则在多值函数情况下必须改为:

指数函数把在复平面上任何直线映射到在复平面中以原点为中心的对数螺线。要注意两个特殊情况：当最初的线平行于实轴的时候，结果的螺线永不遮盖（close in on）自身；当最初的线平行于虚轴的时候，结果的螺线是某个半径的圆。

在复平面上指数函数（主支）

上面给出的指数函数的定义可以用于所有巴拿赫代数，特别是对于方块矩阵（在这种情况函数叫做矩阵指数）。在这种情况下我们有

在非交换巴拿赫代数的上下文中，比如矩阵代数或在巴拿赫空间或希尔伯特空间上的算子，指数函数经常被认做实数参数的函数：

这里的A是这个代数的固定元素而t是任何实数。这个函数有重要的性质

从李代数到李群的“指数映射”有着上述性质。事实上因为R是带有乘法的所有正实数的李群的李代数，实数参数的常规指数函数是李代数下的特殊情况。类似的，因为所有方块实数矩阵的李代数M (n, R)属于所有正可逆方块矩阵的李群，方块矩阵的指数函数是李代数指数映射的特殊情况。

古德温 - 斯塔顿积分

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。

北京理加联合科技有限公司

根据物质的光谱来鉴别物质及确定它的化学组成和相对含量的方法叫光谱分析．其优点是灵敏，迅速．历史上曾通过光谱分析发现了许多新元素，如铷，铯，氦等．根据分析原理光谱分析可分为发射光谱分析与吸收光谱分析二种；根据被测成分的形态可分为原子光谱分析与... 点击进入详情页

本回答由北京理加联合科技有限公司提供


· 说的都是干货，快来关注

下载百度知道APP，抢鲜体验

使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。

我要回帖

更多关于 指数函数的展开式 的文章

 

随机推荐