1.不可逆矩阵的运算不满足消去律

3.常被忽略的矩阵运算规则

PAGE PAGE 19 第二章 矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m?n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m?n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 -1 8 是一个4?5矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足AT=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵AT=A-1 （2）A是正交矩阵=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: = 1 \* GB3 ① 如果它有零行，则都出现在下面。 = 2 \* GB3 ② 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m?n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: = 1 \* GB3 ① 加法交换律: A+B=B+A. 2加法结合律: AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和. 即： 矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: = 1 \* GB3 ① 矩阵乘法有条件. = 2 \* GB3 ② 矩阵乘法无交换律. 即ABBA = 3 \* GB3 ③ 矩阵乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0. (AB)C= A(BC) （2）n阶矩阵的方幂和多项式 任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|. 如果AB=BA,则说A和B可交换. 方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E . 显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: = 1 \* GB3 ① A kA h= A

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数,副教授：黄振耀,2,课程简介,线性代数是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础,理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广,泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本,方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的,提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习,及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此,该课程历来受到各高等院校的高度重视,根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对线性代,数的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂,力求体现学科的系统性

2、、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解,行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容,3,主要内容,第一章 行 列 式,第二章 矩 阵,第三章 线性方程组,4,第一章行列式,行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶,三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组,式，为此首先引入行列式的概念,在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列,5,第一章行列式,第一节 行列式的概念,第二节 行列式的性质,第三节 行列式按行（列）展开,第四节 行列式的计算举例,第五节 克莱姆法则,主要内容,6,第一节行列式的概念,一、行列式的概念,为了更好掌握行列式的定

3、义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列,定义 1.1,例 1.1,要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明,式的定义,一阶行列式由一个数组成，记为,7,第一节行列式的概念,表示，且规定,其中，元素 称为行列式的第 行第 列的元素,称为元素 的代数余子式；而 是行列,定义 1.2,二阶行列式是由 个元素排成2行2列，用,素 的余子式,式中划去第 行和第 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元,8,第一节行列式的概念,则二阶行列式,显然在定义中， ，而,这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致,9,第一节行列式的概念,例 1.2,求二阶行列式 的值,解,或,10,第一节行列式的概念,

4、定义 1.3,三阶行列式是由 个元素排成的3行3列，用,表示，且规定,其中,11,第一节行列式的概念,称 为 的余子式，它是在三阶行列式中划去 所在的行及列后,按原次序所成的二阶行列式，称 为 的代数余子式； 为 的代数,余子式,一般地， 就是三阶行列式中划去 所在的第 行和第 列剩下,的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 的余子式,称为元素 的代数余子式,12,第一节行列式的概念,例 1.3,解 由上面定义，因为,计算三阶行列式 的值,所以,13,第一节行列式的概念,从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是,用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行

5、,列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵,下面给出行列式的一般定义,定义 1.4,当 时， ，假设已定义了 阶,行列式， 阶行列式是由 个元素排成行和列组成，记为,14,第一节行列式的概念,且规定其值为,其中， 表示元素 的余子式，它是 中划,去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原来的次序构成的 阶,行列式。 称为 的代数余子式,15,第一节行列式的概念,例 1.4,解,计算四阶行列式,16,第一节行列式的概念,我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义,定义 1.5,对于 阶行列式,列元素后，按原次序排列构成的 阶行列式,称为元素 的余子式， 称为元素 的代

6、数,余子式 。其中， 是 中划去元素 所在的行和,17,第一节行列式的概念,例 1.5,解,求行列式 的元素 和 的代数余子式,所以,因为 的余子式,的余子式,的代数余子式,的余子式,18,第二节行列式的性质,在上一节行列式定义,中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的,阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算,19,第二节行列式的性质,定义 1.6,交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行,列式，记为 或,设,则,例 1.6,若,则,20,第二节行列式的性质,性质1,转置行列式的值等于原行列式的值，即,在例1.6中的二个行列式 的值相等，即,根据

7、这一性质， 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开,即,这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立,21,第二节行列式的性质,性质2,交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号,例 1.7,交换以下行列式D的第一行和第三行，有,素（仍为D），即得 ，移项得 ，于是,为零,因假设D中的第 行和第 行对应元素相同，交换第 行和第 行元,22,例 1.8,第二节行列式的性质,以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略,行列式,因为第一行与第三行相同,23,第二节行列式的性质,性质3,例 1.9,行列式,符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到,这相当于行列式中某

8、一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式,行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 ，行,列式的值扩大 倍,24,第二节行列式的性质,性质4,行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零,与第 行相同，于是行列式的值为零,设第 行为第 行的 倍，由性质3，将 行提出公因子 ，即得第 行,性质5,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 列,的元素都是两数之和,25,第二节行列式的性质,利用这一性质,则 等于下列两列行列式之和,26,第二节行列式的性质,性质6,应元素上去，行列式值不变。即,把行列式某行（列）各元素的 倍加到另一行（列）的对,这一性质由性质3和性质4直接得到,利用

9、这些性质可以简化行列式的计算,另外我们用 表示第 行， 表示第 列。 表示交换第 行与第,行， 表示第 行乘 倍； 表示把第 行乘 倍加到第 行上去,27,例 1.10,第二节行列式的性质,解,利用行列式性质计算行列式,下页继续,28,第二节行列式的性质,然后按行列式定义，得,熟练以后，这几步也可以合并为,这里也可用,29,第三节行列式按行（列）展开,根据行列式定义，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的,代数余子式之和。在本节中我们将这一结果加以推广,定理1.1,若 阶行列式 中除 外，第 行（或 列）的其余,元素都为零，那么 可按第 行（或 列）展开为,证明,设第 行除 ，其余元素都为

10、零,30,第三节行列式按行（列）展开,现将第 行和第 行对换，再与第 行对换，经过 次,对换，含 的原第 行就换到第一行，行列式的值应乘 ，类似经,过 次列对换，可将含 的列变到第一列，即,因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是 中的,划去原第 行和原第 列,31,第三节行列式按行（列）展开,定理1.2】（拉普拉斯展开,的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,阶行列式等于它的任意一行（列,或,32,证明,n阶行列式等于它的任意一行（列,第三节行列式按行（列）展开,33,第三节行列式按行（列）展开,定理1.3,应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,行列式 的任意一行（列）各元素与另

11、一行（列）的对,或,证明,将 的第 行元素 换成 所成的新,行列式的第 行与第 行相同；于是新的行列式值为零，另一方面，新行,列式可按第 行展开，得,34,第三节行列式按行（列）展开,综合定理1.2和定理1.3，得,也就是行列式 的任意一行（列）各元素与这一行（列）的对应元,素的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式 的任意一行（列,各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,利用行列式性质将某行（列）的元素尽可能化为零，然后展开，可,简化行列式的计算,或,35,第三节行列式按行（列）展开,例 1.11,解1,从第三列着手，再变出一个零元素,计算行列式,首先寻找含零个数最多的行