例1+写出下列映射的定义域和值域,并回答如下问题:+(1)映射f是否单射?是否满

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-12 10:17 标签： 定义域和值域怎么求

(函数与极限)第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合、概念具有某种特定性质的事物的总体组成这个集合的事物称为该集合的元素元素属于集合元素不属于集合记作记作、集合的表示法列举法描述法３、集合间的关系例数集自然数集整数集有理数集实数集它们间关系:例不含任何元素的集合称为空集，记作例如规定空集为任何集合的子集、运算设、是两集合则交“”且并“”或差“－”但补（余）－（其中为全集）５、其运算律（）==（）()=()()=()（）()=()()()=()()（）注:与的直积()且例如：=()且表示面上全体点的集合常记为、区间是指介于某两个实数之间的全体实数这两个称为开区间实数叫做区间的端点称为闭区间称为半开区间称为半开区间有限区间无限区间：区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度、邻域记作注意：邻域总是开集。设是两个非空集合如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射二、映射、概念记作：→其中称为元素(在映射下)的像，记作()，即=()元素称为元素(在映射下)的原像集合称为映射的定义域记作即=中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或()，即对应法则使对每个∈有唯一确定的=()与之对应注:。构成映射的三个要素:集合即定义域=集合即值域的范围:但定义域一定等于集合。对每个∈元素的像是唯一的而对每个∈元素的原像不一定是唯一的映射的值域是的一个子集即不一定=显然，是一个映射，的定义域=值域=|≥它是的一个真子集对于中的元素除=外它的原像不是唯一的如=的原像就有=，=两个例设=()|==()|||≤，:→对每个()∈，值域=例设:→对每个∈()=在几何上这个映射表示把平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到轴的区间[]上设是从集合到集合的映射若=即中任一元素都是中某元素的像则称为到上的映射或满射若对中任意两个不同元素≠它们的像()≠()，则称为到的单射(或“如果()=()，就有=)；若映射既是单射，又是满射，则称为一一映射(或双射)定义例的映射不是单射是满射([]表示满射:(==)→:():(==)→:())；例中的映射，既非满射(=，不是中的某元素的像)，又非单射(==它们的像相等)从非空集到数集的映射称为上的泛函映射又称算子，在不同的数学分支中，有不同的惯用名称：从实数集到实数集的映射通常称为定义在上的函数从非空集到它自身的映射又称为上的变换设是到的单射则对每个∈有唯一的∈适合()=定义一个新的映射:→，对每个∈规定()=这满足()=逆映射与复合映射）逆映射这个映射称为的逆映射记作定义域=值域=因为从→对要求唯一的而→又是唯一的故只有单射注：只有单射才存在逆映射）复合映射设有两个映射:→:→()则由和可确定了一个从到的映射它将每个∈映成[()]∈这个映射称为映射和构成的复合映射记作即:→()()=[()]∈有意义并不表示也有意义即使与都有意义复合映射和也不一定相同注。映射和构成复合映射的条件:的值域必须包含在的定义域内即否则不能构成复合映射。映射和的复合是有顺序的：证明:充分性(由条件推出结果)设是→的双射在上任一元素必定存在唯一的∈使=()()从→的映射–:→()例是到上可逆映射的充分必要条件是为到的双射对任何∈由()()可得–()=–(())=–()=即–=反之对任何∈由()()可得–()=(–())=()=即–=必要性(由结果推出条件)是可逆的存在–:→使–=–=对中任意两个元素当()=()时=–()=–(())=–(())=–()=是单射另一方面对任意∈=–()=(–())()由()我们得到()=则是→的双射例设三、函数、函数概念其中是对应规则，称为函数的定义域，叫做自变量，就是函数(因变量)=|=()，∈定义全体函数值的集合称为值域：设数集则称映射:→为定义在上的函数，记作函数定义中对应规则要求每一个值只有一个值与之对应，所以此例也不是函数关系例=()对于任何函数，都没有按规定与之对应的值函数定义域不能是空集，所以此例不是函数关系例每一个值有无穷多个值与之对应注：(自变量)，(函数)，(对应规则)，(定义域)，(值域)这五个要素中定义域和对应规则是最重要的两个要素如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数是相同的。注：。在定义中对于每一个只能有一个与它对应这种函数称为单值函数；否则为多值函数多值函数是一个值对应二个或二个以上的值。函数的表示方法:解析法（公式法），图象法和列表法=()()。在平面上，当取遍上的每一个数值时，就可以得到点()的一个集合：=()|=()∈这个集合称为函数=()的图形其中分别是函数=()的定义域和值域例函数称为绝对值函数它的定义域=值域=[∞)例=称为符号函数它的定义域=值域=例，例中的函数要用两个以上的式子表示，这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数例=[](∈)表示不超过的最大整数称取整函数例定义在[]上的函数当为有理数当为无理数函数它不能用解析法图象法和列表法来表示只能用描述法表示定义域=值域=其图形称为阶梯曲线跃度为例如[]=[π]=[]=－例设函数()=||≤||求(())解:前面的函数值为由定义可知它的函数为后面的函数为由定义可知它为、函数的几种特性如果存在某个常数，对于一切∈，总有()≤（或()≥），则称函数()在上有上（下）界；）有界性否则称函数()在上无界注。上（下）界不是唯一的。有界函数图象的特点是它完全位于平行于轴的两条直=之间。若函数()在上有上界又有下界则称为有界函数因此若()为上的有界函数则必定存在某个正数，对于一切∈，恒有|()|≤常见的有界函数有个：例函数()=()在定义域内为()()有上界无下界()有下界无上界()有界且≤()≤()有界且≤()≤解:()有界且≤()≤任意总有()≤()(或()≥())则称()是单调递增(减)的）单调性满足这些条件的函数都称为单调函数特别当())则称()是严格递增(减)的图形是递升(降)的设函数()的定义域关于原点对称如果对于任意∈都有()=()（或()=()）则称()为奇(偶)函数）奇偶性设函数()的定义域(∞∞)如果存在一个正数，使得对于任意∈当∈有()=()，则称()为上的周期函数为它的一个周期）周期性。如果()的周期为则在此函数的定义域内每个长度为的区间上函数通图形周而复始地重复出现即具有相同的形状()函数的定义域是有界的则一定不是周期函数。函数的周期有无数多个通常我们说的周期是指最小正周期注。判定函数是否周期函数可根据:()如果函数是周期函数则它的零点一定有周期性设函数=()∈值域=()若对于上每一个上有且只有一个值与它对应即使得()=这样可以在=()上确定一个函数称为=()的反函数记作。如果=()称为反函数则=()称为原函数对应规则是一一对应的，定义域和值域、原函数和反函数彼此交换、反函数=()∈=()（或:→:()→）注。习惯上用表示自变量用表示因变量函数=()的反函数一般写为=()∈()。互为反函数的两个函数=()和=()在同一个坐标系中的图象是对称于直线=的格上升它有反函数在∈[∞)上严格递增的例如由函数=(∈)解出=。具有反函数的函数必是单调函数因此严格单调函数必有反函数，且严格上升（下降）函数的反函数是严格上升（下降）的递减它有反函数是严格递减的所以=在上没有反函数()不是单调的而=在∈(∞]上严格但=在∈[∞)上严定理严格单调函数必存在反函数且其反函数具有相同的严格单调性①从=()中解出得到=()(要求单值否则认为给定函数在其定义域内没有反函数)②把字母交换位置得到反函数=()。求反函数的步骤:=()（∈），=()（∈）设表示中使()∈的所有构成非空集即=|()∈∈≠φ若对于中任何一个值通过函数=()对应中唯一的一个值又通过函数=()对应的一个唯一值因此对于每一个∈变量都有一个确定的值与之相对应这就得到一个确定在数集上的函数，即、复合函数已知两个函数它由函数=()和=()经过复合运算而得到称它为复合函数也称为复合映射其中=()为外函数=()为内函数也称为中间变量复合函数是函数的函数设函数()()的定义域依次为=∩≠φ则可定义这两个函数的下列运算:、函数的运算和(差):()()=()()∈商:()()=()()∈|()=积:()()=()()∈、基本初等函数（）常(量)函数=（）幂函数=（∈）（）指数函数=（≠）（）对数函数=（≠）∞特别=，=∞∞∞∞≠()π≠π≠()π≠π（）三角函数≤≤π≤≤π≤≤≤≤π∞∞π≤≤π∞∞≤≤π（）反三角函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数都称为初等函数除了初等函数外，还有非初等函数，例如=[]=()它们属于高等超越函数的范畴例如函数双曲正切、双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正弦的定义域为(∞∞)它是奇函数图形通过原点且关于原点对称在区间(∞∞)内是单调递增当||很大时图形在第一象限接近在第象限接近双曲余弦的定义域同左它是偶函数图形过()点且关于轴对称在(∞)单调下降(∞)单调升=是函数的最小值且接近和双曲正切的定义域同左它是奇函数图形过原点且原点对称在区间内是单调上升的图形在==之间以它们为渐近线注：根据双曲函数的定义可证明下列四个公式:它们和三角函数相似把它们对比一下可帮助记忆双曲函数===的反函数依次为反双曲正弦=反双曲余弦=反双曲正切=四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)

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