二次函数的实际问题的最大利润问题,知道了方程的一般式,是不是根据公式求负2a分之b?

  近来从事毫米波雷达的定位与建图工作，想拓展下工作思路，研究autoware公司的激光点云定位与建图。期间正好发现autoware的激光点云配准算法是NDT(Normal-Distributions Transform)，相比ICP算法，它能更快速高效地确定两个大型点云的刚性变换。这里分别介绍下2003年经典的2D

  假设小车安装了只有一线的2D激光雷达，只能表达一个平面内是否有障碍物。把小车周围的区域划分成大小相同的单元格，我们可以用NDT(Normal Distribution Transform)对扫描的2D点云分布进行建模，用高斯分布表达每个单元格内2D点的聚集情况。若每个单元格包含3个以上的2D点，则计算该单元格内所有点Xi=1,…,n的坐标均值及方差。

  不同于于栅格图occupancy grid，NDT分布用连续可微的概率密度描述细分区域网格平面内的2D点。栅格图表达的是单元格内包含障碍物的概率，NDT分布本身表示参考帧中特定网格内2D点的位置分布情况。假设下图为参考帧，左侧时栅格图表达空与不空，中间是识别到的2D激光雷达点云，右图表达每个单元格内二维正态概率分布，每个单元格大小相同，越红的地方概率值越大。

  我们可以NDT分布计算当前帧新观测到的2D点坐标相对于参考帧单元格的概率（不同单元格有不同的均值和方差，均值区域表示参考帧单元格内2D点最密集的区域）。下式表示当前帧2D点x，属于参考帧中某个单元格的概率

如何划分网格并避免离散化的影响

  个人认为按照上图那样划分网格，破坏了2D点云结构，比如属于同一个物体的点云，被刻意分开到不同单元格计算了。这种离散化不利于地图地描述，也不利于后期点云配准。我们分别看看建图和定位时，如何划分网格，计算概率密度。

box下图蓝色边框所示。对于边框内部采用4个单元格相互重叠的，两两覆盖50%，分别计算每个子网格的点云正态分布。因此这种划分包含了4种均值和方差。下右图只是示意，实际上蓝色框图内将有多个单元格，可以认为蓝色框图内大部分的2D点会同时落入四种单元格内。

  定位时，计算前后两帧pose关系，给定当前帧laser scan的2D点云，根据T(待优化的参数)转换后的坐标查找落入哪个单元格内，同样当前帧每个2d点将对应四种分布。累计所有2d点对应的四种概率密度之和，通过选择合理的T，使得概率密度之和最大。

如何计算两片点云相对位姿

  假设用T表达2D空间内，两个时刻机器人的位姿变换关系。下面公式表达了当前帧的2D点云在上一帧坐标系的坐标

表示位移，表示旋转角度。Scan alignment目的就是通过前后两帧的laser scan复原位移和角度。假设给定两帧激光点云的测量，具体步骤如下：

(1)用第一帧laser scan，按照上述过程计算初始NDT分布

(2)初始化位姿变换参数T，全零或者用odometry初始化

(3)根据位姿变换参数T，将第二帧的laser scan点云转换到第一帧坐标系下

(4)为第二帧的每个2D点分配网格，计算点云对应的四种概率分布

(5)累计点云的概率分布，计算总体得分

p是第二帧点云，x’是第二帧点云p经T投影在第一帧的坐标，q和sigma是x’所属第一帧的网格概率分布。

(6)用牛顿法优化参数T (任意非线性优化算法均可)，使得score得分最高 [对于牛顿法，迭代步长的要点是求score函数的一阶和二阶偏导数，此处不扩展]

(7)回到步骤(3)，重复上述步骤，优化算法收敛

以下内容是我基于2003年那篇论文的理解，给出大致思路。

  Slam地图由图结构表达，每个顶点表示当前关键帧机器人绝对位姿，顶点之间的边表示前后两帧关键帧之间2D点云经过NDT配准推算出来的relative pose（可以看作是odometry，如果有IMU或轮速传感器，就不用NDT推算前后航迹了）。地图元素就是2D 点云的正态分布(均值看作2D点云的位置，方差可看作2D点云覆盖范围)，并且这些分布根据每个顶点的全局坐标，也转换到全局坐标下了。

  每新增一个顶点，或者叫新增关键帧，理论上所有其他顶点都要参与全局优化。关于全局目标函数，每个顶点的全局位姿可以得到两个顶点之间相对位姿，而两个顶点对应的laser scan根据NDT匹配也能推算出相对位姿。由于全局位姿未知，我们希望通过估算两种相对位姿的差(这样能反推全局位姿)，使得整体score得分最小，所以优化的目标函数是关于位姿之差的二次函数（关于score函数在NDT配准的相对位姿处二阶泰勒展开，一次项在左侧，)

  另外随着关键帧增加，全局优化的顶点越来越多，无法实时计算。因此每次新增顶点，只优化三条连接边以内的子图。

  假设k-n时刻的测量是关键帧，给定k-n与k时刻的里程计估计，将k时刻测量到的2D点云根据 投影到k-n时刻。通过计算k-n时刻与k时刻的NDT score，通过优化得到的位姿作为k时刻位姿。如果k时刻的测量距离k-n时刻的关键帧较远，则把最近一次NDT匹配成功的测量作为新的关键帧。

preNDT函数将激光数据点划分到指定大小的网格中：

　buildNDT函数根据划分好的网格，来计算每一个小格子中的二维正态分布参数（均值、协方差矩阵以及协方差矩阵的逆）：

objectiveNDT函数根据变换参数计算目标函数值及其梯度和Hessian矩阵，objectiveNDT的输出参数将作为目标函数信息传入优化函数中：

三维NDT分布数学描述

接下来看看NDT如何处理三维激光数据，假设有参考帧3D点集

它们将被分配到称作ND voxel的三维网格中，对于第k个voxel，里面有 个3D点。对于该网格的NDT分布的均值和方差：

那么该网格的概率密度函数为：

  如下图所示，reference点集会被三维网格包围构造多维正态分布。为了克服离散化问题，不同于2D点集，这里每个3D点会被8个三维网格包围。

  随着地图扩张，每次三维网格内新增了参考点，均值和协方差(关于x,y,z)都会重复计算且计算量会逐渐增加。为了减少计算量，对于第k个voxel，其均值p和协方差sigma采用如下方式增量更新，计算复杂度与网格中3D点的个数无关。

  下图是3D点云对应网格的NDT可视化

如何进行3D点云NDT配准

  给定两个3D点集，如何通过NDT分布计算二者的相对位姿呢？先看看三维空间的坐标变换，点集X通过(R,t)变换，R是旋转矩阵，t是平移向量

  给定参考帧点云以及当前帧点云，配准问题就变成了(R,t)参数搜索问题。根据参考帧点云构造NDT分布，通过寻找合适的坐标变换参数使得当前帧点云对应的NDT概率密度之和最大。

这里同样使用牛顿优化法求解参数R和t

如果三维网格voxel大小不当，那么NDT配准时会出问题。如下图所示，

  图a中黑点为参考帧，白点为当前帧，如果voxel网格尺寸太小，当前帧左上角点云没有对应的参考帧点云，对NDT配准位置修正没有贡献，反而增加了牛顿法收敛时间。另外，如果网格内点云数量过小，无法形成正态分布。

  图b中，如果voxel网格尺寸较大，白色点和黑色点本不属于同一物体，虽然收敛速度很快，但是最终匹配结果是错误的。

  图c中，如果voxel网格尺寸过大，网格中有两种参考点的分布，单核正态分布(单峰)不足以描述它们，所以当前帧同这种分布配准时，往往也是失败的。

  总之，网格越小，计算量越大，消耗内存大，但是匹配更精确。网格越大，计算量越小，匹配越不精确。

TKU作者在不同计算阶段定义不同网格大小。在初始匹配时，或者叫收敛阶段，对于机器人较近激光测量采用较小的网格，而距离机器人较远的，采用较大的网格。在初始匹配完成后，进行修正阶段时，对于远处的网格将同近处测量一样采用较小的网格。因为机器人朝向角的细微差异，会导致远处测量的巨大不确定性。因此，在初始搜索匹配时，对于远处的激光点云，采用较大的网格，对于近处的点云采用较小的网格。并且最终匹配计算，将近采用较小的网格。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》新变化

数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.

在小学阶段,学生认识了正有理数，掌握了正有理数的四则运算,知道可以用字母表示数、数量关系及规律.在初中阶段，学生将认识负数、无理数，学习它们的四则运算，还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.这些内容构成了初中阶段数与代数领域“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题.

“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理, 通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系)，是一类应用广泛的数学工具；“函数”主要研究变量之间的关系，探索事物变化的规律；借助函数认识方程和不等式.

数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力.

借助历史资料说明人们最初引入负数的目的，感悟负数的本质特征，了解中华优秀传统文化.

【说明】负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中.该书经过历代各家增补修订，最迟成书于东汉早期（约公元1世纪），魏晋时期伟大的数学家刘徽（生卒年不详）和唐代杰出的天文学家、数学家李淳风（602—672）等人的校注，使得这部书得以完整呈现，北宋时期刊刻为教科书.书中还提出了正负数加减运算的法则.

例如，《九章算术》中第八章（《方程》篇）的第八题关于三元一次方程组的建立和求解，述说了这样的问题背景：一个人有一次到家畜市场，卖了马和牛，买了猪，有所盈利，可以列一个三元一次方程，在列方程的过程中，把卖马和牛得到的钱算作正，把买猪付出的钱算作负.负数就是这样出现的.

由此可以看到，负数和正数一样，都是对数量的抽象，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，于是人们发明了绝对值表述“相等”的数量.如果收入定义为正，那么支出则为负；如果向东行走定义为正，那么向西行走则为负；如果向上升高定义为正，那么向下降落则为负.虽然意义相反，但数量本身是一样的，可以用绝对值予以表示.

在学习的过程中，可以让学生体会我国古代数学家在数学上的贡献，增强学好数学的自信心.

计算 ,保留小数点后两位.

【说明】伴随数据分析的需要，近似计算也变得越来越重要.在初中阶段，学生只需要了解简单的近似计算.在计算过程中，“舍去”的方法是比计算结果要求的精度多保留一位小数，最后对计算结果四舍五入.例如，取≈1.414， ≈2.645 .虽然 ≈2.6457，但不对其进行四舍五入近似，直接舍去万分位上的数字.因此，得到≈1.414 + 2.645=4.059≈ 4.06.

（1）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除.

（2）研究两位数平方的规律.

【说明】这个例子表明，初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容.这个例子中的两个结论，都是小学数学学习过的，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神.两个结论的论证过程分别表述如下.

在论证过程中，让学生进一步提升符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯.

（2）引导学生用归纳的方法，依次计算发现个位.上数字是5的两位数平方的规律:

可以猜想并且证明下面的一般结论:

在归纳的过程中引导学生发现，依次计算或尝试是合理的、有利于发现事物变化规律的方法，从而养成有条理做事的习惯.

例67 一元二次方程的根与系数的关系

知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表示方程的根，能用方程的根表示系数.

【说明】引导学生了解一元二次方程一般表达式

的关键是用字母表示方程的系数，可以写出方程根的一般表达式知道这样的表达是算术转变为代数的“分水岭”.设ax2+bx+c =0(a ≠0)为一元二次方程，将方程变化为

,于是，当≥0时方程有两个根：

直接计算得到，一元二次方程的两个根x1,x2满足：

学生在这样的过程中，感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验.

（2）不等式与不等式组

例68 通过图象分析函数关系

如图17,对于给定图象能够想象出图象所表示的函数关系.

【说明】在许多情况下，有效的教学不仅能从条件推演结果，也可从结果想象条件.

对于图17给出的图象，可以想象这样的情节.小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，如图17(a)所示；父亲在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，如图17(b)所示.在这样的过程中，加深学生对函数的理解，发展学生的几何直观，培养学生数学学习的兴趣.

例69 得到函数表达式

如图18,正三角形ABC的边长为1,D是BC边上的一点，过D作AB边的垂线，交AB于G,用x表示线段AG的长度.显然,Rt△GBD的面积y是线段长度x的函数，试给出这个函数的表达式.

【说明】这是一个典型的用代数式表达几何结论的问题，有利于培养学生的几何直观和推理能力.

首先确定自变量x的取值范围.由于△ABC是正三角形，容易得到这个取值范围可以表示为＜xx），斜边DB的长度为2（1-x），根据勾股定理，可以得到DG的长度为垢（1-x）.所以，所求面积函数的表达式为.

全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然釆用华氏温标.请学生查阅资料，分析两种温标计量值的对应关系，尝试用函数表达它们的对应关系.

【说明】引导学生查阅相关资料，给出计量值的对应表，如得到表8中的数据.

启发学生在平面直角坐标系中描出相应的点，因为表8中摄氏温度值是从开始，所以设摄氏温度值为横坐标比较方便.可以看到两种温标计量值的关系是一次的，让学生给出该一次函数的表达式：；还可以让学生推算°F的摄氏温度，华氏温度值是否可能与摄氏温度值相等.

这个例子的分析，有助于学生理解函数表达式中的系数可以通过特殊点的取值确定；还有助于学生理解直线y=x的特殊意义，感悟如何借助几何直观分析代数问题.

例71 二次函数的最大值或最小值

如图19,计划利用长为a米的绳子围一个矩形围栏，其中一边是墙.试确定其余三条边，使得围栏围出的面积最大.

【说明】设矩形围栏与墙平行的边的长度为x米，则另外两条边等长，均为米，于是，矩形的面积为

因此，当时，围成的矩形面积最大.

学生通过这个实例分析，可以进一步熟悉求二次函数最大值的方法，感悟如何用数学的思维思考现实世界.

例72 反比例函数的引入

尝试由xy= k(k≠0)所表示的关系过渡到反比例函数(k≠0).

【说明】因为小学阶段不讲反比例关系，所以初中阶段最好能通过实例，让学生感知由反比例关系过渡到反比例函数的过程.反比例关系要求两个变量x和y一起变化，以保证乘积不变；反比例函数表达的是一个量变化，另一个量随之变化.

例如，可以用x表示矩形的长度、y表示矩形的宽度，那么乘积不变意味着这个矩形的面积xy= k(k≠0)不变，如果x增大y就要减小,y增大x就要减小,x与y是成反比例关系的;而表达式(k≠0)意味着矩形的宽度y等于面积k除以长度x，当长度x变化时宽度y随之变化,y与x是函数关系.因此，反比例函数比反比例关系更为一般.

理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴体会相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法；能比较有理数的大小，能求有理数的相反数和绝对值；会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算；能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主），理解有理数的运算律, 能合理运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单问题.

了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根; 知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；会用二次根式 （根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算.

能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值；会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）；知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）；知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式.

能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形；能根据等式的基本性质解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；*能解简单的三元一次方程组；能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.建立模型观念.

（2）不等式与不等式组

结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形；能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题.建立模型观念.

能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值；能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测.

能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式；会画出一次函数的图象；会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会根据一次函数的图象和表达式(k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律.会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系；能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题.

会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系.会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当k＞0和k＜时反比例函数(k≠0)图象的整体特征；能用反比例函数解决简单的实际问题.

初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题，是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.

数与式的教学.教师应把握数与式的整体性，一方面，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义，会进行实数的运算；另一方面，通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力.

方程与不等式的教学.应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达;引导学生关注用字母表示一元二次方程的系数，感悟用字母表示的求根公式的意义，体会算术与代数的差异.

函数的教学.要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；要引导学生借助平面直角坐标系中的描点，理解函数图象与表达式的对应关系，理解函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识.

在教学过程中，要关注数学知识与实际的结合，让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律，经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程，形成模型观念；要关注基于代数的逻辑推理，如代数运算规律的论证（例66）、韦达定理的论证（例67）、基于图象的函数想象（例68）；能在比较复杂的情境中，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力.