15个羽毛球中午一个是次品且次品的质量较轻如果用天平称至少称几次能保证找出次品？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-07 14:44 标签： 8个物品中有一个次品,至少称几次

人教新版五年级下学期《

数学广角—找次品》单元测试卷

个外形完全相同的小零件，其中

个是次品，正品重量都相等，次

品比正品稍重一些，一架无砝码的天平至少称（

）次可保证把次品找出来．

）次能保证称出这袋白糖比

颗同样大小的珍珠，其中有一颗是次品，次品略重一些，根据图示可以推断出次品

．王师傅加工一批零件，其中有

个不合格，略轻一些．质检人员说用天平至少称

能保证把次品找出来，这批零件的个数范围是（

包质量不足，包装都一样．我们将这

）次才能保证找出那包质量不足的葡萄干．

由于工作人员的疏忽，给其中

份来称重那么至少需要称（

）次才能保证找出那包质量不足

）个乒乓球中找出仅有的一个因超重而不合格的乒

工厂质检员张叔叔和赵阿姨每人分到一批质检任务．

个同样的产品中找出较轻的一件次品．

找次品，下面说法错误的是（

有12个乒乓球形状、大小公完全相同，其中只有一个重量与其它11个不同，现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将这个次品球找出来，并确定这个次品球比正品球轻或是比正品球重。


首先分成三组，每组四个:
A组（1、2、3、4）；B组（5、6、7、8），C组（9、10、11、12）
第一称：（1、2、3、4）VS（5、6、7、8）
【一】、如果平衡：次品球在C组中
第二称：（9、10）VS（11、0）【0表示标准球，因为通过第一称，总可以确定三组中至少有一组是正常的，这一组中所有的球都可以称为标准球，标准球用于后面的称重，这很重要】
（1）如果平衡：12是次品球，第三称：将12号与标准比较，可知次品或轻或重。
（2）如果不平衡：次品球在9、10、11三个球中。
（1）如果平衡,11号是次品球，并且11号的轻重，由第二称决定：如果11号与标准球比9、10两个重，则次品球重；反之则轻。
（2）如果不平衡：问题球在9、10之中，这里有个逻辑判断：
从第二称中，9、10总重量如果重，说明次品球重（因为次品在9、10之中），第三称中重的是次品。9、10的总重量如果轻，说明次品球轻，第三称中，轻的是次品。
【二】、如果不平衡：次品球在1～8号中。（记住第一称哪边轻，哪边重，用于后面的逻辑判断，并且可以确定C是标准球）
第二称：逻辑三分，动作要领：（球很多时，也按下面的要领操作）
A、取出3个，其中一边1个，另一边2个；
B、交换3个与取出同步：如右边交换2个到左边，左边就移出2个；左边交换1个到右边，右边就移出1个。（反向也可以）
C、还剩下2个（不动）
这样，实际上将8个球，分成了三类：第二称的目的在于确定次品球在这三类中的哪一类。
根据动作要领，分解图示如下：
原来：（1、2、3、4） VS （5、6、7、8） （交换与移出同步操作）
1、右边交换2个到左边（如7、8），左边移出2个（如3、4），结果如下：
2、左边交换1个到右边（如2号），右边顺势移出一个（如6号），结果如下：
（1、7、8） VS （5、2）【1、5号两球没有移动】
3、由于球数不等，这时在右边加一个标准球（第三组另选一个）
说明：第二称有三种结果：
（1）平衡：（次品球被拿出去了，余下的才平衡。所以次品在3、4、6之中的一个）
如果平衡，6号是次品球。前面已经提到：记住第一称哪边轻，哪边重，用于后面的逻辑判断。如果B组重，则6号重，B组轻，则6号轻。
如果不平衡：次品球在3、4之中。如果A组重，则3、4号中重者为次品球。如果A组轻，则轻者为次品球。
（2）与第一称的轻重方向相同：（说明次品没有移动，问题球在1、5号两球之中）
第三称：任取一球（如1号），与标准球比较：
如果平衡,问题球是5号，判断轻重与6号相同。即：B组重，则5号重；B组轻则5号轻。
如果不平衡：问题球是1号，判断方法同上：如果A组重，则1号重，A组轻则1号轻。
（3）与第一称的轻重方向相反：（说明次品球交换了位置，问题球在7、8、2号之中）
第三称：比较7、8号，如果平衡，问题球是2号，A组重则2号重，A组轻，则2号轻。
如果不平衡：问题球是7、8号中的一个，如果B组重，则重者为问题球。如果B组轻，则轻者为问题球。

这种称重法，要把前面的结果与后面的结果联系起来。集体与个人的关系。当确定问题球在AB这两组中的哪一组后，根据第一称，就已知已知问题球的轻重了。

弄清12球，才可能到13球。再到更多。所以我们把12球叫“经典12球”


有时间好好研究一下，我以前遇到过，也曾经研究过，因为麻烦，就都扔了。今天再重温一下


第一,只要掌握操作要领,就不难了(也好记).
第二,逻辑关系:集体与个体的关系.本题,难点在第一称不平衡.但第一称可以得到标准球,
第三,第一称不平衡时的状态(哪边重,哪边轻是有用的,作为后面推理的依据,切不可认为称了就称了,只确定范围)

例如：当确定次品球是5号时，就可以确定次品球轻，为什么？
因为：如果两边同时减少三个正常球，状态不变。再如：当确定问题球是7、8号中的一个时，如何确定哪个是问题球？不管是哪个，问题球肯定轻。（因为1、2、3、4是正常球）所以第三称比较7、8中，轻的一个是问题球。
也就是说：个体的轻重，与集体的轻重是一致的。


虽然我对这类问题的一般情况都已基本解决，但我还是一直没找到“怎么说清并且让听者明白”的比较简洁的说法。
不像n！那个问题，我自己现在是相当清楚了。当然，别人也许还不明白，但我觉得可以让人稍加努力也能明白的。
我想，“找不知轻重的异球”问题，大概很不容易让听者明白，而即使好像明白了，恐怕也不见得是真正解决了。
有时间的话，我也还想解决这“系统工程”。


谁有兴趣玩一下称球游戏。你任意给出球的总数量n（公布），你自己确定哪个球为次品且确定轻重（不公布）我给出称量方案。你忠实地给出称量结果。譬如，我告诉你第一次左边放那些球，右边放哪些球，你告诉我结果，我再告诉你第二次的称法，你再告诉我结果。我可以确定在 log3 (2n+3)次之内完成。例如n=12时，可以在log3 （2*12+3）=log3 （3^k-3）/2 个球。例如k=8时，最多可以判断3279个球。
如果不是经典问题，例如额外提供标准球，可以再多判断出一个球，即k次称量最多可以判断出
（3^k-1）/2 个球。或者只需要找出次品，不需要判断轻重时，也可以再多判断出一个球，即k次称量最多可以判断出（3^k-1）/2 个球。如果既不需要判断轻重，并且提供标准球，还可以再多判断出一个球，即k次称量最多可以判断出（3^k+1）/2 个球。多个坏球也有公式，数量较少时也可以玩一玩。
游戏前请注明有无标准球，是否需要判断次品轻重


一 你说的已经解决的“系统工程”，与我说的“系统工程”可能不一样。我说的“系统工程”是指：“怎么说清并且让听者明白”的比较简洁的说法。而不仅是指称球问题的一般情况。不过，“多个异球”的情况，我倒从来没探索过。
二 称球问题的一般情况，系统地去说，我想，有三个基本点：
首先，“称的次数”和“球的个数”关系的公式。为解题方便，可把有关的“关结数”算出、列举，备用；
其次，先解决两个基本类型问题。一是“已知异球的轻重”，二是“有足够多的标准球”；
三在基本上解决了上述的“二 称球问题的一般情况”后，如何从1个球开始，讨论清楚“经典12球问题”，然后用“递推”的方法，说明白更多球数的问题，以解决：“怎么说清并且让听者明白”的比较简洁的说法。这才是我说的“系统工程”。

以上说得不是真正准确、严密，只是说说我的意思。

顺便问一下：“经典12球问题”，你有没有“让听者明白”的比较简洁的说法？


如果第一称两边平衡：如楼主所说可以得解。
如果第一称两边不平衡，假设1、2、3、4重于5、6、7、8组.那么9、10、11、12是标准球，第二称：
（1、2、3、5、6）vs（9、10、11、12、4）这时有三种可能：
a.如果：（1、2、3、5、6）重于（9、10、11、12、4）
那么次品球重于标准球，且在1、2、3中，第三称（1）vs（2）即可得知 。
b.如果：（1、2、3、5、6）轻于（9、10、11、12、4）
那么要么4是次品球，且重于标准球，要么5、6中有一个次品球，且轻于标准球无论怎样，第三称（5）vs（6）
如果相等，那么4是次品，如果不等，那么轻的是次品。
c.如果（1、2、3、5、6）等于（9、10、11、12、4）
那么次品球在7、8之间，且轻于标准球，第三称（7）vs（8）


不管多少个球，解决的关键在于两个基本问题：如何明确次品球是重于还是轻于标准球，并利用这一点，
其次是如何避免分组不佳引起的混乱



不要白费脑子了，三次是找不出的，因为不知道那个球是重于还是轻于其他的球


1) 对于7楼所说的“经典12球问题”的“怎么说清并且让听者明白”的问题，
恐怕只有用流程图的方法了。图形是最简练的语言，无须多说，看下图：

2） 从图中可看到，测量结果中尚有3个出口没有得到有效利用。

3） 6楼关于“称球游戏”的说法是正确的，其实，从对上图的分析中就可以得到该结论，

4） 从对上图的分析和推论中可得到以下两个关键结论a)和b)：
对于一般性问题：已知在 n 个球中有1个重量异常，如何用无砝码的天平称 k 次，
找出它并知道它是轻还是重。
a）此问题有解的条件是： n 不大于 3^(k-1）/2
（此时，测量结果中至少有3个出口没有达到利用）
如果额外再给一个标准球，则 n 的最大值为（3^k-1）/2
（此时，测量结果中有1个出口没有得到利用）
b) 第一次秤的时候，应该留下（3^(k-1）-1）/2个球不上称。


每次称对左边（右边一样）来说，都有三种情况，重、轻、平，因此称n次的话就有3^n种情况，因为左右盘分析是一样的，所以3^n/2
通过观察或者归纳，不难发现n次最多能称(3^n-3)/2个（其中有一个异球，且不知道轻重）


右边四个粉色虚线方框里是大家熟悉的“已知三个球中有一个知轻（或重）”的情况，一次即可找出。可以用文字交待一下，不必画出。这样，上图就会显得简洁许多。


下面是14楼的简化版。


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