F为什么会存在最小值？极值现象会消失吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-28 14:06 标签： 极值点可以为无穷吗

　　摘    要： 本文通过几个例子的讨论说明求多元函数的极值与最值比求一元函数极值与最值要复杂得多，某些一元函数求极值与最值的方法及结论对多元函数并不适用，因此在解题时要特别注意.
　　我们在学习多元函数的微积分学时知道，讨论多元函数的微分及其应用时以二元函数为主，因二元以上的函数的微分理论可以由二元函数的微分理论直接类推.一元函数到二元函数则不同，有些知识可以由一元函数的理论直接类推得到，但有些知识从一元函数类推到多元函数会产生新的问题.因而如果用一元函数的一些结论解决多元函数的问题，就会出现错误认识.本文就关于求多元函数的极值与最值问题容易出现的错误认识做了探讨.
　　判断一元函数极值点的一般方法是：首先找出函数的驻点和一阶导数不存在的点.其次由极值存在的第一充分条件来判断，若某点左右两侧的导数符号相反，该点一定是极值点.最后再具体判断出是极小值点还是极大值点，从而求出函数的极值.
　　求可导的一元函数在闭区间[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函数在区间内的一切驻点（即导数为零的点），然后求出这些驻点和区间端点处的函数值，再进行比较，最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.
　　关于一元函数的极大值与极小值和最大值与最小值，我们有这样的命题.
　　命题一：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上连续，若y=f（x）在I内两点x，x（x
　　命题二：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上可微，又在I内有唯一驻点x且为极值点，则x就是y=f（x）在区间I上的最值点.
　　这两个命题的几何意义非常明显，且很容易证明.因此，在学习多元函数的极值和最值的过程中，如果也按一元函数的理论理解上述两个命题，就很容易产生以下错误认识.
　　（1）若函数z=f（x，y）在闭区域D内可微且有多于两个极大值（或极小值）点，那么在D内，函数在闭区域D内至少存在一个极小值（极大值）点.
　　（2）若函数z=f（x，y）在有界闭区域D内可微且有唯一的驻点（x，y）（f（x，y）=f（x，y）=0）且是函数的极大值点（或极小值点），则该点必是函数的最大值点（或最小值点）.
　　以上结论对多元函数都不成立.
　　对于错误认识（1），我们有这样的例子.
　　解：函数的定义区域是整个平面.
　　可知在点（2kπ，0）处：
　　在点（（2k-1）π，-2）处：
　　故可知此函数在全平面上有无穷多个极大值，但没有极小值.考察此函数的曲面形态，我们会发现，函数在全平面上的无数个极大点对应曲面上无数个小“山包”，任意两“山包”之间有沟，这些沟都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函数没有极小值.
　　对于错误认识（2），我们讨论下例.
　　解：求驻点，解方程组

  • 这道题极值点的判断用第一和第二充分条件得出的结论不同， 为什么会得出矛盾的结论呢 感觉第一充分条件往往适用于不可导的情况，但是在理论上又不能说明，头大啊，求助！！！

  • 分析：（1）求出f′（x），因为x1、x2是函数f（x）的两个极值点，而x1=-1，x2=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式； （

  • 条件极值和无条件极值 无条件极值是函数f(x)定义域上的所有极值，而条件极值，是在给定定义域下f(x)的

  • 怎麼区分。貌似就差一等号。 书上说是由费马引理得极值存在的必要条件。

  • 老哥老姐们求解？ 二元函数极值存在的充分条件是这个，那三元及三元函数以上极值存在的充分条件是啥？

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